blanc97

Universit´e Lyon 1. Pr´eparation au C.A.P.E.S, ´epreuve d’Analyse

Capes blanc d’analyse du 5 fevrier 1997.

Dur´ee : 5 heures.

Il sera tenu compte de la clart´e et de la concision de la r´edaction.

L’objet du probl`eme est l’´etude d’une suite de fonctions d´efinie par une int´egrale, pour en d´eduire des propri´et´es de la fonction Γ, en particuler l’´equation fonctionelle

Γ(β)Γ(1 − β) = π

sin βπ pour 0 < β < 1.

Dans tout le probl`eme la lettre α repr´esente un r´eel strictement plus grand que 1, et la lettre β repr´esente 1/α, c’est `a dire qu’on a toujours β = 1/α.

La suite de fonctions consid´er´ee est la suite des u_n(α), d´efinies pour n ≥ 1 par

un(α) = Z ∞

0

dt

(1 + t^α)ⁿ (In).

Partie 1 : Convergence de la suite (u

(α))

.

1. (a) D´emontrer que, pour tout n ≥ 1, u_n(α) est d´efini pour α > 1. D´emontrer que la suite n → u_n(α) est d´ecroissante et que la suite de fonctions (u_n)_n≥1 est simplement convergente sur l’intervalle ]1, ∞ [ ( on ne demande pas de calculer la limite).

(b) En partageant l’intervalle d’int´egration de l’int´egrale (I_n) en trois intervalles, d´emontrer que, pour tout r´eel a, (0 < a < 1), on a la majoration

un(α) ≤ a + 1

(1 + a^α)ⁿ + 1 nα − 1. En d´eduire que un(α) tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

2. (a) A l’aide d’une int´egration par parties, ´etablir une relation de r´ecurrence reliant u_n+1(α) et u_n(α).

(b) Montrer que u_n+1(α) s’exprime au moyen de u₁(α) par la formule u_n+1(α) = u₁(α) (1 − β)(2 − β) . . . (n − β)

n! .

3. Soit (wn(α))n≥1 la suite d´efinie par wn(α) = ln un(α) + β ln n.

(a) En ´etudiant la s´erie de terme g´en´eral (w_n+1(α) − w_n(α))_n≥1 montrer que la suite (wn(α))n≥1 est une suite convergente.

(b) En d´eduire qu’il existe un r´eel K(α) tel que un(α) soit ´equivalent lorsque n tend vers l’infini `a l’infiniment petit K(α)

n^β . 4. (a) En ´ecrivant

u1(α) − 1 = Z 1

0

 1

1 + t^α − 1

 dt +

Z ∞ 1

1 1 + t^αdt montrer que limα→∞u1(α) = 1.

(b) En d´eduire , pour tout n ≥ 1, la limite de un(α) quand α tend vers l’infini.

(c) La suite de fonctions un est–elle uniform´ement convergente sur l’intervalle ]1, +∞ [ ?

Partie 2 : Expression de K(α) au moyen de β et Γ.

On pose, pour x r´eel,

Γ(x) = Z ∞

0

t^x−1e^−tdt.

1. (a) D´eterminer l’ensemble des r´eels x pour lesquels l’int´egrale impropre ci dessus est convergente.

(b) D´emontrer que Γ v´erifie l’´equation Γ(x + 1) = xΓ(x).

(c) On consid`ere la suite de fonctions Γn d´efinie par Γn(x) =

Z n

1 n

t^x−1e^−tdt.

D´emontrer que la suite Γ_n converge uniform´ement vers Γ sur tout intervalle ferm´e born´e [A, B ] contenu dans ] 0, ∞ [.

(d) D´emontrer que la fonction Γ est continue.

2. Minoration de n^βu_n.

(a) Etablir la relation e^−ntα ≤ 1

(1 + t^α)ⁿ pour tout t ≥ 0. En d´eduire la minora- tion

un(α) ≥ Z ∞

0

e^−ntαdt.

(b) A l’aide d’un changement de variable dans l’int´egrale ci–dessus donner un mi- norant de n^βu_n(α) qui s’exprime simplement au moyen de β et Γ(β).

3. Majoration de n^βun.

(a) Soit  un r´eel 0 <  < 1. D´emontrer qu’il existe un r´eel a compris strictement entre 0 et 1, tel que, pour tout t de l’intervalle [0, a] et pour tout n ≥ 1 on ait

t(1 − ) ≤ ln(1 + t).

En d´eduire que, pour tout α > 1, on a

∀t ∈ [0, a ], 1

(1 + t^α)ⁿ ≤ exp(−n(1 − )t^α).

2

(b) En partageant l’intervalle d’int´egration de l’int´egrale (In) qui d´efinit un(α) en trois intervalles prouver la majoration

un(α) ≤ Z a

0

exp(−n(1 − )t^α)dt + 1

(1 + a^α)ⁿ + 1 nα − 1. (c) D´eterminer, pour  fix´e, la limite de n^βRa

0 exp(−n(1 − )t^α)dt lorsque n tend vers l’infini.

(d) En d´eduire que la constante K(α) d´efinie dans la partie 1.3.b est ´egale `a β Γ(β).

Partie 3 : Expression de u

(α) au moyen de β et Γ.

1. (a) D´eterminer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere de terme g´en´eral un(α)x<sup>n</sup>. Soit F (x) la somme de cette s´erie, pour x dans l’intervalle ]−R, +R [ c’est `a dire

F (x) =

∞

X

n=1

un(α)xⁿ.

(b) En utilisant l’expression de un+1(α) obtenue dans la question (2.b) de la premi`ere partie, montrer que la s´erie enti`ere

1 u₁(α)

∞

X

n=0

u_n+1(α)xⁿ

est le d´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction simple.

(c) En d´eduire que pour x dans l’intervalle ]−R, +R [ on a F (x) = u1(α)x(1 − x)^β−1.

2. (a) D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere de terme g´en´eral n<sup>−β</sup>x<sup>n</sup>; soit G la somme de cette s´erie, c’est `a dire

G(x) =

∞

X

n=1

n^−βxⁿ.

Est–ce que la fonction G est d´efinie pour x = 1 ?

(b) Etablir que, pour 0 < x < 1 , la fonction t → t^−βx^t, d´efinie sur l’intervalle ]1, +∞ [, est d´ecroissante; en d´eduire un encadrement de G(x) − x par deux int´egrales.

(c) Prouver que, lorsque x tend vers 1, la fonction G(x) est ´equivalente `a (1 − x)^β−1Γ(1 − β).

3. (a) D´emontrer que, pour tout  compris strictement entre 0 et 1, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N , on ait

(1 − )K(α)

n^β ≤ u_n(α) ≤ (1 + )K(α) n^β .

(b) En d´eduire que, lorsque x tend vers 1, le rapport F (x)/G(x) tend vers K(α).

4. (a) Utiliser les r´esultats pr´ec´edents pour exprimer u1(α) `a l’aide de β et Γ.

3

(b) Calculer u1(2); en d´eduire la valeur Γ 1 2

 .

Partie 4 : Expression de u

(α) au moyen de β.

Soit ϕ la fonction d´efinie sur l’intervalle I =]− π, +π [ par ϕ(θ) =

Z ∞ 0

x^β−1 1 + xe^iθdx, et soit ϕ_n d´efinie, pour n ≥ 1, par

ϕn(θ) = Z n

1 n

x^β−1 1 + xe^iθdx.

1. (a) V´erifier que la fonction ϕ est bien d´efinie dans l’intervalle I.

(b) Montrer que ϕ_n est d´efinie et continˆument d´erivable sur l’intervalle I.

(c) D´emontrer que ϕ est continˆument d´erivable sur I.

2. (a) A l’aide d’un changement de variable dans l’int´egrale qui d´efinit ϕ(0), exprimer ϕ(0) en fonction de u₁(α).

(b) D´emontrer que ϕ est solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre et en d´eduire que, pour θ dans l’intervalle I, on a

ϕ(θ) = αu1(α)e^−iβθ. (c) En d´eduire que, pour θ dans l’intervalle I,

αu₁(α) sinβθ = Z ∞

0

x^βsin θ

1 + 2x cos θ + x²dx.

3. Dans cette question on suppose 0 < θ < π.

(a) Calculer l’int´egrale

Z ∞ 0

sin θ

1 + 2x cos θ + x²dx.

(b) D´emontrer que

αu₁(α) sinβθ − θ = Z 1

0

(1 − x^β)²sin θ x^β(1 + 2x cos θ + x²)dx.

4. (a) D´eduire des r´esultats pr´ec´edents que pour θ dans ] 0, π [ on a l’encadrement 0 ≤ αu1(α) sinβθ − θ ≤ sin θ

1 − β. (b) En d´eduire la valeur de u1(α).

5. (a) Montrer que la fonction Γ v´erifie l’´equation fonctionnelle Γ(β)Γ(1 − β) = π

sin βπ pout tout β, 0 < β < 1.

(b) Soit p ≥ 2 un entier. Donner la valeur de l’int´egrale Kp =

Z ∞ 0

dx 1 + x^p.

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