UNIVERSITÉ PIERRE & MARIE CURIE Année 2008-2009 LM226 — Graphes et Combinatoire
Examen du 26 juin 2009
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées, documents interdits.
Le barème est indicatif.
Question de cours : (3 pts) Définition des coefficients multinomiaux et énoncé de la formule les faisant intervenir.
Exercice 1 (3 pts) Parmi les entiers naturels compris entre 1 et 8000, combien y en a t’il qui ne vérifient aucune des trois propriétés suivantes ?
– nest divisible par 4.
– nest divisible par 7.
– nest un cube.
Exercice 2 (4 pts)
a) Un graphe simple connexeGcontient un seul cycle, et la longueur de ce cycle est r.
CombienG admet-il d’arbre couvrants ?
b) Trouver un graphe simpleGqui a 6 arêtes et exactement 6 arbres couvrants.
c) Trouver un graphe simpleGqui a 6 arêtes et exactement 8 arbres couvrants.
d) Trouver un graphe simpleGqui a 6 arêtes et exactement 9 arbres couvrants.
e) Trouver un graphe simpleGqui a 12 arêtes et exactement 4 arbres couvrants, tous isomorphes.
f) Trouver un graphe simple G qui a 12 arêtes et exactement 4 arbres couvrants, non isomorphes 2 à 2.
Exercice 3 (4 pts) On rappelle qu’uncycle hamiltonien est un cycle élémentaire de lon- gueur égale au nombre de sommets du graphe, et qu’un graphe est hamiltonien s’il existe un cycle hamiltonien. SoitG= (S, A) un graphe simple hamiltonien. Montrer que
a) |S| ≥3,
b) Gne contient pas de sommet de degré 1, c) Gest connexe,
d) G n’a pas de sommet d’articulation (un sommet s d’un graphe connexe G est dit d’articulation siG\ {s}n’est pas connexe).
e) La réciproque des question précédentes n’est pas vraie. Pour cela, on exhibera un graphe connexe d’ordre 5 qui n’admet pas de sommet d’articulation ni de sommet de degré 1, mais qui n’est pas hamiltonien.
Exercice 4 (6 pts) On noteχ(G) le nombre chromatique du graphe simpleG.
a) SiG= (S, A) est un graphe simple eta∈A montrer que χ(G\ {a}) =χ(G) ouχ(G)−1.
Un graphe simple G= (S, A)est spécial si
∀a∈A, χ(G\ {a}) =χ(G)−1.
b) Montrer que le graphe completKnest spécial pour tout n.
c) Montrer que pour tout graphe simpleGil existe un sous-graphe couvrantH qui est spécial et tel que χ(H) =χ(G).
d) Montrer qu’un graphe spécial a au plus une composante connexe qui n’est pas un point isolé.
Un graphe simple G= (S, A)est bispécial s’il est spécial et si
∀a∈A, G\ {a} est spécial.
e) Montrer que si un graphe spécial a plus d’une arête, il a un sommet de degré au moins 2.
f) En déduire qu’un graphe bispécial a au plus une arête.
