Cours d’Analyse

Cours d’Analyse

L2 Math-Meca UE5 (1er semestre, 2`eme ann´ee)

Notes r´edig´ees par : M. Nguyen Tien Zung

Professeur `a l’Universit´e Paul Sabatier.

Septembre 2007

Ces notes sont bas´ees en partie sur un manuscrit de M.

Fran¸cois de Th´elin (professeur `a l’UPS retrait´e) et sur les exercices contribu´es par plusieurs enseignants `a l’UPS et ailleurs.

i

Table des mati` eres

Chapitre 1. Int´egrales g´en´eralis´ees 1

1. Rappels sur l’int´egration 1

2. D´efinition des int´egrales g´en´eralis´ees 3

3. Etude de la convergence 5

4. Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees 8

5. Exercices 8

Chapitre 2. S´eries num´eriques 10

1. Somme d’une s´erie 10

2. Etude de la convergence absolue d’une s´erie 12

3. Convergence simple 15

4. Op´erations sur les s´eries absolument convergentes 17

5. Exercices 19

Chapitre 3. Suites et s´eries de fonctions 21

1. Convergence simple et convergence uniforme 21

2. Propri´et´es des limites de fonctions 24

3. S´eries de fonctions 25

4. Exercices 28

Chapitre 4. S´eries enti`eres 31

1. Convergence d’une s´erie enti`ere 31

2. Etude de la fonction somme d’une s´erie enti`ere 33

3. D´eveloppement en s´erie enti`ere 34

4. La fonction exponentielle complexe 36

5. Exercices 37

Chapitre 5. S´eries de Fourier 40

1. S´eries trigonom´etriques 40

2. S´eries de Fourier 41

3. Th´eor`eme de Dirichlet 43

4. Formule de Parceval 45

5. Exercices 47

ii

CHAPITRE 1

Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

1. Rappels sur l’int´egration

Soitf : [a, b]→Rune fonction r´eelle born´ee sur un intervalle born´e [a, b]

(a, b∈R). On appelle subdivision de [a, b] toute famille finie (a_i)_0≤i≤n telle que a=a₀ ≤a₁ ≤. . .≤a_n =b. NotonsS[a, b] l’ensemble des subdivisions de l’intervalle [a, b]. Pour chaque (a_i)_0≤i≤n∈S[a, b], notons

(1.1) I_σ(f) =

Xn

i=1

·

(a_i−a_i−1). inf

x∈[ai−1,a[f(x)

¸

et

(1.2) J_σ(f) =

Xn

i=1

"

(a_i−a_i−1). sup

x∈[ai−1,ai[

f(x)

# .

Remarquons que si σ = (a_i)_0≤i≤n etδ = (b_j)_0≤j≤m sont deux subdivi- sions quelconques de [a, b], on a toujoursI_σ(f)≤J_δ(f) (exercice : montrer pourquoi), donc

(1.3) sup

σ∈S[a,b]

I_σ(f)≤ inf

σ∈S[a,b]J_σ(f).

a1 b1 a2 a3 b2

y=f(x)

x y

Fig. 1.1. I_σ(f) etJ_δ(f) comme sommes des aires de rectangles

1

2 1. INT´EGRALES G´EN´ERALIS´EES

D´efinition 1.1. Si on a l’´egalit´e sup_σ∈S[a,b]I_σ(f) = inf_σ∈S[a,b]J_σ(f), alors on dit que f est int´egrable (au sens de Riemann) sur l’intervalle [a, b], et on note R_b

af(x)dx la valeur commune.

Remarque 1.2. i) G´eom´etriquement, si f est positive, R_b

af(x)dx est l’aire du domaine d´elimit´e par les droites {x =a}, {x = b}, {y = 0} et le graphe {y=f(x)}de la fonctionf sur le plan{(x, y)}.

ii) Sib > a,R_a

b f(t)dtveut dire −R_b

af(t)dt.

D´efinition 1.3. Soit f : [a, b] → R une fonction. On dit que f est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe une subdivision (a_i)_0≤i≤nde [a, b]

telle quef est continue sur tous les intervalles ouverts ]a_i−1, a_i[,i= 1, . . . , n.

On dit que f est born´ee s’il existe un nombre N ∈ R₊ tel que |f(x)| ≤ N pour tout x∈[a, b].

Th´eor`eme 1.4. Toute fonction born´ee continue par morceaux sur un intervalle born´e [a, b]est int´egrable sur [a, b].

D´efinition 1.5. SoientI un intervalle de Retf :I →Rune fonction.

On appelle primitive de f sur I toute fonctionF :I →R qui est d´erivable sur I et admetf pour fonction d´eriv´ee.

Th´eor`eme 1.6. Soit f :I →R une fonction continue sur un intervalle I deR. Alors, pour touta∈I, l’applicationt7→R_t

af(x)dxest une primitive de f sur I.

Th´eor`eme 1.7. Soient [a, b] un intervalle ferm´e born´e de R et f : [a, b] → R une fonction int´egrable. Si F : [a, b] → R est une primitive de f sur [a, b], on a :

(1.4)

Z _b

a

f(x)dx=F(b)−F(a).

Th´eor`eme 1.8 (Changement de variable). Soit I et J deux intervalles de R, φ :I → J une application continˆument d´erivable strictement mono- tone (croissante ou d´ecroissante) et f : J → R une application continue.

Alors, quelque soient α, β∈I, on a : (1.5)

Z _β

α

f(φ(x))φ⁰(x)dx= Z _φ(β)

φ(α)

f(y)dy.

Preuve. f continue sur J y admet une primitive F et R_φ(β)

φ(α) f(y)dy = F(φ(β))−F(φ(α)). Or F ◦φ est continˆument d´erivable sur I, de d´eriv´ee (f◦φ)φ⁰, donc R_β

α f(φ(x))φ⁰(x)dx=F(φ(β))−F(φ(α)), d’o`u le r´esultat.♦ Th´eor`eme 1.9 (Int´egration par parties). Soient I un intervalle de R, u :I → R et v:I → R deux fonctions continˆument d´erivables sur I. Alors quels que soient a, b∈I on a :

(1.6)

Z _b

a

u(t)v⁰(t)dt=u(b)v(b)−u(a)v(a)− Z _b

a

u⁰(t)v(t)dt.

Preuve.g(t) =u(t)v(t) est continˆument d´erivable, de d´eriv´ee u(t)v⁰(t) +

u⁰(t)v(t), d’o`u le r´esultat. ♦

2. D´EFINITION DES INT´EGRALES G´EN´ERALIS´EES 3

2. D´efinition des int´egrales g´en´eralis´ees Nous allons g´en´eraliser la d´efinition de R_b

af(x)dx au cas o`u f n’est pas forc´ement born´ee et a, b peuvent ˆetre±∞.

Nous supposons quefestlocalement int´egrablesur ]a, b[, c’est `a dire pour tout sous-intervalle ferm´e born´e [α, β]⊂]a, b[, f est int´egrable sur [α, β].

2.1. Le cas−∞< a < b≤+∞. Soitf localement int´egrable sur [a, b[.

On lui associe l’application F : [a, b[→Rd´efinie par :

(1.7) F(x) =

Z _x

a

f(t)dt.

D´efinition 1.10. Si F(x) admet la limite J ∈ R lorsque x → b, on dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee R_b

af(t)dt estconvergente et on lui attribue la valeurJ. Par contre, siF(x) n’admet pas de limite ou tend vers±∞lorsque x→b, on dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee R_b

af(t)dt estdivergente.

Exemple 1.11. (i) R_x

0 cost dt = −sinx n’admet pas de limite lorsque x→ ∞, donc l’int´egrale g´en´eralis´eeR_+∞

0 cost dtest divergente.

(ii) R_x

1 dt

t² = 1−¹_x tends vers 1 lorsquex→+∞, doncR_+∞

1 dt t² = 1.

(iii) La fonction f(x) = ^{√ 1}

1−x² n’est pas born´ee sur l’intervalle [0,1[. Cepen- dant, pour x∈[0,1[,R_x

0 √dt

1−t² = arcsint

¯¯

¯^x

0 = arcsinx^x→1−→ ^π₂. DoncR₁

0 √dt 1−t²

converge et a pour valeurπ/2.

2.2. Le cas −∞ ≤ a < b < ∞. De fa¸con similaire, dans ce cas, on associe `a la fonction f :]a, b]→Rl’application G:]a, b]→R d´efinie par :

(1.8) G(x) =

Z _b

x

f(t)dt.

Si G(x) admet la limite J ∈ R lorsque x → a, on dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee R_b

af(t)dt est convergente et on lui attribue la valeur J. Par contre, si G(x) n’admet pas de limite ou tend vers ±∞ lorsque x → a, on dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee R_b

af(t)dt est divergente.

En fait R_b

xf(t)dt=R_−x

−b f(−t)dt; les int´egrales g´en´eralis´ees R_b

af(t)dt et R_−a

−b f(−t)dt sont de mˆeme nature et ´egales en cas de convergence. C’est pourquoi on peut toujours se ramener au cas −∞< a < b≤+∞ que nous reprenons dans toute la suite.

2.3. Absolue convergence.

D´efinition 1.12. Soit f : [a, b[→ R localement int´egrable. Lorsque l’int´egrale R_b

a|f(t)|dt est convergente, on dit que R_b

af(t)dt est absolument convergente.

4 1. INT´EGRALES G´EN´ERALIS´EES

2.4. Fonctions `a valeurs complexes.

D´efinition 1.13. Soit f : [a, b[→ C localement int´egrable. On dit que l’int´egrale R_b

af(t)dt est convergente si et seulement si les deux int´egrales R_b

a<(f(t))dt etR_b

a=(f(t))dt sont convergentes et alors (1.9)

Z _b

a

f(t)dt= Z _b

a

<(f(t))dt+i Z _b

a

=(f(t))dt.

(< designe la partie r´eelle et = la partie imaginaire). On dirait aussi que R_b

af(t)dtestabsolument convergentesi et seulement siR_b

a|f(t)|dtest conver- gente.

2.5. Crit`ere de Cauchy.

Th´eor`eme1.14. Soitf : [a, b[→Rune application localement int´egrable.

L’int´egrale R_b

af(t)dt est convergente si et seulement sif v´erifie la condition suivante, dite crit`ere de Cauchy : ∀ε > 0 ∃c∈ [a, b[ tel que ∀x₁, x₂ ∈ [c, b[

on a |R_x2

x1 f(t)d(t)| ≤ε.

Preuve. (i) Condition n´ecessaire. Supposons que R_b

af(t)dt est conver- gente, c’est a dire∃lim_x→bF(x) =I ∈Ro`uF(x) =R_x

a f(t)dt. Par d´efinition,

∀ε > 0 ∃c < b tel que |F(x)−I| ≤ ε/2 ∀x ∈ [c, b[, donc |R_x2

x1 f(t)d(t)| =

|F(x₂)−F(x₁)| ≤ |F(x₁)−I|+|I−F(x₂)| ≤ε/2 +ε/2 =ε∀x₁, x₂ ∈[c, b[.

(i) Condition suiffisante. Supposons que la condition de Cauchy est satis- faite. Choisissons une suite (x_n)_n∈N arbitraire de nombres dans [c, b[ telle que lim_n→∞x_n =b. Alors la suiteF(x_n) est de Cauchy, donc convergente.

Notons I = lim_n→∞F(x_n). ∀ε > 0, ∃c ∈ [a, b[ tel que |F(x⁰)−F(x⁰⁰)| =

|R_x0

x⁰⁰f(t)dt| ≤ ε/2 ∀x⁰, x⁰⁰ ∈ [c, b[, et ∃N ∈ N tel que |F(x_n)−I| ≤ ε/2

∀n ≥ N. Prenons un n ≥ N tel que x_n ∈ [c, b[, alors |F(x) −I| ≤

|F(x)−F(x_n)|+|F(x_n)−I| ≤ε/2 +ε/2 =ε∀x∈[c, b[. Cela veut dire que

lim_x→bF(x) =I. ♦

Corollaire 1.15. Soit f : [a, b[→ R localement int´egrable. R_b

af(t)dt absolumente convergente =⇒ R_b

af(t)dt convergente.

Preuve. Elle r´esulte imm´ediatement du crit`ere de Cauchy et de l’in´egalit´e : (1.10)

¯¯

¯¯ Z _x2

x1

f(t)dt

¯¯

¯¯≤ Z _x2

x1

|f(t)|dt.

♦

2.6. Le cas de fonctions positives.

Th´eor`eme 1.16. Soit f : [a, b[→ R₊ localement int´egrable. L’int´egrale R_b

af(t)dt est convergente si et seulement si l’ensemble{R_x

a f(t)dt;x∈[a, b[}

est major´e ; dans ce cas (1.11)

Z _b

a

f(t)dt= sup

x∈[a,b[

Z _x

a

f(t)dt.

3. ETUDE DE LA CONVERGENCE 5

Preuve. F(x) = R_x

a f(t)dt est croissante, donc lim_x→bF(x) existe tou- jours ; si elle est finie l’int´egrale est convergente ; sinon elle est ´egale `a +∞.

♦

3. Etude de la convergence 3.1. Crit`ere de comparaison.

Rappel sur les notations de Landau. Soientf : [a, b[→Retg: [a, b[→R deux fonctions.

– On dit que f =O(g) au voisinage de bs’il existe c∈[a, b[ et α∈R₊ tel que |f(t)| ≤α|g(t)| ∀t∈[c, b[. (Lorsqueb= +∞, cela signifie que

∀t≥c,f(t)≤α|g(t)|.

– On dit que f = o(g) au voisinage de b si ∀ε > 0 ∃c ∈ [a, b[ tel que

|f(t)| ≤ε|g(t)| ∀t∈[c, b[.

– On dit que f ∼g au voisinage de b sif −g=o(g) au voisinage deb (⇐⇒ f−g=o(f) au voisinage deb).

Th´eor`eme 1.17. Soientf et g deux applications localement int´egrables de [a, b[ dans R. On suppose qu’il existe c ∈ [a, b[ tel que : ∀t ∈[c, b[, 0 ≤ f(t)≤g(t). Alors :

(i) R_b

a g(t)dt convergente=⇒ R_b

af(t)dt convergente.

(ii) R_b

a f(t)dt divergente =⇒ R_b

ag(t)dt divergente.

Preuve.f etg´etant int´egrables sur [a, c], il suffit d’´etudier la convergence deR_b

c f(t)dtet deR_b

c g(t)dt. Sachant que∀x∈[c, b[, 0≤R_x

c f(t)dt≤R_x

c g(t)dt

la conclusion r´esulte du Th´eor`eme 1.16. ♦

Corollaire1.18. Soientf etgdeux applications localement int´egrables de [a, b[ dans R. On suppose qu’il existe d ∈ [a, b[ tel que f et g soient positives sur [d, b[et que f =O(g) au voisinage de b. Alors :

(i) R_b

a g(t)dt convergente=⇒ R_b

af(t)dt convergente.

(ii) R_b

a f(t)dt divergente =⇒ R_b

ag(t)dt divergente.

Preuve. Par hyposth`ese, il existec∈[d, b[ etα∈R<sub>+</sub>tels que 0≤f(t)≤ αg(t)∀t∈[d, b[, et on applique le th´eor`eme. ♦ Corollaire1.19. Soientf etgdeux applications localement int´egrables de [a, b[dans R. On suppose :

(i) ∃d∈[a, b[tel que g(t)≥0 ∀t∈[d, b[.

(ii) ∃λ6= 0 tel que f ∼λg au voisinage de b.

Alors les int´egrales R_b

af(t)dt et R_b

ag(t)dt sont de mˆeme nature.

Preuve. Les int´egrales de f et de −f ´etant de mˆeme nature, on peut supposerλ >0. Il existe alorsc∈[d, b[ tel que

∀t∈[c, b[: 1

2λg(t)≤f(t)≤ 3 2λg(t).

Le r´esultat est alors une cons´equence directe du th´eor`eme pr´ec´edent. ♦

6 1. INT´EGRALES G´EN´ERALIS´EES

3.2. Quelques fonctions de r´ef´erence.

Lemme 1.20. Pour a > 0 et α ∈ R, l’int´egrale Z _+∞

a

dt

t^α converge si et seulement si α >1.

Preuve. Pour x∈[a,+∞[, F(x) = R_x

a t^−αdt s’´ecrit _α−1¹ (_aα−1¹ −_xα−1¹ ) si α 6= 1 ; lnx−lnasiα= 1 d’o`u le r´esultat. ♦

Lemme 1.21. Pour −∞ < a < b <+∞ et α ∈R, l’int´egrale R_b

a dt (b−t)^α

converge si et seulement si α <1.

Preuve. Pour x∈[a, b[, F(x) = R_x

a dt

(b−t)^α s’´ecrit ln(b−a)−ln(b−x) si α = 1 ; _1−α¹ ((b−a)^1−α−(b−x)^1−α) siα6= 1 d’o`u le r´esultat. ♦

3.3. R`egles d’absolue convergence.

Proposition 1.22. Soit f : [a,+∞[→ R une application localement int´egrable.

(i) S’il existe α∈Retc6= 0 tels que, au voisinage de+∞, f(t)∼ct^α, alors l’int´egrale R_+∞

a f(t)dt est absolument convergente si α >1 et divergente si α ≤1.

(ii) S’il existe α ∈ R, α > 1 tel que, au voisinage de +∞, f(t) = O(t^−α), alors R_+∞

a f(t)dt est absolument convergente.

(iii) S’il existe α∈R, α≤1tel que lim inf_t→∞t^αf(t)>0, alors R_+∞

a f(t)dt est divergente.

Proposition 1.23. Soit f : [a, b[→ R (−∞ < a < b < +∞) une application localement int´egrable.

(i) S’il existe α ∈ R et c6= 0 tels que, au voisinage de b, f(t) ∼c(b−t)^α, alors l’int´egrale R_b

af(t)dt est absolument convergente si α <1 et divergente si α≥1.

(ii) S’il existe α∈R, α <1 tel que, au voisinage de b, f(t) =O((b−t)^−α), alors R_b

af(t)dt est absolument convergente.

(iii) S’il existeα∈R, α≥1tel quelim inf_t→b(b−t)^αf(t)>0, alorsR_b

af(t)dt est divergente.

Exemple 1.24. Etude de la convergence de R_+∞

π t^−αcos(λt)dt, avec α, λ ∈ R, α > 1. On a |t^−αcos(λt)| ≤ t^−α et R_+∞

π t^−αdt converge. Donc R_+∞

π t^−αcos(λt)dt converge absolument.

Exemple 1.25. Etude de la convergence de R₁

0 √dt

1−t³. Le probl`eme se pose au voisinage de 1 o`u l’on a ^√1

1−t³ = √ ¹ 1−t√

1+t+t²

t→1∼ ^√1

3(1−t)^−1/2. L’int´egrale est donc convergente, d’apr`es la Proposition 1.23.

3.4. R`egle d’Abel. Le th´eor`eme suivant permet souvent d’´etudier la convergence des int´egrales qui ne sont pas absolument convergentes.

Th´eor`eme 1.26 (R`egle d’Abel). Soient f : [a, b[→ R₊ et g : [a, b[→

C deux applications localement int´egrables (b ∈ R∪ {+∞}). On fait les

3. ETUDE DE LA CONVERGENCE 7

hypoth`eses suivantes :

(i) f est r´eelle positive, d´ecroissante, et

x→blimf(x) = 0.

(ii) ∃K∈R₊ tel que

¯¯

¯¯ Z _u

a

g(t)dt

¯¯

¯¯≤K ∀u∈[a, b[.

Alors l’int´egrale R_b

af(t)g(t)dt est convergente.

Preuve. Pour simplifier la preuve, nous supposons quef est continˆument d´erivable. Notant G(u) =R_u

a g(t)dt, on a|G(u)| ≤ K ∀u∈[a, b[. Comme f est d´ecroissante, f⁰(u)≤0 ∀u∈[a, b[. Utilisant l’int´egration par parties, on obtient

Z _v

u

f(t)g(t)dt=f(v)G(v)−f(u)G(u)− Z _v

u

f⁰(t)G(t)dt ∀a≤u < v < b, d’o`u

| Z _v

u

f(t)g(t)dt| ≤f(v)|G(v)|+f(u)|G(u)|+ Z _v

u

(−f⁰(t))|G(t)|dt

≤K[f(u) +f(v) + Z _v

u

(−f⁰(t))dt)] = 2Kf(u)^u→b−→0.

Cela veut dire que l’int´egrale g´en´eralis´ee R_b

af(t)g(t)dt v´erifie le crit`ere de

Cauchy, donc elle converge. ♦

Exemple1.27. Soitα >0. Etude de la convergence deR_+∞

1 t^−αcos(t)dt.

(i) Pour α >1, l’int´egraleR_+∞

1 t^−αdt est convergente d’apr`es le Lemme 1.20, donc R_+∞

1 t^−αcos(t)dt est absolument convergente par comparaison (|t^−αcos(t)| ≤t^−α).

(ii) Supposons d´esormais 0 < α≤ 1. Alors l’int´egrale R_+∞

1 t^−αcos(t)dt est convergente mais pas absolument convergente.

Pour montrer la convergence simple, on peut appliquer la r`egle d’Abel, avec f(t) =t^−α etg(t) = cos(t). En effet,|R_u

1 cosdt|=|sin(u)−sin(1)| ≤2

∀u∈[1,+∞[.

Pour montrer la non-convergence absolue de R_+∞

1 t^−αcos(t)dt, c’est `a dire la divergence de R_+∞

1 t^−α|cos(t)|dt, on peut utiliser l’in´egalit´e t^−α|cos(t)| ≥t^−αcos²(t) = 1

2[t^−α+t^−αcos(2t)].

R_+∞

1 t^−αcos(2t)dt converge (pour les mˆeme raisons que R_+∞

1 t^−αcos(t)dt), maisR_+∞

1 t^−αdtdiverge (quand 0< α≤1), doncR_+∞

1 t^−αcos²(t)dtdiverge, et par comparaison R_+∞

1 t^−α|cos(t)|dt diverge.

Remarque 1.28. Une int´egrale g´en´eralis´ee convergente, mais pas abso- lument convergente, est dite aussi semi-convergente.

8 1. INT´EGRALES G´EN´ERALIS´EES

4. Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees

Pour calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou ´etudier sa nature (absolue convergence, semi-convergence, divergence) on aura le plus souvent recours au calcul d’une primitive. On pourra aussi utiliser d’autres m´ethodes, par exemple, l’int´egration par parties ou le changement de variable. On a en particulier :

Th´eor`eme1.29. Soitφ:]α, β[→]a, b[une bijection continˆument d´erivable strictement monotone etf :]a, b[→Rune application continue. Alors l’int´egrale R_b

af(x)dx converge si et seulement si R_β

α f(φ(t)φ⁰(t)dt converge et dans ce cas

(1.12)

Z _β

α

f(φ(t))φ⁰(t)dt= Z _φ(β)

φ(α)

f(x)dx.

Preuve. Utiliser la formule de changement de variable pour le cas “pro-

pre” (Th´eor`eme 1.8) et passer `a la limite. ♦

Exemple 1.30. Soit 0< α <2. Etude de la convergence de I =

Z ₁

0

s^−αcos(s⁻¹)ds.

NotonsI_ε= Z ₁

ε

s^−αcos(s⁻¹)ds, s=φ(t) = 1/t, φ⁰(t) =−1/t². I_ε=−

Z ₁

1 ε

t^αcos(t)−1 t² dt=

Z ¹

ε

1

t^−(2−α)cos(t)dt.

D’apr`es les r´esultats de l’Exemple 1.27, on obtient :

– Pour 0< α <1, 2−α >1 et I est absolument convergente.

– Pour 1 ≤ α < 2, 0 < 2− α ≤ 1 et I est convergente mais pas absolument convergente.

5. Exercices Exercise 1.1. Monter la divergence de :

Z _∞

0

sinx dx, Z _∞

0

sin²x x dx,

Z ₁

0

sinx x² dx,

Z ₁

0

dx 1−x^1/2,

Z _∞

2

dx xlnx Exercise 1.2. Convergence absolue :

Z _∞

1

sinx x² dx,

Z ₁

0

sin(1/t)dt, Z _∞

0

2^−xx⁴dx, Z ₁

0

dx arccosx,

Z _∞

2

dx x(lnx)² Exercise 1.3. Convergence simple (semi-convergence) :

Z _∞

0

sin(x²) dx, Z _∞

1

cosx x dx Exercise 1.4. Etudier la convergence (α∈R)

Z _∞

0

tlnt (1 +t²)^αdt,

Z ₁

0

dx (tanx−x)^α,

Z ₁

0

x^α−1 lnx dx,

Z _∞

0

cos(t^α)dt

5. EXERCICES 9

Exercise 1.5. Montrer la convergence et calculer Z _+∞

−∞

dt t²+ 2t+ 2,

Z _∞

0

dt 1 +t⁴,

Z _∞

0

t²dt 1 +t⁴,

Z _π/2

0

√tant dt Exercise 1.6. Montrer la convergence et calculer

Z _∞

2

dx x²−1,

Z _∞

0

dx

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3), Z ₅

4

p dt

(t−4)(5−t) Exercise 1.7. Montrer la convergence et calculer

Z _∞

0

lnt 1 +t²dt,

Z ₁

0

lnt

√1−tdt, Z _∞

−∞

dx

(a+x²)(b+x²) (a, b >0)

Exercise 1.8. Montrer que les int´egrales suivantes convergent et les calculer par r´eccurence :

I_n= Z _∞

0

tⁿe^−tdt, J_n= Z _∞

0

dt (1 +t²)ⁿ .

CHAPITRE 2

S´ eries num´ eriques

1. Somme d’une s´erie

Soit (a_n)_n∈N une suite de nombres r´eels ou complexes. On veut donner un sens `a la s´erie, c’est `a dire lasomme infinie

(2.1)

X∞

n=0

a_n.

Pour cela, on regarde les sommes partielles

(2.2) A_n=

Xn

k=0

a_n.

La suite (A_n)_n∈N est appel´ee suite associ´ee `a la s´erie P

a_n. De la relation a_n = A_n−A_n−1 on d´eduit que la s´erie P

a_n est d´et´ermin´ee par sa suite associ´ee.

D´efinition 2.1. Soit P

a_n une s´erie num´erique et notons (A_n) la suite associ´ee. On dit que la s´erie P

a_n est convergente (resp. divergente) si et seulement si la suite associ´ee (A_n) est convergente (resp. divergente). Dans le cas convergent la limite lim_n→∞A_nest appel´ee somme de la s´erieP_∞

n=0a_n. On peut ´ecrire

(2.3)

X∞

k=0

a_n= lim

n→∞

Xn

k=0

a_n.

Remarque2.2. De fa¸con similaire, on peut d´efinirP_∞

n=0f_n, o`uf_nsont des ´el´ements d’un espace vectoriel (e.g., espaces euclidiens ou espaces de fonctions). Dans ce chapitre nous ´etudions seulement les s´eries num´eriques.

Plus tard nous regarderons des s´eries de fonctions.

Remarque2.3. Sia_n=<(a_n)+i=(a_n)∈Csont des nombres complexes (<et=d´esignent la partie r´eelle et la partie complexe), alors la s´erieP

a_n converge si et seulement si les s´eriesP

<(a_n) etP

=(a_n) convergent, et dans ce cas on a

(2.4) X

a_n=X

<(a_n) +iX

=(a_n) D´efinition2.4. On dit que la s´erieP

a_n v´erifie lecrit`ere de Cauchy si et seulement si : ∀ ε >0 ∃N ∈Ntelle que ∀ n≥N, p∈Non a

(2.5) |A_n+p−A_n|=

¯¯

¯¯

¯ Xp

k=1

a_n+k

¯¯

¯¯

¯≤ε.

10

1. SOMME D’UNE S´ERIE 11

Autrement dit, la s´erieP

a_nsatisfait le crit`ere de Cauchy si et seulement si la suite associ´ee A_n =P_n

k=0a_k satisfait le crit`ere de Cauchy. Rappelons qu’une suite num´erique converge si est seulement si elle satisfait le crit`ere de Cauchy. Donc

Th´eor`eme 2.5. Une s´erie num´eriqueX

a_n est convergente si et seule- ment si elle v´erifie le crit`ere de Cauchy.

Corollaire 2.6. Une condition n´ecessaire pour que la s´erie X a_n converge est que

(2.6) lim

n→∞a_n= 0.

Attention ! La condition lim_n→∞a_n = 0 n’est pas suffisante pour la convergence de la s´erieP

a_n.

Exemple 2.7. Si |z| ≥ 1 alors la s´erie P_∞

n=0zⁿ diverge car son terme g´en´eral ne tend pas vers 0.

Exemple 2.8. La s´erie r´eelle harmonique P_∞

n=1 1

n diverge bien que lim_n→∞ ¹_n = 0. En effet ∀ n ∈ N^∗, P_n

k=1 1

n+k ≥ _2nⁿ = ¹₂ donc la s´erie harmonique ne v´erifie pas le crit`ere de Cauchy.

Proposition 2.9. Si les deux s´eries num´eriques P

a_n et P

b_n sont convergentes alors la s´erie P

(a_n+b_n) est aussi convergente et on a (2.7)

X∞

n=0

(a_n+b_n) = X∞

n=0

a_n+ X∞

n=0

b_n.

Si la s´erie P

a_n est convergente etλest un nombre alors la s´erieP

λa_n est aussi convergente et on a

(2.8)

X∞

n=0

λa_n=λ X∞

n=0

a_n.

Preuve. R´esulte des propri´et´es similaires pour les suites num´eriques. ♦ Attention !La s´erieP

(a_n+b_n) peut etre convergente mˆeme siP a_net Pb_n sont divergentes. (Mais si l’une de ces deux diverge et l’autre converge alorsP

(a_n+b_n) diverge ; montrer pourquoi ?). Par exemple,P

2ⁿetP (₂¹n− 2ⁿ) divergent, maisP_∞

n=0[2ⁿ+ (₂¹n −2ⁿ)] =P_∞

n=0 1

2ⁿ = 2 converge.

D´efinition 2.10. La s´erie num´erique P

a_n est diteabsolument conver- gente si et seulement si la s´erie P

|a_n|`a termes dansR₊ est convergente.

Th´eor`eme 2.11. Toute s´erie num´erique P_∞

n=0a_n absolumente conver- gente est aussi convergente et on a

(2.9) |

X∞

n=0

a_n| ≤ X∞

n=0

|a_n|.

Preuve. Soitε >0. D’apr`es le Theor`eme 2.5,∃N ∈Ntel que∀n≥N, p∈ N :P_p

k=1|a_n+k| ≤ε. A fortiori, ∀n≥N, p∈N:|P_p

k=1a_n+k| ≤ε. D’apr`es

12 2. S´ERIES NUM´ERIQUES

le crit`ere de Cauchy, la s´erie P

a_n converge. L’in´egalit´e entre sommes se r´eduit par passage `a la limite de :

(2.10) |

XN

n=0

a_n| ≤ XN

n=0

|a_n| ∀ N ∈N.

♦

2. Etude de la convergence absolue d’une s´erie 2.1. S´erie `a termes r´eels positifs.

Th´eor`eme 2.12. La s´erieP

a_n, `a termes r´eels positifs, est convergente si et seulement si la suite associ´ee (A<sub>n</sub>), o`uA_n=P_n

k=0a_k, est major´ee. La somme de la s´erie est alors la borne sup´erieure de {A_n;n∈N}. La s´erie est divergente si et seulement si lim_n→∞A_n= +∞.

Preuve. R´esulte imm´ediatement du fait qua la suiteA_nest croissante.♦ Corollaire 2.13. Soient P

a_n et P

b_n deux s´eries `a termes r´eels po- sitifs. Alors la s´erie P

(a_n+b_n) et convergente si et seulement si les deux s´eries P

a_n etP

b_n sont convergentes, et dans ce cas on a (2.11)

X∞

n=0

(a_n+b_n) = X∞

n=0

a_n+ X∞

n=0

b_n.

Th´eor`eme 2.14 (Crit`eres de comparaison). Soient P

a_n et P

b_n deux s´eries `a termes r´eels positifs v´erifiant

(2.12) 0≤a_n≤b_n ∀ n∈N.

(i) Si la s´erie P

b_n converge, alors la s´erie P

a_n converge et

(2.13) 0≤

X∞

n=0

a_n≤ X∞

n=0

b_n

(ii) Si la s´erie P

a_n diverge, alors la s´erieP

b_n diverge.

Preuve. On a pour toutn∈N: 0≤P_n

k=0a_k≤P_n

k=0b_k. (i) est alors un corollaire du Th´eor`eme 2.12. (ii) s’en d´eduit par contraposition. ♦ Remarque 2.15. Hormis l’in´egalit´e (2.13), le th´eor`eme pr´ec´edent reste valable sous l’hypoth`ese moins forte :

(2.14) ∃ N ∈Nt.q.∀ n≥N : 0≤a_n≤b_n. Corollaire 2.16. Soit P

a_n une s´erie `a termes dans R. On d´efinit a⁺_n = max(0, a_n), a⁻_n = max(0,−a_n). Une condition n´ecessaire et suffisante pour que P

a_n soit absolument convergente est que les deux s´eriesP a⁺_n et Pa⁻_n soient convergentes.

Preuve. La condition n´ecessaire r´esulte du Th´eor`eme pr´ec´edent compte tenu des in´egalit´es 0≤a⁺_n ≤ |a_n|et 0≤a⁻_n ≤ |a_n|. La condition suffisante r´esulte de la relation |a_n|=a⁺_n +a⁻_n. ♦

2. ETUDE DE LA CONVERGENCE ABSOLUE D’UNE S´ERIE 13

Corollaire 2.17. La s´erie complexe P

a_n est absolument convergente si et seulement si les deux s´eries r´eelles P

<(a_n) et P

=(a_n) sont absolu- ment convergentes

Preuve.|<(a_n)|+|=(a_n)| ≤2|a_n| ≤2(|<(a_n)|+|=(a_n)|). ♦ Rappel : La notation a_n = O(b_n) au voisinage de +∞ veut dire qu’il existe un nombre positif C et un nombre naturel N tel que |a_n| ≤ C|b_n| pour tout n≥N.

Corollaire 2.18. Soient P

a_n et P

b_n deux s´eries `a termes r´eels po- sitifs v´erifiant a_n=O(b_n) au voisinage de +∞. Alors :

(i) Si la s´erie P

b_n converge, alors la s´erie P

a_n converge.

(ii) Si la s´erie P

a_n diverge, alors la s´erieP

b_n diverge.

(iii) Sib_n6= 0 ∀net∃ lim

n→∞

a_n

b_n ∈R^∗₊ alors les deux s´eriesP

a_netP

b_n sont de mˆeme nature.

Preuve. (iii) La condition lim_n→∞^a_bnⁿ >0 implique qu’il existentC₁, C₂ >

0 et N ∈ N tels que C₁b_n ≤ a_n ≤ C₂b_n ∀n ≥ N. Donc P

a_n convergente

=⇒ P

C₁b_n convergente ⇐⇒ P

b_n convergente ⇐⇒ P

C₂b_n convergente

=⇒ P

a_n convergente. ♦

Attention !Si les s´eriesP

a_netP

b_nne sont pas `a termes positifs alors elles ne sont pas forc´ement de mˆeme nature mˆeme si ∃lim_n→∞^a_bnⁿ ∈R^∗₊.

Exemple 2.19. La s´erie P

b_n de terme g´en´eral b_n = ^(−1)√_nⁿ converge, mais la s´erie P

a_n de terme g´en´eral a_n = _n¹ + ^(−1)√_nⁿ diverge, bien que lim_n→∞ ^a_bⁿ_n = 1. (Exercice : montrer pourquoi).

2.2. Comparaison avec une s´erie g´eom´etrique.

D´efinition 2.20. Toute s´erie complexe de la formeP

aⁿ o`u a∈Cest dite s´erie g´eom´etrique.

Proposition 2.21. Soit la s´erie g´eom´etrique P_∞

n=0aⁿ. Si |a| ≥1, elle diverge ; si |a|<1, elle converge et a pour somme 1

1−a.

Preuve. Si |a| ≥1, la suiteaⁿ n’admet pas 0 pour limite ; la s´erieP a_n est donc divergente.

Supposons |a|<1. On montre facilement par r´ecurrence (2.15)

Xn

k=0

a^k = 1−aⁿ⁺¹ 1−a

n→∞−→ 1 1−a

♦ Th´eor`eme 2.22 (R`egle de Cauchy). Soit P

a_n une s´erie num´erique.

On pose

(2.16) λ= lim sup

n→∞ |a_n|^1/n. (i) Si λ <1, la s´erie P

a_n est absolument convergente.

(ii) Si λ >1, la s´erie P

a_n est divergente.

14 2. S´ERIES NUM´ERIQUES

Rappel. Soit (c_n) une suite de nombres r´eels. Si pour tout N ∈ N, la suite (c_n)_n≥N n’est pas major´ee, alors lim sup_n→∞c_n = +∞. Dans le cas contraire, lim sup_n→∞c_n := lim_k→∞sup{c_n, n≥k}<+∞.

Preuve. (i) Supposonsλ <1. Choisissonsµ∈Rtel queλ < µ <1. On a lim_n→∞sup_k≥n|a_k|^1k =λ < µ, donc il existen₀∈Ntel que sup_k≥n|a_k|^1k ≤µ pour tout n≥n₀. Par cons´equence, pour toutn≥n₀ on a |a_n|^1/n ≤µ, ou

|a_n| ≤µⁿ. D’apr`es la Proposition 2.21 et le th´eor`eme de comparaison,P

|a_n| converge.

(ii) Supposons λ >1. Pour toutn∈N, il existek≥n avec |a_k|>1. La suite a_n n’admet pas 0 pour limite ; donc la s´erie P

a_n diverge. ♦

Th´eor`eme2.23 (R`egle de d’Alembert). SoitP

a_n une s´erie num´erique v´erifiant a_n6= 0 pour n≥n₀. On pose :

(2.17) L= lim sup

n→∞

|a_n+1|

|a_n| , l= lim inf

n→∞

|a_n+1|

|a_n| (i) Si L <1, alors la s´erie P

a_n est absolument convergente.

(ii) Si l >1, alors la s´erie P

a_n est divergente.

Preuve. (i) Supposons L <1 et prenons µ tel que L < µ < 1. Il existe N ∈ N tel que a_n 6= 0 et ^|a_|aⁿ⁺¹_n|^| ≤ µ pour tout n ≥ N. On en d´eduit par r´eccurence que pour tout n≥N,|a_n| ≤λⁿ.^|a_λ^NN^| D’apr`es la Proposition 2.21 et le th´eor`eme de comparaison, P

|a_n|converge.

(ii) Supposons l > 1. Il existeN ∈N tel que a_n6= 0 et ^|a_|aⁿ⁺¹_n|^| ≥1 pour toutn≥N., donc|a_n| ≥ |a_N|>0∀n≥N. La suite a_n n’admet pas 0 pour limite, donc la s´erie P

a_n diverge. ♦

Remarque 2.24. Le cas lim sup_n→∞|a_n|^1/n = 1 est le cas douteux la r`egle de Cauchy. En fait, il y a des exemples convergents et des exemples divergents dans ce cas. De fa¸con similaire, le cas lim sup_n→∞ ^|a_|a^n+1|

n| ≥ 1 ≥ lim inf_n→∞^|a_|aⁿ⁺¹_n|^| ne peut pas ˆetre trait´e par la r`egle de d’Alembert. Nous verrons des r`egles plus fines pour ´etudier ces cas.

2.3. Comparaison d’une s´erie et d’une int´egrale.

Th´eor`eme 2.25. Soit f : [a,+∞[→ R₊ positive et d´ecroissante. Alors la s´erie P_∞

n=0f(a+n) et l’int´egrale R_+∞

a f(t)dt sont de mˆeme nature.

Preuve. On a,∀k∈N,f(a+k+ 1)≤R_a+k+1

a+k f(t)dt≤f(a+k), donc (2.18)

Xn

k=1

f(a+k)≤ Xn

k=0

Z _a+k+1

a+k

f(t)dt= Z _a+n

a

f(t)dt≤

n−1X

k=0

f(a+k).

D’apr`es le Th´eor`eme 1.16 et le Th´eor`eme 2.12 sur la convergence des int´egrales et des s´eries positives, on a, `a cause des in´egalit´es pr´ec´edentes : R_+∞

a f(t)dt convergente ⇐⇒ {R_a+n

a f(t)dt, n∈N} major´e⇐⇒ {P_n

k=1f(a+k), n∈N}

major´e ⇐⇒P_∞

n=0f(a+n) convergente. ♦

3. CONVERGENCE SIMPLE 15

2.4. S´eries de Riemann.

D´efinition 2.26. Toute s´erie de la forme X∞

n=1

1

n^α o`u α ∈ R est donn´e est dite s´erie de Riemann.

Proposition 2.27. La s´erie de Riemann converge si et seulement si α >1.

Preuve. Siα≤0, le terme g´en´eraln^−αne tend pas vers 0, doncP_∞

n=1 1 n^α

diverge. Pour α >0, la s´erie P_∞

n=1 1

n^α et l’int´egrale R_+∞

1 dt

t^α sont de mˆeme nature d’apr`es le Th´eor`eme 2.25. De l’autre cˆot´e, le Lemme 1.20 dit que R_+∞

1 dt

t^α converge si et seulement si α >1. ♦

Remarque 2.28. La s´erie de Riemann correspond au cas douteux de la r`egle de Cauchy. En effet, posant u_n = _n¹α, |u_n|¹ⁿ = exp(^−α_n^lnn) ^n→∞−→ 1.

C’est ´egalement le cas douteux de la r`egle de d’Alembert puisque ^u_uⁿ⁺¹

n =

(ⁿ⁺¹_n )^{−α n}−→^→∞1.

3. Convergence simple

Les s´eries num´eriques qui sont convergentes mais pas absolument conver- gentes sont appell´ees aussi semi-convergentes.

Un des outils principaux pour ´etudier la convergence des s´eries qui ne sont pas forc´ement absolument convergentes et la r`egle d’Abel ci-dessous.

3.1. R`egle d’Abel.

Lemme 2.29 (Transformation d’Abel). Soient (a_n) et (b_n) deux suites num´eriques. On poseB_n=P_n

k=0b_k. On a alors pour toutn∈Netp∈N^∗ : (2.19)

Xp

k=1

a_n+kb_n+k= Xp

k=1

(a_n+k−a_n+k+1)B_n+k−a_n+1B_n+a_n+p+1B_n+p. Preuve. On a b_n+k =B_n+k−B_n+k−1, donc :

Xp

k=1

a_n+kb_n+k= Xp

k=1

a_n+kB_n+k− Xp−1

l=0

a_n+l+1B_n+l (l=k−1).

Rempla¸cant l park, on obtient la formule recherch´ee. ♦ Th´eor`eme2.30 (R`egle d’Abel). Soient(a_n)et(b_n)deux suites num´eriques qui v´erifient les trois conditions suivantes :

(i) lim_n→∞a_n= 0.

(ii) P_∞

n=0|a_n−a_n+1|<+∞.

(iii) La suite (B_n) est born´ee, o`u B_n=P_n

k=0b_n. Alors la s´erie P_∞

n=0a_nb_n est convergente.

Preuve. D’apr`es (iii), ∃M > 0 tel que |B_n| ≤ M ∀n ∈ N. Avec la transformation d’Abel et l’in´egalit´e triangulaire, on obtient :

¯¯

¯¯

¯ Xp

k=1

a_n+kb_n+k

¯¯

¯¯

¯=M

" _p X

k=1

|a_n+k−a_n+k+1|+|a_n+1|+|a_n+p+1|

# .