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Équations et Inéquations
I. Equations : rappels 1) Définition :
Résoudre une équation, c’est trouver l’ensemble des nombres par lesquels remplacer l’inconnue, souvent notée 𝑥, pour que l’égalité soit vraie.
Deux équations qui ont exactement les mêmes solutions sont dites équivalentes.
2) Propriétés :
En classe de 4ème, on a appris à résoudre une équation du premier degré à une inconnue en appliquant les règles rappelées ci-dessous :
• Ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres d’une équation, la transforme en une équation équivalente.
• Multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation, la transforme en une équation équivalente.
3) Applications :
Exemple 1 : Résolvons l’équation du 1er degré : 6𝑥 + 12 = 9𝑥 − 21
𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 + 𝟐𝟏= 𝟗𝒙 − 𝟐𝟏 + 𝟐𝟏 On ajoute 21 aux deux membres de l’égalité 𝟔𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝟗𝒙 On calcule
𝟔𝒙 + 𝟑𝟑 − 𝟔𝒙 = 𝟗𝒙 − 𝟔𝒙 On soustrait 6𝑥 à chaque membre
𝟑𝟑= 𝟑𝒙 On calcule
𝟑𝟑 𝟑 = 𝟑𝒙
𝟑 On divise les deux membres par 3
𝟏𝟏= 𝒙 On calcule
Vérification :
6 ×𝟏1+ 12 =𝟔𝟔 + 𝟏𝟐 et 9×𝟏𝟏− 21 = 𝟗𝟗 − 𝟐𝟏 = 𝟕𝟖 = 𝟕𝟖 La solution de l’équation est donc 11
Conclusion : La solution de l’équation est donc 11 Remarque :
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On ne notera pas toutes les étapes précédentes quand on maitrisera mieux la résolution d’équation.
On peut, par exemple, écrire :
6𝑥 + 12 = 9𝑥 − 21 12 + 21 = 9𝑥 − 6𝑥
33 = 3𝑥
𝑥 =33 𝑥 = 11 3
Exemple 2 : Mise en équation d’un problème
• CHOIX DE L’INCONNUE : Il est indispensable de donner un nom à la quantité que l’on cherche, généralement il s’agit de x.
• MISE EN EQUATION : Cette étape, la plus délicate, consiste à traduire les hypothèses de l’énoncé par une ou plusieurs équations.
• RESOLUTION DE L’EQUATION : Cette étape n’est que l’aspect technique. Une fois maîtrisée, cette partie ne présente, en général, que peu de difficultés.
• VERIFICATION ET CONCLUSION : Cette dernière étape est une simple formalité.
Cependant, cela évite de nombreuses erreurs… Par exemple, cela évite d’écrire qu’une distance est négative.
Remarque :
La vérification se fera au brouillon ou mentalement, mais ne sera posée sur la copie que si cela est explicitement demandé.
Manu et Fred choisissent un même nombre. Manu le multiplie par 8, puis soustrait 5 au résultat. Fred le multiplie par 10, puis ajoute 2 au résultat. Ils obtiennent le même résultat. Quel nombre Manu et Fred ont-ils choisi ?
Soit 𝒙 le nombre choisi par Manu et Fred.
Manu le multiplie par 8 puis soustrait 5 au résultat : 𝟖𝒙 − 𝟓 Fred le multiplie par 10, puis ajoute 2 au résultat : 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐 Ils obtiennent le même résultat : 𝟖𝒙 − 𝟓 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐
−𝟓 − 𝟐 = 𝟏𝟎𝒙 − 𝟖𝒙
−𝟕 = 𝟐𝒙
−𝟕 𝟐= 𝒙
Manu et Fred avaient choisi -3,5 comme nombre de départ.
II. Inéquations :
n°2 ; n°3 ; n°5
n°22 ; n°23 ; n°25
n°27 ; n°28 ; n°29
n°79 ; n°80
n°30 ; n°32
n°33 ; n°35
3 1) Vocabulaire :
Une inégalité est une écriture de la forme … < … ou … ≤ … ou … > … ou … ≥ …
Une inéquation est une inégalité comportant au moins une inconnue.
Résoudre une inéquation utilise les mêmes principes d’équivalence que les équations en utilisant les propriétés suivantes.
2) Propriétés :
• L’ordre ne change pas en ajoutant ou en soustrayant n’importe quel nombre aux deux membres d’une inégalité :
Exemples ∶ 3 < 𝑥 → 3 + 𝟕 < 𝑥 + 𝟕 → 10 < 𝑥 + 7 7 ≥ 𝑥 + 11 → 7 − 𝟏𝟏 ≥ 𝑥 + 11 − 𝟏𝟏 → −4 ≥ 𝑥
• L’ordre ne change pas en multipliant ou en divisant par un nombre positif les deux membres d’une inégalité :
Exemples ∶ 3 < 𝑥 → 3 × 𝟒 < 𝑥 × 𝟒 → 12 < 4𝑥
16 ≤ 4𝑥 → 16 𝟒 ≥4𝑥
𝟒 → 4 ≥ 𝑥
• L’ordre change en multipliant ou en divisant par un nombre négatif les deux membres d’une inégalité :
Exemples ∶ −3 < 𝑥 → −3 × (−𝟒) > 𝑥 × (−𝟒) → 12 > −4𝑥
16 ≥ −4𝑥 → 16
−𝟒≤ −4𝑥
−𝟒 → −4 ≤ 𝑥
3) Applications :
strictement inférieur à
strictement supérieur à
inférieur ou égal à supérieur ou égal à
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Exemple 1 : Résolvons l’inéquation du 1er degré : −3𝑥 + 12 ≤ −6
−3𝑥 + 12 − 12 ≤ −6 − 12 On soustrait 12 aux deux membres de l’égalité −3𝑥 ≤ −18 On calcule
−3𝑥−3 ≥ −18
−3
On divise par −3 chaque membre
𝑥 ≥ 6 On calcule
Conclusion : les nombres supérieurs ou égaux à 6 sont les solutions de l’inéquation.
Exemple 2 :
Mise en inéquation d’un problème (même principe que pour une équation) Camille, nouvelle adhérente d’un club de squash, étudie les deux tarifs proposés :
• Tarif A : 5,50 € la séance ;
• Tarif B : achat d’une carte privilège à 40 € pour l’année, donnant droit au tarif réduit de 4 € par séance.
Déterminer combien de séances Camille doit faire dans l’année pour que le tarif B soit plus intéressant que le A.
Soit 𝒙 le nombre de séances.
Tarif A : 5,50 € la séance d’où 𝟓, 𝟓𝒙
Tarif B : achat d’une carte privilège à 40 € pour l’année, donnant droit au tarif réduit de 4 € par séance d’où 𝟒𝟎 + 𝟒𝒙
Le tarif B est plus intéressant que le tarif A lorsque : 𝟒𝟎 + 𝟒𝒙 < 𝟓, 𝟓𝒙 𝟒𝟎 < 𝟓, 𝟓𝒙 − 𝟒𝒙
𝟒𝟎
𝟏, 𝟓< 𝟏, 𝟓𝒙 𝟏, 𝟓
𝟖𝟎
𝟑 < 𝒙 𝒆𝒕 𝟖𝟎
𝟑 ≈ 𝟐𝟔, 𝟕
Camille doit donc faire plus de 27 séances dans l’année pour que le tarif B soit plus intéressant que le A.
[
solutions
n°8 ; n°9 ; n°11 ; n°55 ; n°57 ; n°61 ; n°62 ; n°63 ; n°64 ; n°65 ; n°66 ; n°67 ; n°68
n°69 ; n°70
n°73 ; n°74 ; n°81 ; n°83 ; n°84 ; n°100 ; n°101
