Enoncé H149 (Diophante) Un postier perplexe
Zig a été embauché par la Poste pour relever les boîtes aux lettres de tout un quartier, et en vue d’organiser sa tournée il examine le plan du quartier.
Quartier loin d’être plan, car il abonde en dalles, passages, galeries, qui le parcourent à plusieurs niveaux. Zig reste perplexe devant la complexité de ce réseau, car de chaque boîte aux lettres on peut aller directement à au moins 8 autres.
Puce vient à son secours : “Faut-il te plaindre de cette abondance ? Peut- être a-t-on la possibilité, pour deux boîtes quelconques, de les relier par 8 itinéraires dont toutes les boîtes sont distinctes ?
— Euh. . ., oui” répond Zig après un temps de réflexion.
“Et peut-être que tout ensemble de 9 boîtes inclut deux boîtes voisines ?
— C’est vrai aussi.
— Alors, je vais te montrer comment faire ta tournée en passant à chaque boîte une fois et une seule !”
Pouvez-vous dire comment fait Puce, qui ne connaît pas ce quartier ? N.B. Le nombre de connexité h d’un graphe (“graphe h-connexe”) est le nombre minimum de chaînes reliant une paire quelconque de sommets, sans sommet commun sauf aux extrémités ; il faut que chaque sommet ait au moins h voisins, mais cela ne suffit pas, d’où la première question de Puce.
Propriété utile à connaître (théorème de Menger) : étant donné un graphe h-connexe, un sous-ensembleE de h sommets au moins, et un sommetX hors deE, il existehchaînes reliantX àhdes sommets deEet sans autre sommet commun que X.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Puce commence par former un parcours à partir d’une première boîte, de proche en proche jusqu’à arriver à une boîte dont toutes les voisines sont déjà dans le parcours ; alors “boucler ” sur celle de ces voisines qui est la première dans le parcours lui permet de former un parcours fermé de 9 boîtes au moins.
Ayant défini un premier parcours fermé, s’il ne contient pas encore toutes les boîtes, soitX une boîte qui n’y est pas. Par le théorème de Menger, il existe 8 chaines reliantX à 8 boîtes, soit A, B, C,D, E, F,G, H dans le sens du parcours. Puce considère les boîtesA0, B0, C0, D0, E0, F0, G0, H0 faisant immédiatement suite àA, B, C, D, E, F, G, H dans le parcours, qui s’écrit :
AA0. . . BB0. . . CC0. . . DD0. . . EE0. . . F F0. . . GG0. . . HH0. . . A.
Certains points peuvent être confondus (par exempleA0 et B), certaines sous-chaînes (représentées par les points de suspension) réduites à rien.
Dans l’ensemble de 9 boîtes X, A0, B0, C0, D0, E0, F0, G0, H0, il en existe deux voisines.
– si X est l’une d’elles, l’autre par exemple A0, on a un parcours fermé agrandi intégrantX
XA0. . . BB0. . . CC0. . . DD0. . . EE0. . . F F0. . . GG0. . . HH0. . . A . . . X – sinon, les deux boîtes voisines étant A0 et D0 par exemple, on a un parcours fermé agrandi intégrantX
X . . . D . . . C0C . . . B0B . . . A0D0. . . EE0. . . F F0. . . GG0. . . HH0. . . A . . . X Cela permet d’agrandir le parcours fermé jusqu’à ce qu’il contienne toutes les boîtes (cycle hamiltonien).
Remarque. Le nombre de stabilité d’un graphe est le nombre maximum de sommets d’un sous-ensemble ne contenant pas de paire de sommets voisins.
Le problème de Zig est un cas particulier du théorème (Erdős-Chvàtal) : si le nombre de stabilité n’est pas supérieur au nombre de connexité, le graphe est hamiltonien.
