Interrogation écrite n°07
NOM : Prénom : Note :
1. Soit𝑥 ∈ ℝ. Montrer que𝑒𝑥=
+∞
∑
𝑛=0
𝑥𝑛 𝑛!.
Commeexpest de classe𝒞∞surℝ, d’après l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée entre0et𝑥,
||
|𝑒𝑥−
𝑛
∑
𝑘=0
exp(𝑘)(0) 𝑘! 𝑥𝑘|
||≤max
[0,𝑥]||exp(𝑛+1)|| ⋅ |𝑥|𝑛+1 (𝑛 + 1)!
Orexp(𝑘)=exppour tout𝑘 ∈ ℕdonc
||
|𝑒𝑥−
𝑛
∑
𝑘=0
𝑥𝑘 𝑘!𝑥𝑘|
||≤max
[0,𝑥]exp⋅ |𝑥|𝑛+1 (𝑛 + 1)!
Par croissances comparées, lim
𝑛→+∞
|𝑥|𝑛+1
(𝑛 + 1)! = 0donc
𝑛→+∞lim
𝑛
∑
𝑘=0
𝑥𝑘 𝑘! = 𝑒𝑥 ou encore
𝑒𝑥=
+∞
∑
𝑛=0
𝑥𝑛 𝑛!
2. L’ensembleA = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2, 𝑦2= 𝑥(1 − 𝑥)}est-il une partie compacte deℝ2?
L’application𝑓 ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ↦ 𝑦2− 𝑥(1 − 𝑥)est polynomiale donc continue. AinsiAest fermé comme image réciproque du fermé{0}par l’application continue𝑓.
Soit(𝑥, 𝑦) ∈ A. Alors𝑥(1 − 𝑥) = 𝑦2≥ 0donc𝑥 ∈ [0, 1]. De plus, 𝑦2= 𝑥(1 − 𝑥) = 𝑥 − 𝑥2= 1
4− (𝑥 − 1 2)
2
≤1 4
donc𝑦 ∈ [−1 2,1
2].
FinalementA ⊂ [0, 1] × [−1 2,1
2]doncAest borné.
Commeℝ2est de dimension finie,Aest compact comme fermé borné deℝ2. Remarque. On peut aussi remarquer que
∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2, 𝑦2 = 𝑥(1 − 𝑥) ⟺ (𝑥 −1 2)
2
+ 𝑦2= (1 2)
2
AinsiAest la sphère de centre(0, 0)et de rayon 1
2 pour la norme euclidienne usuelle surℝ2et il est notoire que les sphères sont fermées et bornées.
3. SoitEunℝ-espace vectoriel normé. Montrer que toute partie convexe deEest connexe par arcs.
SoitCune partie convexe deE. Soit(𝑎, 𝑏) ∈ C2. Notonsγ ∶ 𝑡 ∈ [0, 1] ↦ (1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏. Alors
• γest continue sur[0, 1];
• γ(0) = 𝑎etγ(1) = 𝑏;
• par convexité deC,γ(𝑡) ∈ Cpour tout𝑡 ∈ [0, 1].
AinsiCest connexe par arcs.
4. On pose𝑢𝑛=
𝑛
∑
𝑘=1
1
𝑘 + 𝑛pour𝑛 ∈ ℕ∗. Déterminer la limite de(𝑢𝑛).
Remarquons que pour tout𝑛 ∈ ℕ∗,
𝑢𝑛= 1 𝑛⋅ 1
1 + 𝑘
𝑛
= 1 𝑛
𝑛
∑
𝑘=1
𝑓 (𝑘 𝑛)
en posant𝑓 ∶ 𝑥 ∈ [0, 1] ↦ 1
1 + 𝑥. Comme𝑓est continue sur[0, 1], le résultat sur les sommes de Riemann affirme que,
𝑛→+∞lim 𝑢𝑛= ∫
1
0
𝑓(𝑡)d𝑡 = [ln(1 + 𝑡)]10=ln(2)
5. SoitEun espace euclidien,Iun intervalle deℝet𝑓 ∶ I → Edérivable et ne s’annulant pas surI. On note‖ ⋅ ‖la norme euclidienne
associée au produit scalaire deE. Montrer queφ ∶ 𝑡 ∈ I ↦ ‖𝑓(𝑡)‖est dérivable et calculer sa dérivée.
Remarquons queφ(𝑡) = √⟨𝑓(𝑡), 𝑓(𝑡)⟩pour tout𝑡 ∈ I. Le produit scalaire est bilinéaire et𝑓est dérivable surIdoncψ ∶ 𝑡 ∈ I ↦
⟨𝑓(𝑡), 𝑓(𝑡)⟩est dérivable surIà valeurs dansℝ∗+etψ′(𝑡) = 2⟨𝑓′(𝑡), 𝑓(𝑡)⟩pour tout𝑡 ∈ I. Enfin,𝑥 ↦ √𝑥est dérivable surℝ∗+de dérivée𝑥 ↦ 1
2√𝑥. Par composition,φ = √ψest dérivable surIet
∀𝑡 ∈ I, φ′(𝑡) = ψ′(𝑡)
2√ψ(𝑡) = ⟨𝑓′(𝑡), 𝑓(𝑡)⟩
‖𝑓(𝑡)‖
