I164 – Des parcours transcendants et ... plus ordinaires [*** à la main]
Une fourmi se place à l’un des sommets A d’une boite rectangulaire dont les dimensions sont x, y et z et se déplace sur les faces de la boite en décrivant des segments de droite qui font
toujours des angles de 45° avec les côtés de la boite. Lorsque la fourmi arrive sur un côté de la boite, elle choisit la direction géodésique qui lui ferait décrire une ligne droite si les deux faces partageant ce côté étaient dépliées dans un même plan . La fourmi s’arrête quand elle atteint un sommet de la boite, pas nécessairement distinct du point de départ. On désigne alors par N le nombre de segments de droite parcourus par la fourmi et par L la longueur de son périple.
Q₁ On prend x = √2, y = π et z= e=2.718281828...Démontrer que la fourmi parvient à revenir à son point de départ. Donner les valeurs possibles de N et de L.
Q₂ Prouver s’il existe ou non les dimensions entières x,y,z d’une boite rectangulaire sur laquelle : - la fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet distinct de A avec N = 5,
- la fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 6, - la fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 9,
- la fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet pas nécessairement distinct de A avec N = 2015.
Solution
Remarque liminaire :
La source du problème est le site de James M. Henle : http://www.math.smith.edu/~jhenle/
Q₁ On considère la boite rectangulaire ABCDEDFG telle que AB = CD = EF = GH = √2, AE = BF = CG = DH = e et AD = BC = EH = FG = π avec √2 < e < π.
en perspective boite et parcours mis à plat dans le plan Oxy Sans perte de généralité,la fourmi part du point A et démarre sur la face rectangulaire ABCD de dimensions √2 et π..Son parcours est ainsi définie par la ligne brisée AIJKLA qui la ramène bien à son point de départ (voir figure ci-après) :
BI = BA = √2 < π ==> le point I est intérieur au segment BC, CJ = CI = π – √2 < e ==> le point J est inérieur au segment CG,
GK = GJ = e – π + √2 < √2 ==> le point K est intérieur au segment GH,
HL = HK = √2 – (e – π + √2 ) = π – e ==> le point L est intérieur au segment EH EL = π – (π – e ) = e = AE. Cqfd.
Bien entendu, si la fourmi choisit la face ADHE, elle effectue le même parcours en sens inverse.
Si elle choisit la face ABFE, elle ne parvient jamais à son point de départ. En effet le sommet A appartient à trois faces ABCD,ABFE et ADHE. Deux d’entre elles, ABCD et ADHE ,contiennent les segments terminaux AI et LA du parcours AIJKLA. La troisième face devrait contenir un même segment tant pour l’aller que pour le retour et de proche en proche il en serait de même pour chacune des faces où passe la fourmi, ce qui est impossible car elle effectue un circuit fait de segments disjoints.
On a donc N = nombre de segments = 5 et L = longueur du parcours = √2 (e + π + √2 ) D’une manière générale avec des dimensions a,b et c réelles quelconques,a < b < c, la fourmi revient à son point de départ si elle commence son parcours par l’une des deux faces rectangulaires de dimensions a,c ou b,c.
Q₂
Remarque liminaire : les sommets A,B,C, D,E,F,G,H de la boite sont identifiés ci-après comme sur la figure en perspective de Q₁.
On trouve les dimensions (x,y,z) des boites rectangulaires dans trois cas sur quatre :
- La fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet distinct de A avec N = 5 : boite (2,3,4)
On a AB = 2, BC = 3, BF = 4. Le départ a lieu sur la face ABCD.
- La fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 9 : boite (2,3,7) On a AB = 2, BC = 3, BF = 7. Le départ a lieu sur la face ABCD.
- La fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet pas nécessairement distinct de A avec N = 2015
On a la solution triviale : boite (1,1,2015) avec la face ABCD carrée (1x1).et un parcours qui commence sur la face ABEF (1,2015) et se poursuit selon une spirale qui s’enroule autour de la boite avant d’atteindre le sommet G de la face EFGH.
Avec des dimensions distinctes de la boite,on a une autre solution : boite (1,2,3021) avec un départ sur la face rectangulaire (1,2) et N = 1 + 2*3021/(1+2) = 1 + 2*1007 = 2015.
- A l’inverse il n’existe aucun circuit possible de N = 6 segments passant par le sommet A.
En effet l’arbre de tous les circuits qui passent par A sans atteindre un autre sommet, fait apparaître 2⁵ = 32 circuits, chacun d’eux traversant six faces de la boite numérotées de 1 à 6. L’analyse de ces circuits montre que :
o Les faces n°2 et 3 ne contiennent jamais le point A.
o Si la face n°4 contient A, il est impossible d’atteindre A sur la face n°6.
o Si la face n° 4 ne contient pas A et que la face n°5 contient A, il est encore impossible d’atteindre A sur la face n°6.
o Si les faces n°2,3,4,5 ne contiennent pas A,l’accès à A sur la sixième face est toujours impossible.
Remarques :
1) Les circuits qui passant par un sommet quelconque sans passer par un autre sommet sont de longueur égale à 1 modulo 4 : 5,9,13,17,etc...
Par exemple N = 5 avec (2,4,3), N = 9 avec (2,3,7), N = 13 avec (2,3,12), N = 17 avec (2,7,11)..la première face parcourue par la fourmi ayant toujours les deux plus petites dimensions.
2) Tableau des triplets permettant de réaliser des parcours de longueur N = 2 à 12 sans retour au point de départ.
Nota :AB = x, BC = y , AE = z et la première face traversée par la fourmi est de dimensions (x,y)
