Exercices : les équations trigonométriques

©S.Jonlet

Exercices : les équations trigonométriques

Exercice 1

Résoudre les équations élémentaires suivantes et donner les valeurs principales.

1) cos x = ¹

2 16) 3 sin 2x = 1

2) sin x = 2

- 2 17) sin 4x + sin x = 0

3) tg x = -1 18) tg (3x+^π ) = tg ( ^2π- 2x)

6 3

4) 2 sin 2x + 1 = 0 19) cos 2x = - cos (x -^π )

3 5) tg 4x - 3 = 0 20) sin (3x -^π ) = sin ( ^π- x)

4 6

6) 2 cos² x = 1 21) sin 2x = cos x

7) sin 3x = 5 22) sin (2x +^π ) = cos (x - ^π)

3 4

8) cos x = -²

7 23) sin (3x +^π ) - cos (x - ^π) = 0

6 3

9) sin 3x coséc 2x = -1 24) tg 2x = cotg x 10) tg x = -¹³

4 25) tg 4x cotg 2x = -1

11) 2 cos 5x = - 3 26) tg x = 3 cotg x

12) 2 cos (3x +^π

2) + 1 = 0 27) tg 3x + cotg x = 0

13) 2 sin (^π

6- 2x) = 3 28) sin 3x = cos (^π - x) 3 14) 3 tg (2x -^π ) = - 3

6 29) cos 3x + sin x = 0

15) tg² x = 3 30) cotg² x = 1

©S.Jonlet

Exercice 2

Résoudre les équations se ramenant à une équation du second degré et donner les valeurs principales.

1) 2 cos² x - cos x – 1 = 0 6) cos 2x – cos x – 1 = 0 2) 2 cos² x + 5 cos x + 2 =0 7) tg² x – 5 tg x + 6 = 0 3) 12 cos² x – 8 sin x = 5 8) 3 tg² x - 4 3 tg x + 3 = 0 4) 12 cos² x + 8 sin² x = 11 9) séc² x – 4 tg x + 2 = 0 5) 2 cos 2x + 1 + 3 cos x = 0 10) 3 cotg² x - 2 3 cotg x = 3

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes grâce aux formules trigonométriques et donner les valeurs principales.

1) sin x + sin 3x = cos x 6) cos 3x – cos 5x = sin 6x + sin 2x 2) sin 2x + sin 4x – sin 3x = 0 7) sin 3x + sin x = sin 2x

3) cos x – cos 2x + cos 3x = 0 8) sin 2x – 2 cos² x = 0 4) sin 3x – sin 2x – 2 cos^5x

2 = 0 9) cos x + cos 5x = cos 3x + cos 7x 5) sin x + sin 3x = 1 + cos 2x 10) sin 4x cos x = sin x cos 4x

Exercice 4

Résoudre les équations homogènes en sin x et cos x, puis donner les valeurs principales.

1) sin x + 2 sin² x cos² x – 3 cos x sin³ x = 0 ⁴ 2) 3 cos x- 3 cos² x sin² x + 2 3 sin x cos³ x = 0 ⁴ 3) sin³ x + cos³ x = sin² x cos x + sin x cos² x 4) 4 sin x= 24 ⁴ cos x+ 4 sin² x cos² x ⁴

©S.Jonlet

5) 4 sin² x – 11 sin x cos x + 6 cos² x = 0 6) 2 cos² x – 3 sin x cos x = 0

7) 2 sin² x – 11 sin x cos x + 4 = 0 8) sin x+ ⁴ cos x= ^{4 2}

3

9) sin³ x – sin² x cos x + 3 sin x cos² x = 0 10) sin x + 2 ⁴ cos x - 3 sin² x cos² x = 0 ⁴

Exercice 5

Résoudre les équations linéaires, puis donner les valeurs principales.

1) cos x + 3 sin x = 2 6) 3 cos x + 2 sin x =1 2) 3 cos x + 3sin x = 3 7) sin x - 4 cos x = 4

3) 2

cos x + sin x =

2 8) 3 sin x + 3 cos x + 6 = 0

4) cos 2x + sin 2x = 2 9) 2 cos (2x +^π ) - 3 sin (2x + ^π) = 2

2 2

5) 3 cos x + 2 sin x = 2 10) cos x + sin x = -1

Exercices récapitulatifs

1) cos x + 3 sin x =1 7) 2 cos x - 3sin x cos x = 0 ^{3 2} 2) 2 sin x - 3sin x - 2 = 0 ² 8) 3 cos (x +^π ) - 4 sin (x + ^π) = 2

6 6

3) 2 sin x - 4 sin x cos x - 4 cos x = - 3^{2 2} 9) cos 2x + sin x = 0 4) cos 2x + sin x =^{2 3}

4 10) sin 4x + 2 sin 3x (cos 3x + cos x) = 0

5) tg x -² 3 tg x = 0 11) sin 2x + cos 3x = 0

6) sin x + sin 3x + sin 9x - sin 5x = 0 12) tg (3x +^π ) =1 6

©S.Jonlet

13) sin 4x - 4 sin x cos x = 0 ² 22) sin x - cos 2x +1= 0 ² 14) sin x cos 2x sin 3x = 0

23) cos 2x = sin (x -^π ) 4

15) cos x + sin x = 4 cos x sin x^{4 4 2 2} 24) 1- cos 2x = sin 2x cos x ²

16) cos 2x = -1 25) cos 2x + 3 cos (2x +^π ) = 3

2 17) cos x + cos 3x = sin 6x + sin 2x 26) cos 2x + cos 6x =1+ cos 8x 18) cos x + sin x = 2 27) 3sin x + 2 cos x = 0

19) -6 cos x + 8 sin x = 3 28) cos x - sin x = cos x ^{2 2} 20) tg 2x +1

tg x =

tg 2x -1 29) sin (4x -^π ) cos (2x + ^π) = sin (2x + ) cos (4^π x - ) ^π

5 15 15 5

21) 1- sin x ²

= tg 2x

1+ sin x 30) 2 (1+ cos 2x) = sin x