Chapitre 9 Équations différentielles

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 150

Chapitre 9 Équations différentielles

Leçon 26 Généralités

1. Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction qui est reliée à ses dérivées.

Exemples : 1. y e ^x dx

dy+ = 2 2. ₂ 3 4 0

2 − + y=

dx dy dx

y

d 3. x y

dt dy dt

dx+ = +

Ce type d'équation apparait régulièrement dans les sciences de la nature ou en sciences physiques.

Exemples : 1. Un parachute : mg av² dt

mdv= −

2. Un solide de masse m est suspendu à un ressort : ky dt

y md²₂ =−

3. Un chute libre : ₂ 9,8

2 =

dx y d

2. Solution de l’équation

Si une fonction vérifie une équation différentielle, la fonction est dite solution de l’équation différentielle.

- Résoudre une équation différentielle, c’est déterminer toutes les fonctions qui vérifient cette équation.

Exemple 1 : a. Montrer que y=Ce3x −1, où C est une constante est solution de l’équation −3y =3

dx

dy .

b. Dans un repère orthonormé

(

^O;i,j

)

, tracer la courbe représentative des fonctions solutions pour C=1;2;3.

Solution

a. Ce ^x

dx x dy

Ce

y= 3 −1 =3 3

En effet 3 3 3 3 3 3 1=3





 −

−



=

− y C x Ce x

dx dy

Donc y=Ce3x −1est la fonction solution de l’équation.

b. Représentation graphique

3 −1

=Ce x y

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 151 3 1

3 3 3 .

3 1 2 2

2 .

3 1 1 1

.

−



=





=

−



=





=

−



=





=

e x y

C

e x y

C

e x y C

2 -1

-2

2

-1

-2

0 1

1

x y

Remarque :

. y =Ce3x −1 est solution générale de l’équation −3y=3 dx

dy .

. 3 1

2 =2 x− e

y est solution particulière de l’équation −3y =3 dx

dy pour C=2 (solution vérifiant des conditions initiales).

Exemple 2 : Déterminer la solution y de l’équation −3y=3 dx

dy vérifiant

( )

0 =5

y .

Solution

D’après l’exemple 1, la solution générale de l’équation est y=Ce3x −1

En effet y

( )

0 =5Ce30−1=5

C−1=5C=6

La solution y demandée est alors y=5e3x −1.

y1



y2



y1

 y2

→  y3

3 → y

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 152

Leçon 27 Équation différentielle du premier ordre 1. Définition

Une équation différentielle du premier ordre est une équation du type

( )

x by

( )

x f

( )

x

ay' + = , ^y

( )

^x étant la fonction inconnue, a et b étant les nombres donnés.

L'équation fait intervenir une fonction, sa dérivée et d'autres paramètres mais pas la dérivée seconde ni les dérivées d'ordre supérieur.

Exemple: 6y'

( )

x −13y

( )

x = x est une équation différentielle du premier ordre.

2. Équation différentielle du type g

( ) ( )

x h y dx

dy =

Résolution

1.

( ) ( )

( )

g

( )

x dx y

h y dy h x dx g

dy =  =

2. posons

( )

p

( )

y y

h1 =

,

( )

g

( )

x dx p

( )

y dy g

( )

x dx y

h

dy =  =

3.



^p

( )

^{y dy}=



^g

( )

^{x dx}^P

( )

^y =^G

( )

^x +^C,C

Exemple 1 : Déterminer la solution

(

1+x

)

dy−ydx=0. Solution

On a :

( )

0

0 1

1 =

− +



=

−

+ x

dx y

dx dy y dy x

(

+

)

= 

− +

 + =

−

  



_dx^dy



₁^dx_x ^{0 dy}_{y 1}¹_x^{d 1 x C,C}



 +

+

=



= +

− x C y x C C

y ln1 ln ln1 ,

ln

(

+

)





= +

= +

=



=

=e ^+x+C e ^+x e^C xe^C e^C x e^C x e^C

y ^{ln1 ln1} 1 . 1 1 ,

Donc la solution de l’équation est de la forme : y= A

(

1+x

)

, A. Exemple 2 : Résoudre l’équation

( )

^{e x}

dx xdy y

e^2y − cos = ^ysin2 vérifiant y

( )

0 =0. Solution

On a :

( )

^dx

x dy x

e y x e

dx e xdy y

e _y

y y

y

cos 2 2 sin

sin cos

2

2 − =  − =

( )

^{dx xdx}

x x dy x

ye

e^{y y} 2sin

cos cos sin

2 =

=

− ⁻

( ) _{   }



^{ey−ye−y dy= 2sinxdx eydy− ye−ydy=2 sinxdx}



^{− +}



^{=− + }

− ^ye−



^{e− dy x C C}

e^{y y y} 2cos ,

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 153



^{− −}



^{=− + }

− ye⁻ e⁻ x C C

e^{y y y} 2cos ,



 +

−

= +

+ye⁻ e⁻ x C C e^{y y y} 2cos ,

Donc la solution générale de l’équation est : e^y+ye^−y +e^−y =−2cosx+C,C

On a : ^y

( )

^{0 =0}, on obtient :

4 2

2 0 0

cos 2 .

0 ^{0 0}

0+ e +e =− +C = =− +CC=

e

La solution demandée est alors e^y+ye^−y +e^−y =−2cosx+4. 3. Équation différentielle homogène

Dans le cas général, l'équation différentielle homogène s'écrit :



 



=  x f y dx

dy ou _



 



=  y f x dx

dy .

Résolution

Posons y vx

x

v= y  = soit x v

dx dv dx

dy= +

( )

dv f

( )

v v dx

v x f v dxx dv x

f y dx

dy  + =  = −



 



= 

( )

dv v v f dx

x = − soit f

( )

v v dv x

dx

= −

( )  ( )





^dx_x ⁼ _{f v}^dv_−v^{ln x =} _{f v}^dv_−v

Exemple : Résoudre l’équation

x y x dx

dy= +2 vérifiant

( )

2 3 = 3

y .

Solution

Posons y vx

x

v= y  = soit x v

dx dv dx

dy= +

x y x dx xdv x v

y x dx

dy= +2  + = +2

x v y x x dx xdv x v

y x dx xdv

v+ = +2  + = +2 =1+2 soit

x dx v v dv dx

xdv dx v

xdv

v =

 + +

=

 +

=

+ 1 2 1 1



 +

= +

 + =





₁^dv_v ^dx_x ^{ln1 v lnx C,C}





=



=

+v e ^x e^C Ax,A

1 ^ln soit 1+v=Ax, A

Puisque

x

v= y donc Ax

x x y

A

v=  + =

+ 1

1

On obtient alors la solution générale y=Ax²−x

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 154

On a :

( )

2 3 = 3

y , on obtient :

2 1 9 2 3 3 3

3 2 .

3 2 + =

=



−

= A A

La solution demandée est alors y = x² −x 2

1 .

4. Équation différentielle linéaire 1) Définition

Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 sont des équations différentielles qui peuvent s’écrire sous forme :

( )

^b

( ) ( ) ( )

^{x y x g x}

dx x dy

a + = avec a

( )

x ⁰.

L'équation homogène associée est :

( )

+b

( ) ( )

x y x =0 dx

x dy

a .

- on divise les deux membres de l’équation par a

( )

x 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x a

x x g x y a

x b dx x dy g x y x dx b x dy

a + =  + =

Soit ^p

( ) ( )

^{x y x f}

( )

^x

dx

dy+ = avec

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )









=

=

x a

x x g

f

x a

x x b p

Donc

( )

^+b

( ) ( ) ( )

^{x y x =g x }

dx x dy

a ^p

( ) ( )

^{x y x f}

( )

^x

dx

dy+ = avec

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )









=

=

x a

x x g

f

x a

x x b p

L’équation p

( ) ( )

x y x f

( )

x dx

dy+ = est appelée l’équation ordinaire.

Exemples : 1.

(

^{2 +1}

)

^+3xy

( )

^{x =8}

dx

x dy 2. y

( )

x xe^x

dx

dy+4 =

3. y

( )

x x x

dx

dy−3 =sin −2cos4 4.

(

x

) ( )

y x xe^x dx

x² dy− +1 =

5. −cos +sinxy

( )

x =1 dx

xdy 6. 2 +x²y

( )

x =3x²−1 dx

dy

2) Résolution Méthode 1

1. on écrit l’équation

( )

b

( ) ( ) ( )

x y x g x dx

x dy

a + = sous forme

^p

( ) ( ) ( )

^{x y x f x}

dx

dy+ = avec

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )









=

=

x a

x x g

f

x a

x x b p

2. on calcule le scalaire 

( )

x =e^{p( )xdx}

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 155

3. on multiplie les deux membres de l’équation p

( ) ( )

x y x f

( )

x dx

dy+ = par

( )

x =e^{p( )xdx}

 : ^{e ( ) y}

( )

^{x e ( ) f}

( )

^x

dx

d ^pxdx = ^pxdx

 

4. on calcule l’intégrale l’équation ^{e ( ) y}

( )

^{x e ( ) f}

( )

^x

dx

d ^pxdx = ^pxdx

  , on obtient la

solution de l’équation.

Exemple 1 : Résoudre l’équation y x e^x dx

xdy−4 = ⁶

Solution

- On divise les deux membres de l’équation par x :

^x y x e^x

x dx e dy x dx y

xdy ⁶ 4 ⁵

4 =  − =

− tel que

( )



( )





=

=

−

x f e x

x x p

x 5

4

- On calcule le scalaire 

( )

x =e^{p( )xdx} : 

( )

x =e⁻^4xdx =e^−4lnx =e^lnx−4 =x⁻⁴

- On multiplie les deux membres de l’équation y x e^x x

dx

dy 4 ₅

=

− par 

( )

x =x⁻⁴ :

( )

^{x x y xex}

dx x dy e

x x xy dx

x dy =  − =



 



 − ^{− − −}

−4 4 5 4 5

4 4

. Le membre de gauche est la forme

( )

uv '=u'v+uv' avec

( ) ( )

( ) ( )



( )





−

=

 =





=

=

− −

5 4

4 '

'

x x

v

dx x dy u x

x v

x y x u

Donc

( )

^{x y xe d}

( )

^{x y xe dx}

dx xe d

y dx x

x⁻⁴ dy−4 ⁻⁵ = ^x  ⁻⁴ = ^x  ⁻⁴ = ^x

- on calcule

_

^d

( )

^{x−4y =}

_

^xexdx

x⁴y⁼



xe^xdx

Posons

( )

( ) ( )



( )



=

 =





=

=

x

x v x e

x u e

x v

x x

u ' 1

'

Donc ^x4y= ^xex −



^exdx= ^xex −^ex +^C,C

⁴ = − +  = ₋₄ − ₋₄ + ₋₄ x

C x

e x y xe C e xe y x

x x x

x

y=x⁵e^x−x⁴e^x +Cx⁴,C

La solution générale de l’équation est alors y=x⁵e^x −x⁴e^x +Cx⁴,C

Exemple 2 : Déterminer la solution de l’équation xy x dx

dy−2 = vérifiant y

( )

⁰ =¹

Solution

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 156

On a : p

( )

x y f

( )

x

dx x dy dx xy

dy−2 =  + = avec

( )



( )



=

−

= x x f

x x

p 2

Donc 

( )

x =e^{p( )xdx} =e⁻^2xdx =e^−x2 =e^lnx−4 =x⁻⁴

Et ^x2 2 ^{x2 x2} 2xe ^x2y xe ^x2 dx

e dy xe

dx xy

e⁻ dy = ⁻  ⁻ − ⁻ = ⁻



 



 −

Le membre de gauche est la forme

( )

uv '=u'v+uv' avec

( ) ( )

( )

( )



( )





−

=

 =







=

=

− −

2 2

2 '

'

x x

xe x

v

dx x dy u e

x v

x y x u

Donc ^{x2 2 x2 x2}

( )

^{e x2y xe x2}

dx xe d

y dx xe

e⁻ dy− ⁻ = ⁻  ⁻ = ⁻

- on calcule

_

^d

( )

^{e−x2y =}

_

^xe−x2dx

e^−x2y⁼



xe^−x2dx^{, u}

^{( )}

^{x =e−x2 du}_dx^=−2xe−x2

^e−x2y=−₂¹



^2xe−x2dx=−₂^1e−x2 +^{C, C}



 +

−

= +

−

=

 +

−

= ⁻ ₋⁻ ₋

− Ce C

e C e

y e C e y

e ^x

x x x x

x ,

2 1 2

1 2

1 ²

2 2 2 2

2

La solution générale est y=− +Ce^x ,C 2

1 ²

En effet y

( )

⁰ =¹ donc

2 3 2 1 1 2

1 2

1=−1+Ce⁰ =− +CC = + =

La solution demandée est alors ²

2 3 2

1 _x

e y =− +

Méthode 2

La solution générale d'une équation différentielle linéaire avec second membre s'obtient par addition de la solution générale de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.

Pour résoudre une équation différentielle

( )

b

( ) ( ) ( )

x y x g x dx

x dy

a + =

- on cherche y_c, la solution générale de l'équation

( )

+b

( ) ( )

x y x =0 dx

x dy a

- on cherche ensuite f , une solution particulière de l'équation

( )

b

( ) ( ) ( )

x y x g x

dx x dy

a + =

- on en déduit y = y_p + f , les solutions de l'équation différentielle

( )

^b

( ) ( ) ( )

^{x y x g x}

dx x dy

a + = .

Exemple : Déterminer la solution de l’équation xy x dx

dy−2 = vérifiant y

( )

0 =1

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 157

Solution

- Recherche de la solution générale de l’équation homogène −2xy=0 dx

dy

y xdx yx dy

dx

dy−2 =0 =2







=

 +

=



=





^dy_y ^{2xdx lny x2 C y ex2 eC,C}

La solution générale de l’équation homogène −2xy=0 dx

dy est :





=



=e e Ae A y_c ^{x2 C x2},

- Recherche de la solution particulière de xy x dx

dy−2 =

Il faut maintenant chercher une solution particulière de xy x dx

dy−2 = pour cela on va utiliser la méthode de variation de la constante :

on fait comme si A (la constante précédente était une fonction et on recherche la fonction f définie par :

( ) ( )

x A x e^x2 f'

( )

x A'

( )

x e^x2 A

( )

x .2xe^x2

f =  = +

( )

^x

f est solution de xy x dx

dy−2 = si et seulement si

( )

x x f

( )

x x A

( )

x e A

( )

x xe xA

( )

x e x f' −2 =  ' ^x2 + 2 . ^x2 −2 . ^x2 =

( )

^{2 '}

( )

^{. 2}

' x e^x x A x xe ^x

A =  = ⁻

( )

^{2 2 2}

2 . 1

2 2

.e ^x dx 1 xe ^x dx e ^x x

x

A =



⁻ =−



− ⁻ =− ⁻ f définie par

( ) ( )

2 . 1

2

. ² =−1 ^{2 2} =−

=A x e^x e^−x e^x x

f est donc une solution particulière

de l'équation xy x dx

dy−2 = , on en déduit la solution générale de l'équation différentielle xy x

dx

dy−2 = : y=y_c+ f = Ae^x − =, A 2

1

2

En effet y

( )

⁰ =¹ donc

2 3 2 1 1 2

1=Ae⁰−1 A= + =

La solution demandée est alors

2 1 2

3 ²

−

= e^x

y .

5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES-L3 | 158

Leçon 28 Équation différentielle du second ordre à coefficients constants

1. Définition

Les équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants sont les équations différentielles sous forme :

( )

x f cy y b y

a ''+ '+ = où a,b,c et a0

^f

( )

^x une fonction continue sur un intervalle I de . Exemples : 1. 5y''−2y'+y=x+4

2. y''+y=e^x

3. y''+7y'−y=0

2. Équation différentielle linéaire homogène Définition

Les équations différentielles linéaires homogènes d'ordre 2 à coefficients constants sont les équations différentielles sous forme :

0 '

''+by +cy= y

a où a,b,c et a0

Exemples : 1. 2y''−5y'+2y=0 2. 4y''+8y=0

Résolution

- on suppose que y=e^mx est la solution de l’équation ay''+b y'+cy=0

Donc







=

 =

= _mx

x m x

m

e m y

me e y

y 2

'' '

0 0

'

''+by+cy= am²e^mx+bme^mx+ce^mx = y

a

( )







= + +



 

= + +



0 ,

0 0

2 2

c bm am

x c e

bm am e

x m x

m

On résout l’équation caractéristique am²+bm+c=0

1. =b²−4ac0

L’équation admet deux solutions réelles distinctes :

a m b

1 2



−

= − et

a m b

2 2

 +

=−

La solution générale de l’équation a y ''+b y'+cy=0 est :

x m x

m C e

e C

y= ₁ ¹ + ₂ ² avec C₁,C₂

2. =b²−4ac=0

L’équation admet une solution réelle double :

a m b m^{1 2} 2

= −

=