Chapitre 2 : Équations et Inéquations 2Année scolaire 2010/2011

Année scolaire 2010/2011

A. Calcul littéral 1.

Remarque

On considère comme acquise les techniques de développement et de réduction vues au collège:

k  ab=...

;

ab c d =

;

ab

²

=

^;

a – b

²

=

^;

ab a – b=

2.

Factorisations

Il s'agit d'écrire une expression sous la forme d'un produit ou d'un quotient de plusieurs facteurs ( un facteur étant une expression de la forme

ax b

)

Trois cas peuvent se présenter:

• On reconnaît un facteur commun dans chaque terme de l'expression k×Lk×B –

...k×

A=...×...

exemple :

A x =x – 12 x3 – x – 1

²

x – 1

• On reconnaît la forme développée d'une identité remarquable

A²– B²=... ^; A²2ABB²=... ^; A²−2ABB²=...

exemples :

B x =3 x – 4

²

– 1 – 5 x 

^{2 et}

C x =25 x

²

– 10 x1

Remarque: Attention aux exemples pièges de la forme

k ×A

²

– B

^{2 ou}

A

²

– k× B

²

exemple :

D  x =36 – 16 4 – 3 x

²

• La factorisation se fait en plusieurs temps: on reconnaît un facteur commun ou/et la forme développée d'une identité remarquable que dans une partie de l'expression. (Factorisation partielle)

exemples :

E  x = x – 2 x – 3 x

²

– 4 x 4

^et

F x =4 x

²

– 1 – 3 x 5 2 x – 1

B. ÉQUATIONS

1. Équation produit

Toute équation du type Ax×Bx=0, où Ax et Bx sont des expressions algébriques est appelée équation-produit.

Propriété

K×L×...×M=

0

⇔ K=0 ou L=0 ou ... ou M=0. Exemple :

Résoudre dans ℝ, l'équation 2x –1–4–5x=0

Dans la pratique, en classe de seconde, un travail préalable s'impose pour transformer une équation en équation produit. Il repose sur le schéma suivant:

Exemple : Résoudre

5 x 1

²

=2 x 5 x1

Exercices d'entrainement 

n

^os 14 & 15 page 140.

2. Équation quotient

Toute équation du type Ax

Bx=0, où Ax et Bx sont des expressions algébriques (avec Bx≠0 ) est appelée équation-quotient.

Propriété :

Pour tout x tel que

B  x≠0

,

A  x 

B  x = 0 ⇔

^Ax=0

Une équation comportant un ou plusieurs quotients pose des problèmes « d'existence » de l'écriture mathématique. Il faudra veiller à ce que la variable ne prenne pas de valeurs qui donnent une division par zéro. C'est la recherche des valeurs interdites

Exemple : Résoudre 4x1 x2 =0

Dans la pratique, en classe de seconde, un travail préalable s'impose pour transformer une équation en équation quotient. Il repose sur le schéma suivant:

exemple :

Résoudre 7 x1=2

x

Équation

on se ramène au second membre nul

On factorise

(partie I)

équation produit

on se ramène au second membre nul

Réduction au même dénominateur et

factorisation au numérateur

Équation quotient R

echerche

Valeurs interdites

Équation

3. Équation f  x =k et f x = g  x avec f , g fonctions

Dans ce paragraphe, il s'agira de résolution graphique d'équations

Les solutions de fx=k ( k réel) sont les abscisses des points d'intersection de

C

_f avec la droite d'équation y=k.

{ ^{f  x x} ∈ ^=k I

^⇔

x =a

Les solutions de fx=gx ( k réel) sont les abscisses des points d'intersection de

C

_f

avec C_g.

{ ^{f  x x =} ∈ ^g I ^{x }

^⇔

x=a

ou

x=b

exemples n° 26,27 page 64 et n° 29 page 65.

C. Signes d'expressions & I N É Q U A T I O N S 1. Passage obligé

Avant toute recherche de signe, une expression doit être factorisée (mise sous la forme d'un produit ou d'un quotient de plusieurs facteurs

ax b

, tout comme pour les équations vues dans le paragraphe B.

(Une recherche de valeurs interdites peut être envisagée )

2. Signe de

axb

.

La leçon sur les fonctions affines nous a permis de connaître le signe de

ax b

suivant le signe de

a

. a0

antécédents x –∞

– b

a

^+∞

images f(x)

–

0 +

a

0

antécédents x –∞

– b

a

^+∞

images f(x) + 0

–

3. Signes d'expressions littérales

Une fois que l'expression a la forme souhaitée (factorisée), on cherche le signe de chaque facteur de la forme

ax b

et on regroupe tous les résultats dans un tableau que l'on peut présenter comme suit

x

–∞ m n ... .... +∞

Facteur 1 Signes du facteur 1 Facteur 2 Signes du facteur 2 ...

B I L A N On utilise dans chaque « compartiment », la règle des signes de la multiplication et de la division des nombres relatifs.

Exemple  Déterminer suivant le signe de

x

, le signe de 6–5x



¹2x1



^.

4. Inéquations produit et quotient.

Résoudre une inéquation, c'est s'intéresser à un signe particulier de l'expression.

Il faudra malgré tout réaliser un tableau de signes global de l'expression et considérer les solutions correspondant au signe cherché.

Les solutions seront données sous forme d'intervalles ou de réunions d'intervalles.

Exemple  Résoudre l'inéquation 4x3–2x

4x1 0 puis l'inéquation 5 x32

x ^.

Exercices supplémentaires  n^os 40 à 48 page 142

Valeurs qui annulent chaque facteur de la forme ax+b

(rangées dans l'ordre croissant)

3. Inéquation f  x  k et f  x g  x avec f , g fonctions

Dans ce paragraphe, il s'agira de résoudre graphiquement des inéquations.

Les solutions de fxk ( k réel) sont les abscisses des points de C_f situés au-dessous de la droite d'équation

y= k

.

{ ^{f  x x} ∈ ^k I

^{⇔ x∈]x1;x2[}

Cela signifie que pour un

x

choisi dans ]x₁

;

x₂[ son image

f  x 

est strictement inférieure à k.

Les solutions de fxgx ₍

k

réel) sont les abscisses des points de

C

_f situés au-dessous de

C

_g.

{ ^{f  x} x ^g ∈ I ^{x }

^{⇔ x∈[a;x1[∪]x2;b]}

Cela signifie que pour un

x

choisi dans

[ a ; x

₁

[

_ou

dans ]x₂

;

b] l'image

f x 

est strictement inférieure à l'image

g  x

.

exemples n° 47 page 67.