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2.9 ÉQUATIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

cours 21

2.9 ÉQUATIONS

EXPONENTIELLES ET

LOGARITHMIQUES

(2)

Comme tous les types d’équations qu’on a vues jusqu’à présent, pour

la résoudre il faut d’une manière ou d’une autre isoler la variable.

(3)

Comme tous les types d’équations qu’on a vues jusqu’à présent, pour la résoudre il faut d’une manière ou d’une autre isoler la variable.

Pour ce faire, il faut parfois faire appel à des processus inverses.

(4)

Comme tous les types d’équations qu’on a vues jusqu’à présent, pour la résoudre il faut d’une manière ou d’une autre isoler la variable.

Pour ce faire, il faut parfois faire appel à des processus inverses.

Pour les équations exponentielles et les équations logarithmiques, on

utilise le fait qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

(5)

Comme tous les types d’équations qu’on a vues jusqu’à présent, pour la résoudre il faut d’une manière ou d’une autre isoler la variable.

Pour ce faire, il faut parfois faire appel à des processus inverses.

Pour les équations exponentielles et les équations logarithmiques, on utilise le fait qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

log

a

(a

x

) = x

(6)

Comme tous les types d’équations qu’on a vues jusqu’à présent, pour la résoudre il faut d’une manière ou d’une autre isoler la variable.

Pour ce faire, il faut parfois faire appel à des processus inverses.

Pour les équations exponentielles et les équations logarithmiques, on utilise le fait qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

log

a

(a

x

) = x a

loga x

= x

(7)

Contrairement à la racine carrée et aux inverses des rapports

trigonométriques, les exponentielles et les logarithmes n’ont qu’une

seule valeur.

(8)

Contrairement à la racine carrée et aux inverses des rapports

trigonométriques, les exponentielles et les logarithmes n’ont qu’une seule valeur.

Ce qui simplifie légèrement la résolution de telles équations.

(9)

Exemple 5

x

= 125

(10)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125

5

x

= 125

(11)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125

5

x

= 125

(12)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3

(13)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3

(14)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3

() x = 3

(15)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3

() x = 3

(16)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3 () x = 3

Exemple

(17)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3 () x = 3

Exemple 7

x

+ 1

5 = 10

(18)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3 () x = 3

Exemple

() 7

x

+ 1 = 50 7

x

+ 1

5 = 10

(19)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3 () x = 3

Exemple

() 7

x

= 49

() 7

x

+ 1 = 50 7

x

+ 1

5 = 10

(20)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3 () x = 3

Exemple

() 7

x

= 49

() x = log

7

49 () 7

x

+ 1 = 50

7

x

+ 1

5 = 10

(21)

Exemple

() log

5

5

x

= log

5

125 5

x

= 125

() x log

5

5 = 3 () x = 3

Exemple

() 7

x

= 49

() x = log

7

49 () 7

x

+ 1 = 50

7

x

+ 1

5 = 10

= 2

(22)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

(23)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

(24)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

(25)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7

(26)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7

(27)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7

() x

2

2x + 8 = 7

(28)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7

() x

2

2x + 8 = 7

(29)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7 () x

2

2x + 8 = 7

() x

2

2x + 1 = 0

(30)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7 () x

2

2x + 8 = 7

() x

2

2x + 1 = 0

() (x 1)

2

= 0

(31)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7 () x

2

2x + 8 = 7

() x

2

2x + 1 = 0 () (x 1)

2

= 0

() x 1 = 0

(32)

Exemple

2

x2 2x+8

= 128

() log

2

2

x2 2x+8

= log

2

128

() (x

2

2x + 8) log

2

2 = 7 () x

2

2x + 8 = 7

() x

2

2x + 1 = 0 () (x 1)

2

= 0

() x 1 = 0

() x = 1

(33)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

(34)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

On prend le log en base 2 ou 3?

(35)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

On prend le log en base 2 ou 3?

(36)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2

On prend le log en base 2 ou 3?

(37)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2

On prend le log en base 2 ou 3?

(38)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2

On prend le log en base 2 ou 3?

(39)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

On prend le log en base 2 ou 3?

(40)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

On prend le log en base 2 ou 3?

(41)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

On prend le log en base 2 ou 3?

(42)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

() 2x + x log

3

2 = 4 log

3

2 + 1

On prend le log en base 2 ou 3?

(43)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

() 2x + x log

3

2 = 4 log

3

2 + 1

On prend le log en base 2 ou 3?

(44)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

() 2x + x log

3

2 = 4 log

3

2 + 1

On prend le log en base 2 ou 3?

(45)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

() 2x + x log

3

2 = 4 log

3

2 + 1 () x(2 + log

3

2) = 4 log

3

2 + 1

On prend le log en base 2 ou 3?

(46)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

() 2x + x log

3

2 = 4 log

3

2 + 1 () x(2 + log

3

2) = 4 log

3

2 + 1

On prend le log en base 2 ou 3?

(47)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

() 2x + x log

3

2 = 4 log

3

2 + 1 () x(2 + log

3

2) = 4 log

3

2 + 1 () x = 4 log

3

2 + 1

(2 + log

3

2)

On prend le log en base 2 ou 3?

(48)

Exemple 3

2x 1

= 2

4 x

() log

3

3

2x 1

= log

3

2

4 x

() (2x 1) log

3

3 = (4 x) log

3

2 () 2x 1 = 4 log

3

2 x log

3

2

() 2x + x log

3

2 = 4 log

3

2 + 1 () x(2 + log

3

2) = 4 log

3

2 + 1 () x = 4 log

3

2 + 1

(2 + log

3

2)

On prend le log en base 2 ou 3?

(49)

Faites les exercices suivants

p. 391 # 1

(50)

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les

valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

(51)

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b

(52)

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

(53)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

(54)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4

(55)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

(56)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

(57)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x

(58)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x

(59)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x x 2 3

2 , 1

(60)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x

x 2 3

2 , 1

() 3

log3(2x 3)

= 3

4

(61)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x

x 2 3

2 , 1

() 3

log3(2x 3)

= 3

4

(62)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x

x 2 3

2 , 1 () 3

log3(2x 3)

= 3

4

() 2x 3 = 81

(63)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x

x 2 3

2 , 1 () 3

log3(2x 3)

= 3

4

() 2x 3 = 81

() 2x = 84

(64)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x

x 2 3

2 , 1 () 3

log3(2x 3)

= 3

4

() 2x 3 = 81 () 2x = 84

() x = 42

(65)

Exemple

Lors de la résolution d’une équation logarithmique, on doit exclure les valeurs qui rendent les arguments des logarithmes zéro ou négatifs.

log

a

b 0 < b

log

3

(2x 3) = 4 0 < 2x 3

() 3 < 2x () 3

2 < x

x 2 3

2 , 1 () 3

log3(2x 3)

= 3

4

() 2x 3 = 81 () 2x = 84

() x = 42

(66)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

(67)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0

(68)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0

(69)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0

() 3x > 1

(70)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3

(71)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3

x + 2 > 0

(72)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3

x + 2 > 0

(73)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

(74)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

(75)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

(76)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

(77)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

(78)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

(79)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

() 3x 1

x + 2 = 2

(80)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

() 3x 1 = 2(x + 2)

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

() 3x 1

x + 2 = 2

(81)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

() 3x 1 = 2(x + 2) () 3x 1 = 2x + 4

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

() 3x 1

x + 2 = 2

(82)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

() 3x 1 = 2(x + 2)

() 3x 1 = 2x + 4 () x = 5

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

() 3x 1

x + 2 = 2

(83)

Exemple log

8

(3x 1) log

8

(x + 2) = 1 3

() log

8

✓ 3x 1 x + 2

◆

= 1 3

() 3x 1 = 2(x + 2)

() 3x 1 = 2x + 4 () x = 5

3x 1 > 0 () 3x > 1

() x > 1

3 x + 2 > 0

() x > 2

() 8

log8

(

3xx+21

) = 8

13

() 3x 1

x + 2 = 2

(84)

Faites les exercices suivants

p.394 Ex.11.9 #1

(85)

Devoir: p.411 # 29 et 37

Références

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