2006-12-03 by BM
Notes de Cours
TH ´ EORIE SPECTRALE
B. Maurey
D´ecembre 2004 r´evision 11/2006
Ces Notes sont issues d’un enseignement donn´e `a Paris 7 pendant les deux ann´ees 2003 et 2004, dans le cadre du magist`ere de Cachan. Leur contenu provient en partie d’un polycopi´e de titre voisin Analyse Fonctionnelle et Th´eorie Spectrale, que j’avais r´edig´e pour un cours de maˆıtrise `a Paris 7 ; on peut trouver ce poly `a l’adresse
http://www.math.jussieu.fr/~maurey/ts012/poly/index.html
Compar´ees `a ce poly de maˆıtrise, ces Notes adoptent un rythme plus soutenu, et se placent `a un niveau un peu plus ambitieux, entre maˆıtrise et d´ebut de troisi`eme cycle.
Elles contiennent aussi un certain nombre d’´el´ements qui n’ont jamais ´et´e r´eellement enseign´es devant les ´etudiants, mais que je ne me suis pas r´esolu `a supprimer.
Le lecteur se rendra compte facilement que j’ai forc´ement ´etudi´e le livre de Rudin, Functional Analysis, qui constitue une lecture tr`es recommandable. Le contenu de ces Notes doit aussi beaucoup `a un autre poly de maˆıtrise de Paris 7, que m’avait l´egu´e Georges Skandalis, et sur lequel j’avais construit le poly mentionn´e ci-dessus ; on peut encore trouver dans le document qui suit des morceaux qui ont ´et´e tap´es par Skandalis ! L’esprit de ce poly de Skandalis provenait en partie du livre de Reed et Simon, Methods of modern mathematical physics, volume 1, une autre excellente lecture. Les quelques passages plus sp´ecifiquement li´es `a la th´eorie des espaces de Banach ont ´et´e inspir´es par le livre de Lindenstrauss et Tzafriri, Classical Banach Spaces, volume I. J’ai consult´e le livre de G. Pedersen, C∗-algebras and their automorphism groups, pour plusieurs points concernant les C∗-alg`ebres, et absorb´e inconsciemment un grand nombre d’informations et de fa¸cons de proc´eder, qui me viennent de cours anciens que j’ai pu suivre ou de conversations avec des coll`egues.
La num´erotation des ´enonc´es et des formules est assez primitive : en g´en´eral, seuls les ´el´ements qui servent de r´ef´erence ailleurs dans le texte sont num´erot´es. Les fins de d´emonstration sont indiqu´ees par le signe hh///iiplac´e comme ci-dessous.
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Chevaleret, d´ecembre 2004 R´evis´e en novembre 2006
Sommaire
Chapitre 1. Op´erateurs compacts sur les espaces de Hilbert . . . 1
1.1. G´en´eralit´es . . . 1
1.2. Op´erateurs sur un espace de Hilbert . . . 7
1.3. Op´erateurs de Hilbert-Schmidt . . . 12
Chapitre 2. Alg`ebres de Banach . . . 21
2.1. Alg`ebres et C∗-alg`ebres . . . 21
2.2. Spectre d’un ´el´ement a d’une alg`ebre de Banach . . . 24
2.3. Premiers rudiments de calcul fonctionnel holomorphe . . . 30
Chapitre 3. Calcul fonctionnel continu . . . 33
3.1. Diviseurs de z´ero topologiques . . . 33
3.2. Calcul fonctionnel continu pour les ´el´ements normaux . . . 39
3.3. Application aux hermitiens positifs. La racine carr´ee . . . 45
3.4. Hermitiens en scalaires r´eels . . . 48
Chapitre 4. Op´erateurs de Fredholm . . . 51
4.1. Sous-espaces de dimension et de codimension finie . . . 51
4.2. Plongements d’un espace de Banach dans un autre . . . 53
4.3. Indice et op´erateurs de Fredholm . . . 56
4.4. Valeurs propres des op´erateurs compacts . . . 62
Chapitre 5. Op´erateurs autoadjoints non born´es . . . 67
5.1. Op´erateurs non born´es . . . 67
5.2. Spectre des op´erateurs ferm´es . . . 74
5.3. Adjoint hilbertien . . . 78
5.4. Transformations et repr´esentations . . . 83
5.5. L’espace H10(Ω) . . . 84
Chapitre 6. Appendice A. Calcul fonctionnel holomorphe . . . 91
Chapitre 7. Appendice B. Repr´esentations des C∗-alg`ebres . . . 97
7.1. Hermitiens positifs dans le cas abstrait . . . 97
7.2. Th´eor`eme de repr´esentation dans une alg`ebre L(H) . . . 98
7.3. Alg`ebres de Banach commutatives . . . 101
Chapitre 8. Appendice C. Perturbations strictement singuli`eres . . . 105
8.1. Suites basiques . . . 105
8.2. Perturbations strictement singuli`eres . . . 107
Chapitre 9. Appendice D. Th´eor`eme des isomorphismes . . . 109
Index alphab´etique . . . 112
Index des notations . . . 116
