Équations différentielles

Cours de mathématiques

Chapitre 4

Équations différentielles

Calvin and Hobbes , by Bill Waterson

Enmathématiques,une équationdiérentielleestune relationentreune ouplusieursfon-

tions inonnues et leurs dérivées.

Les équations diérentielles sont utilisées pour onstruire des modèles mathématiquesde

phénomènesphysiquesetbiologiques,parexemplepourl'étudedelaradioativitéou lamé-

aniqueéleste. Par onséquent,les équationsdiérentielles représentent un vaste hamp

d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées.

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2010–2011

1.

Introdution

Denombreuxphénomènesphysiquesontinusdénipar uneloid'évolutionetune on-

ditioninitialeamènentareherherunefontionvériantunerelationentreellemêmeet

sesdérivéessuessives. Unetellerelations'appelleuneéquationdiérentielle.L'ordre

de ette équationétant l'ordremaximum de ladérivée intervenant dans l'équation.

Parexemple en élétriité, l'équation :

L

^d

^i(t)

d

t + Ri(t) = e(t)

^.

L'inonnue est la fontion

i : t 7→ i(t)

^{et une ondition initiale permet de la dénir de}

façon unique.

Dans la suite, la fontion inonnue sera notée

f : t 7→ f (t)

^{. Elle sera dénie et ontinue}

sur un intervalleR età valeurs dans R (ou dans C).

2.

Équations différentielles du premier ordre

Définition 1 : EDL du premier ordre

On appelle équation différentielle linéaire premier ordre (EDL) toute équation de la forme

a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = c(t)

où a, b et c désignent deux fonctions de la variable réelle t, f (t) et f ^′ (t) une fonction inconnue et sa dérivée

.

Remarque : Suivant lesexeries, lessituations sont diérentes :

On trouvera par exemple

• 5x ^′ (t) + 3x(t) = 2

⁽

x(t)

^{est lafontion inonnue)}

• x ^′ − tx = t ²

⁽

x(t)

^{est la fontion inonnue)}

• xy ^′ − 2y = x

⁽

y(x)

^{est lafontion inonnue)}

2.1. Équation diérentielle du type

a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = 0

Nous nous intéressons dans ette setionà une méthode pour résoudre une EDL de pre-

mier ordre pour laquelle ledeuxième membre est nul. On supposera de plus que

a(t)

n'est jamais nul sur l'intervalle d'étude.

On peut toujours érire l'équation

a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = 0

^{sous la forme:}

f ^′ (t)

f(t) = − b(t)

a(t) = α(t)

Si on onnait une primitive

A

^{de la fontion}

α

^{, on a en intégrant les deux membres de}

l'équation :

ln | f (t) | = A(t) + γ

^où

γ

^{est la onstante} d'intégration en prenant l'exponentielle des 2 membres, onobtient :

| f (t) | = e ^A(t) e ^γ

^d'où

f = ± e ^γ e ^A(t)

En posant

C = ± e ^γ

^{, ona :}

f = Ce ^A(t)

Théorème 1 :

La solution générale de l’équation différentielle a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = 0 est la fonction f(t) définie par f (t) = Ce ^A(t) où C est une constante réelle déterminable avec les conditions initiales et A(t) une primitive de − b(t)

a(t) .

Exerie résolu 1 :

Résoudre les équations diérentielles suivantes :

1

^.

3f ^′ (t) + 2f (t) = 0

^.

2

^.

t ² f ^′ + f = 0

^sur

I =]0; + ∞ [

^.

Solution :

1

^{. Ii, ona}

⁻ _a(t) ^b(t) = ⁻ ₃ ²

^{dont une primitiveest}

⁻ ₃ ² t

^don

f (t) = Ce ^{− 2 3 t}

2

^{. Ii, ona}

⁻ _a(t) ^b(t) = ⁻ _t ^{2 1}

^{dont une primitiveest}

¹ _t

^don

f (t) = Ce ^{1 t}

^sur

I =]0; + ∞ [

^.

Il faut bien préiserl'intervalle

I =]0; + ∞ [

^{ar sinon}

a(t) = t ²

^s'annule.

2.2. Équation diérentielle du type

a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = c(t)

Définition 2 : Équation homogène associée

L’équation a(t)f ^′ (t)+b(t)f (t) = 0 est appellée équation différentielle homogène asso- ciée (EDH) à a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = c(t) ou équation différentielle sans second membre associée à a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = c(t)

Théorème 2 :

La solution générale de l’équation différentielle (1) : a(t)f ^′ (t) + b(t)f (t) = c(t)

s’obtient en ajoutant une solution particulière quelconque de (1) à la solution générale de l’équation sans seconde membre associée à (1)

Exerie résolu 2 :

On onsidère l'équationdiérentielle

(E)

^:

t ² x ^′ (t) + x(t) = t ² + t 1

^{. Résoudre l'équation} diérentielle homogène assoiée à

(E)

^.

2

^{. Vérier que}

x 0 (t) = t

^{est une solution}partiulière de

(E)

^.

3

^{. En déduirelessolutions de}

(E)

^.

4

^{. Parmis les solutions,déterminer lasolution vériant}

x(1) = 2

Solution :

1

^{. L'équation homogène assoiée est}

t ² x ^′ (t) + x(t) = 0

^{. Ellea été résolue au a).Ses}

solutionssont

x(t) = Ce ^{1 t}

^.

2

^.

x ₀ (t) = t

^don

x ^′ ₀ (t) = 1

^.

On aalors

t ² x ^′ ₀ (t) + x 0 (t) = t ² × 1 + t = t ² + t

^don

x 0 (t)

^{est bien une solutionde}

(E)

^.

Suite de la solution :

3

^{. Les solutions de}

(E)

^{sont obtenue en ajoutant une solution} paritulière à une solution générale de l'EDH. Les solutions de

(E)

^{sont don de la forme}

x(t) = t + Ce ^{1 t}

^.

4

^.

x(1) = 2

^implique

1 + C

^e

^{1 1} = 2

^don

C

^e

= 1

^d'où

C = ¹

e

=

^e

^{− 1}

^.

On a don

x(t) = t +

^e

^{− 1}

^e

^{1 t} = t +

^e

^{1 t − 1}

Remarque : Il n'est pas toujours faile de trouver une solution partiulière de l'équation

diérentielle proposée.

3.

Reherhe d'une solution partiulière

Dansertainsexeries,unesolutionpartiulière

x 0 (t)

^{del'EDLestdonnée.Dansd'autres,}

seule laformede

x 0 (t)

^{est préisée pour aiderlareherhe. Enn, dansertainsas, iln'y}

a auune indiation. On peut alors utiliser plusieursméthodes.

3.1.

Les as partiuliers

Si on ne devine pas une solution partiulière de l'équation diérentielle, on pourra dans

ertains as partiuliers utiliser les méthodes suivantes : Si les oeients de l'équation

diérentielle sontdes onstantes et :

•

^{dans leas oùle seondmembreest un polynme,onherhe lasolutionsous laforme}

d'un polynme;

•

^{dans le as où le seond membre est une ombinaison linéaire de}

sin ωx

^et

cos ωx

^{, on}

herhe la solutionsous laforme

A cos ωx + B sin ωx

•

^{dans le as où le seond membre est de la forme}

A e ^kx

^{, ave}

k ∈

^{R, on herhe la}

solutionsous laforme

B e ^kx

Exerie résolu 3 :

Résoudre l'équationdiérentielle

y ^′ (t) − y(t) = 2 cos(2t)

^{.(Cherher unesolutionsous la}

forme

a cos(2t) + b sin(2t)

^.)

Solution :

L'équation homogène assoiée est

y ^′ (t) − y(t) = 0

^{. Sasolutiongénérale est}

y(t) = C

^e

^t

^.

Reherhe d'une solutionpartiulière :

y(t) = a cos(2t) + b sin(2t)

^{. On a alors}

y ^′ (t) = − 2a sin(2t) + 2b cos(2t)

^.

y(t)

^{est solutionde}

(E) ⇔ y ^′ (t) − y(t) = 2 cos(t)

⇔ − 2a sin(t) + 2b cos(t) − (a cos(t) + b sin(t)) = 2 cos(t)

⇔ ( − 2a − b) sin(t) + (2b − a) cos(t) = 2cos(t)

⇔

− 2a − b = 0 2b − a = 2

⇔

a = ⁻ ₅ ²

b = ⁴ ₅

Suite de la solution :

Une solutionpartiulière de

(E)

^est

y(t) = 4

5 sin(t) − 2

5 cos(t)

^.

La solutiongénérale de

(E)

^{est don}

y(t) = k

^e

^t + 4

5 sin(t) − 2

5 cos(t)

^.

Si auune de es méthodes n'aboutit,on doit utiliser la méthode générale de variation

de laonstante .

3.2.

Méthode de la variation de la onstante

Le prinipe de la méthode 1

est de onsidérer que la onstante est une variable (d'où le

nom de la méthode). On dérive lasolution de l'EDH e qui donne l'expression de laon-

stante.

Exemple détaillé :On onsidère l'équationdiérentiellesuivante :

(E) : xy ^′ (x) + y(x) = e ^x .

Première étape :On résoutl'équation homogène

(E 0 ) : xy ^′ + y = 0

On a

− b(x)

a(x) = − 1

x

^{dont une primitive est}

A(x) = − ln(x) = ln( _x ¹ )

^{, les solutions de}

(E 0 )

sont don de la forme

y = Ce ^{ln( x 1 )} = C

x

^ave

C

^{un réel.}

Deuxième étape :On rend variablela onstante.

On herhe une solution de l'équation diérentielle

(E)

^{de la forme}

y 0 (x) = C

x

^{où ette}

fois i

C : x 7→ C(x)

^{est une fontion dérivable.On adon}

y ₀ ^′ (x) = C ^′ (x) × x − 1 × C(x)

x ²

y 0 (x)

^{est une solution de}

(E) ⇔ xy ₀ ^′ (x) + y 0 (x) =

^e

^{− x}

⇔ x

C ^′ (x) × x − 1 × C(x) x ²

+ C(x) x =

^e

^x

⇔ C ^′ (x) − C(x)

x + C(x) x =

^e

^x

⇔ C ^′ (x) =

^e

^x

⇔ C(x) =

^e

^x + k

On a don

y ₀ (x) = C(x) x =

^e

x + k x .

Troisième étape :Conlusion

On appliquele théorème : lessolutionsde l'équationdiérentielle

(E)

^sont

y(x) = C

x +

^e

x + k

x = C +

^e

^x + k

x

^ave

k

^et

C

^{deux réels}

.

Ilarrivequedesonditionsinitialessoientpréisées dansl'enoné.Parexemple

y( − 1) = e

on obtient alors

k = 3

^{etla solutionest don}

y = (2x + 3)e ^{− x}

1. inventéeparLaplae:http://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_de_Laplae

Remarque : Contrairement aux as de la setions II.1), les oeients

a(x)

^et

b(x)

^de

l'équationdeetexemplenesontpasonstants.Onnedoitdonpasherherunesolution

partiulière de l'EDL sous la forme

k

^e

^x

^{. Enfaît, ette reherhe aboutiraità un système}

sans solution.Dansle as présent, on aurait

y ₀ (x) = k

^e

^x

^et

y ^′ ₀ (x) = k

^e

^x

^.

y 0 (x)

^{est solution de}

(E) ⇔ xy ₀ ^′ (x) − y(x) =

^e

^x

⇔ xk

^e

^x + k

^e

^x =

^e

^x

⇔ (xk + k)

^e

^x =

^e

^x

⇔ xk + k = 0x + 0

⇔

k = 0 k = 1

⇔ ????

Remarque : Il fautbien vérier que

a(t) 6 = 0

^sur l'intervalled'étude.

4.

Équations différentielles du seond ordre

Nous nous intéressons dans ette partie aux équationsdiérentielles de la forme

ax ^′′ (t) + bx ^′ (t) + cx(t) = d(t)

où lesoeients

a

^,

b

^et

c

^{sont onstants,et}

d(t)

^{est une fontion de}

t

^.

Exemples :

(E 1 ) : x ^′′ − 4x ^′ + 3x = − 3t ² + 2t

^sur

I =

^R

(E ₂ ) : x ^′′ − 2x ^′ + 5x = 5 cos t

^sur

I = [0 ; + ∞ [

4.1.

Résolution de l'équation sans seond membre

4.1.i) Combinaison linéaire de deux solutions partiulières

Théorème 3 : Ensembles des solutions

Soient f et g deux solutions de l’équation (E ₀ ) sur l’intervalle I, aucune n’étant le pro- duit de l’autre par une constante. Alors l’ensemble des solutions de (E 0 ) est l’ensem- ble des fonctions de la forme

x = C ₁ f + C ₂ g.

Toute solution de l’équation (E ^′ ) est ainsi une combinaison linéaire des solutions f et g.

Preuve. Ce théorème est admis, mais on peut failement observer que si

f

^et

g

^{sont deux}

solutions de l'équation

(E ₀ )

^{alors toute fontion de la forme}

x = C ₁ f + C ₂ g

^{est aussi une}

solution de

(E ₀ )

^{.En eet,sahant que}

af ^′′ + bf ^′ + cf = 0

^et

ag ^′′ + bg ^′ + cg = 0

^,alors

ax ^′′ + bx ^′ + cx = a(C ₁ f + C ₂ g) ^′′ + b(C ₁ f + C ₂ g) ^′ + c(C ₁ f + C ₂ g)

= a(C ₁ f ^′′ + C ₂ g ^′′ ) + b(C ₁ f ^′ + C ₂ g ^′ ) + c(C ₁ f + C ₂ g)

= aC ₁ f ^′′ + aC ₂ g ^′′ + bC ₁ f ^′ + bC ₂ g ^′ + cC ₁ f ^′ + cC ₂ g

= C ₁ (af ^′′ + bf ^′ + cf ^′ ) + C ₂ (ag ^′′ + bg ^′ + cg)

= 0

4.1.ii) Équation aratéristique

Comme les équations du premier degré, nous allons herher une fontion exponentielle

solution de

(E 0 )

^{. Supposons que la fontion}

x : t 7→ e ^rt

^{soit une telle solution. Alors,}

puisque

x ^′ (t) = re ^rt

^et

x ^′′ (t) = r ² e ^rt

^,

r

^{doit vérier}

ar ² e ^rt + bre ^rt + ce ^rt = 0 e ^rt (ar ² + br + c) = 0 ar ² + br + c = 0

ar

e ^rt 6 = 0

^{pour tout}

t ∈ I

^.

Définition 3 : Équation caractéristique

L’équation du second degré en r ar ² +br+c = 0 est appelée équation caractéristique de l’équation différentielle (E ₀ ).

Théorème 4 :

La fonction x : t 7→

^e

^rt est solution de (E ₀ ) si et seulement si r est solution de l’équation caractéristique.

Les solutions de

(E 0 )

^{dépendent don de elles de l'équation} aratéristique,et en parti- ulier de son disriminant

∆ = b ² − 4ac

^{. Il fautdon étudier trois as.}

Si

∆ > 0

^{: L'équation} aratéristique a deux solutions réelles distintes

r 1

^et

r 2

^{. Les}

fontions

x ₁ : t 7→

^e

^{r 1 t}

^et

x ₂ : t 7→

^e

^{r 2 t}

^{sont don deux solutions de}

(E 0 )

^{et auune}

n'estleproduitdel'autreparuneonstante.Paronséquentl'ensembledessolutions

de

(E 0 )

^{est l'ensembledes fontions de laforme}

x(t) = C ₁

^e

^{r 1 t} + C ₂

^e

^{r 2 t} .

Si

∆ = 0

^{: L'équation}aratéristique a une unique solutionréelle

r = − _2a ^b

^{. La fontion}

x : t 7→ e ^rt

^{est alors solution de}

(E 0 )

^{. On peut prouver que dans e as la fontion}

x : t 7→ te ^rt

^{est solution de}

(E ₀ )

^{. Par onséquent l'ensemble des solutions de}

(E ₀ )

est l'ensembledes fontions de la forme

x(t) = (C 1 t + C ₂ )

^e

^rt .

Si

∆ < 0

^{: L'équation}aratéristiqueadeux solutionsomplexesonjuguées

r 1 = α +

ⁱ

β

et

r ₂ = α −

ⁱ

β

^{. Les fontions à valeur omplexes}

x ₁ : t 7→

^e

^{r 1 t}

^et

x ₂ : t 7→

^e

^{r 2 t}

^sont

don deux solutions de

(E 0 )

^{. Mais nous herhons deux fontions réelles solutions}

de

(E 0 )

^.

On peut remarquer quee

r 1 t =

^e

^(α+

ⁱ

^β)t =

^e

^αt

^ei

^βt =

^e

^αt (cos βt +

ⁱ

sin βt)

^{. On onstate}

alors que

1

2 (

^e

^{r 1 t} +

^e

^{r 2 t} ) =

^e

^αt cos βt

^et

₂ ¹

i

(

^e

^{r 1 t} − e ^{r 2 t} ) =

^e

^αt sin βt

^.

Ces deux nouvelles fontionssont biendes solutionsde

(E ₀ )

^{d'aprèslethéorème de}

ombinaisonlinéaireétendu aux÷ientsompexes.Ce sontde plusdes fontions

de R dansR, etonpeut prouver qu'auune n'estleproduit de l'autrepar uneon-

stante. Paronséquentl'ensembledessolutionsde

(E ₀ )

^{est l'ensembledes fontions}

de laforme

x(t) = C ₁

^e

^αt cos βt + C ₂

^e

^αt sin βt,

où

α +

ⁱ

β

^{est une solutionomplexe de l'équation}aratéristique.

Théorème 5 (admis) : EDH du second ordre à coefficients constants Pour résoudre l’équation différentielle

ax ^′′ (t) + bx ^′ (t) + cx(t) = 0, on considère son équation caractéristique

ar ² + br + c = 0.

La forme de la solution générale dépend du signe de ∆.

• Si ∆ > 0, alors les solutions sont de la forme C ₁

^e

^{r 1 t} + C ₂

^e

^{r 2 t} .

• Si ∆ = 0, alors les solutions sont de la forme (C ₁ t + C ₂ )

^e

^rt .

• Si ∆ < 0, alors les solutions sont de la forme x(t) = C ₁

^e

^αt cos βt + C ₂

^e

^αt sin βt où α +

ⁱ

β est une solution complexe de l’équation caractéristique.

Exerie résolu 4 :

Résoudre sur R l'équationdiérentielle :

x ^′′ − 3x ^′ − 4x = 0

^{ave les onditions initiales}

x(0) = 0 x ^′ (0) = 1

Solution :

L'équation aratéristique est

r ² − 3r − 4 = 0

^{. Elle admet deux raines}

r 1 = − 1

^et

r ₂ = 4

^{.Les solutionsde l'équation}diérentielle sont les fontionsde laforme

x 7−→ C 1 e ^{− x} + C 2 e ^4x

^ave

C 1 ∈

^R

, C 2 ∈

^R

.

Les onditions initialessont vériées si etseulement si

x(0) = C ₁ e ^{− 0} + C ₂ e ^{4 × 0} = 0

x ^′ (0) = − C 1 e ^{− 0} + 4C 2 e ^{4 × 0} = 1

^{e qui équivaut à}

C ₁ + C ₂ = 0

− C 1 + 4C 2 = 1

On obtient

C ₁ = − ¹ 5

^et

C ₂ = ¹ ₅

^.

L'équationdiérentielleadmetpouruniquesolutionsatisfaisantauxonditionsinitiales,

la fontion

x 7−→ ^{4e 4x −} ₅ ^{e − x}

^.

4.2.

Résolution de l'équation ave seond membre

Théorème 6 : Équation différentielle du second ordre

La solution générale d’une équation différentielle du second ordre (E) ax ^′′ (t) + bx ^′ (t) + cx(t) = d(t)

est la somme d’une solution particulière quelconque de (E) et de la solution

générale de l’équation sans second membre associée à (E).

Exerie résolu 5 :

On onsidère l'équationdiérentielles

(E) : x ^′′ (t) + x(t) = t

^.

1

^{. Intégrer}

(E)

^.

2

^{. Déterminerla solutionde}

(E)

^vériant

f (0) = 1

^et

f ^′ (0) = 2

^.

Solution :

1

^{. L'EDH est}

x ^′′ (t) + x(t) = 0

^{. Son équation} aratéristique est

r ² + 1 = 0

^{dont les}

solutionssont

r = ±

^{j . Les solutionsde l'EDH sont données par}

x(t) =

^e

^αt (C 1 cos βt + C ₂ sin βt) =

^e

^0t (C 1 cos t + C ₂ sin t) = C ₁ cos t + C ₂ sin t.

Une solutionpartiulière de l'équation diérentielle est

x 0 (t) = t

^.

Les solutionssont don de laforme

x(t) = t + C ₁ cos t + C ₂ sin t

^.

2

^{. On a}

f (t) = t + C ₁ cos t + C ₂ sin t

^don

f ^′ (t) = 1 − C ₁ sin t + C ₂ cos t

^.

f

^{vérie les onditions initialessi etseulement si:}

f (0) = 1 f ^′ (0) = 2 ⇔

0 + C ₁ cos 0 + C ₂ sin 0 = 1 1 − C 1 sin 0 + C 2 cos 0 = 2

⇔

C 1 = 1 1 + C ₂ = 2

⇔

C 1 = 1 C ₂ = 1

La fontion

f

^{solution de l'équation}diérentielle et qui vérie les onditions ini- tiales est

f (x) = t + cos t + sin t

Remarque : le programme de BTS IRIS-SE limite à l'étude de e type d'équations où

le seond membre est un polynme, une ombinaison linéaire de sin et de os, ou une

exponentielle, la méthode de variations des onstantes étant hors programme. Dans es

as, la reherhe d'une solution partiulière se fait de la même manière que pour les as

partiulier des EDL de premierordre.

5.

Exeries

Le logiiel Xas 2

est un logiiel de alul formel. Il permet entre autre de résoudre les

équations diérentielles qui sont proposées en exerie.

Attention àne pas abuser de e logiielsdurantlesexeries d'entrainement. Il doitvous

aider à vériervos aluls,mais en auunas ilne doit servir à lesfaire àvotre plae.

Consulter le lieni-dessous pour onnaître lasyntaxedes instrutions:

Pour Xas :http://mathsp.tuxfamily.o rg/s pip. php ?art ile 168

2. Téléhargementsurhttp://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem.html

EDL du premier ordre avec second membre nul

4.1

^{Résoudre (ou intégrer)haune des équations}diérentielles suivantes :

1

^.

2f ^′ (t) − 3f (t) = 0

^{(sur R)}

2

^.

y ^′ (t) + 5y(t) = 0

^{(sur R)}

3

^.

y ^′ (t) − 2

t y(t) = 0

^{(sur R}

^{+ ∗}

⁾

4

^.

tv ^′ + (1 − t)v = 0

^{(sur R}

^{+ ∗}

⁾

5

^.

(1 + t ² )y ^′ + ty = 0

^{(sur R)}

6

^.

tx ^′ − x = 0

^{(sur R}

^{+ ∗}

⁾

7

^.

(sin t)x ^′ + (cos t)x = 0

^sur

I =]0; π[

8

^.

(t − 1)x ^′ + x = 0

^sur

I =]0; 1[

4.2

^{On onsidère l'équation}diérentielle

3y ^′ + 2y = 0 (E)

1

^{. Résolvez}

(E)

^{et traezplusieurs solutionssur l'éran de votre alulatrie.}

2

^{. Résolvez ette mêmeéquation sahant maintenantque}

y(0) = 32

^.

4.3

^Soit

(E) (1 + t ² )x = t(1 − t ² )x ^′

^.

1

^{. Trouver}

A, B

^et

C

^{tels que}

1 + t ²

t(t ² − 1) = A t + B

t − 1 + C 1 + t

^.

2

^{. Résoudre}

(E )

^sur

]1; + ∞ [

3

^{. Trouver la solution}partiulière

x 1

^{telle que}

x 1 (2) = − 2 3

^.

4.4

^{Déharge de} ondensateur

Les unités de mesure utiliséessont lesunités S.I.

Un ondensateur de apaité

C

^{est hargé sous une tension initiale de 20 volts. Il se}

déharge ensuite dans un résistor de résistane

R

^{; on note}

a = RC

^{. La tension aux}

bornes du ondensateur est une fontion

V

^{du temps}

t

^{dénie sur}

[0, + ∞ [

^.

On admetque

V

^{est une fontion dérivable solutionde l'équation}diérentielle :

V ^′ (t) + 1

a V (t) = 0. (E)

1

^.

a

^{. Déterminertoutes lesfontions solutionsde l'équation}diérentielle

(E)

^.

b

^{. On rappelleque pour}

t = 0

^ona

V (0) = 20

^{. Déterminer} l'expression de

V

^.

2

^{. Dans ette question,on suppose que}

R = 1000

^et

C = 10 ^{− 4}

^.

a

^{. Montrer que l'on a alors}

V (t) = 20e ^{− 10t}

^.

b

^{. Étudier lesvariations de lafontion}

V

^.

c

^{. Déterminerles valeurs de}

t

^{pour lesquelles}

V (t) > 0, 02

^.

d

^. L'intensitétraversantleiruitestunefontion

I

^dutemps;ona

I(t) = CV ^′ (t)

^.

Déterminer

I(t)

^.

e

^{. Calulerl'énergie}

W

^{dissipéedanslerésistorentrelesinstants}

t = 0

^et

t = 0, 69

sahant que

W = Z 0.69

0

RI ² (t)

^d

t.

3

^{. Dans ette question, la tension aux bornes étant dénie par}

V (t) = 20e ^{− a t}

^{, on}

note

C a

^{la ourbe} représentative de

V

^{dans un repère orthogonal ave les unités}

graphiques 5 m sur l'axe des absisses pour 0,l seonde et 0,5 m sur l'axe des

ordonnées pour représenter 1 volt.

a

^{. Déterminerl'équation de la tangente}

T

^{àla ourbe}

C a

^{aupointd'absisse 0.}

b

^{. Soit}

M

^{le point} d'intersetion de

T

^{ave l'axe des absisses. Déterminerl'ab-}

sisse de

M

^.

c

^{. Pour un ertaindipleonatraé laourbe} représentative

C

,ainsi quesatan- genteaupointd'absisse0surlegraphiquei-dessous.Déduiredeegraphique

lavaleurorrespondante de

a

^.

0 5 10 15

− 5

2 4 6 8

EDL du premier ordre avec second membre

4.5

^{Résoudre haune des équations} diérentielles suivantes (on herhera une solution partiulière sous la formeindiquée) :

1

^.

x ^′ (t) + 3x(t) = 4 sin t + cos t

^{(sous la forme}

A cos t + B sin t

^).

2

^.

x ^′ (t) − 5x(t) = t

^{(sous laforme}

At + B

^).

3

^.

x ^′ (t) − 4x(t) = 2

^e

^3t

^{(sous laforme}

k

^e

^3t

^).

4.6

^{Éoulement d'unliquide dans un tube ylindrique}

Une omparaison à un modèle d'éoulement amène à onsidérer que la vitesse d'éoule-

ment

v ₀

^{d'un liquide dans un tube ylindrique est solution de l'équation}diérentielle :

4v ^′ (x) + v(x) = 3e ^{x 2} − 1 (E)

ave laondition initiale

v ₀ (0) = 0

^.

1

^{. Résoudre l'équation}diérentielle

4v ^′ (x) + v(x) = 0

^.

2

^{. Déterminerlesonstantesréelles}

A

^et

B

^{pourquelafontion}

u

^telleque

u(x) = Ae ^{x 2} + B

soitune solutionpartiulière de l'équation diérentielle

(E)

^.

3

^{. Résoudre l'équation}diérentielle

(E)

^.

4

^{. Déterminerlasolution}partiulière

v 0

^{del'équation}diérentielle

(E)

^vériant

v 0 (0) = 0

^.

4.7

^{Le bon polynme}

Soit

(E)

^l'équationdiérentielle

y ^′ (x) − y(x) = x ² − x − 1

dans laquelle

y

^{est une fontion dérivable sur R de la variable réelle}

x

^et

y ^′

^{sa fontion}

dérivée.

1

^{. Déterminer une solution}partiulière de

(E)

^{sous formed'un polynme de degré 2.}

2

^{. Trouver la solutiongénérale de l'équation}

(E)

^.

3

^{. Quelle est la solutionde (E) vériant laondition}

y(0) = 1

^?

4.8

^{La vitesse d'unmarteau}

Unemahineàompater estonstituée d'unblod'aierappelémarteau. Cemarteause

déplae lelong d'une tige plaée vertialement.

L'étude physique montre que la vitesse

v

^(expriméeen mètres/seonde) est une fontion du temps

t

^{(expriméen seondes) solutionde l'équation}diérentielle

v ^′ (t) + v(t) = 5 + 5e ^{− t} (E)

où

v

^{est une fontion de la variable}

t

^{, dénie et dérivable sur}

[0; + ∞ [

^et

v ^′

^{sa fontion}

dérivée.

1

^{. Résoudre}

v ^′ (t) + v(t) = 0

^.

2

^{. Déterminer une solution} partiulièrede

(E)

^{de la forme}

v ₀ (t) = a + bte ^{− t}

^où

a

^et

b

sont deux nombres réels à déterminer.

3

^.

a

^{. Résoudre}

(E)

^.

b

^{. Endéduire}

v(t)

^{en supposant que}

v(0) = 0

^.

4

^{. Caluler lavaleur exate de ladistane parourue entre les instants}

t = 0

^et

t = 2

^,

'est à dire

Z 2

0

(5t − 5)e ^{− t} + 5

d

t.

Donner, en mètres,une valeur approhée de ette longueur auentième près.

4.9

^{La vitesse d'unparahute}

La trajetoire suivie par un objet relié à un parahute est un axe vertial noté

(O;~ı)

^{. A}

un instant donné, le veteur vitesse

V ~

^{de l'objet est déni par}

V ^→ (t) = v(t) ~ı

^où

v

^{est une}

fontion de la variable réelle

t

^dans l'intervalle

[0; + ∞ [

^.

Dans les onditions de l'expériene, le veteur

R →

représentant la résistane de l'air est déni par

R → = − k V ^→

^où

k

^{est un nombre réel stritement positif.}

On admetque lafontion

v

^{vérie l'équation}diérentielle :

mv ^′ (t) + kv(t) = mg

⁽¹⁾

où

m

^{est la massetotale de l'objetet du parahute et}

g

^{le oeient de} l'aélérationde la pesanteur.

1

^.

a

^{. Montrer qu'il existe une fontion onstante, solution} partiulièrede (1).

b

^{. Montrer que les fontions solutionsde (1)sont dénies pour tout nombre réel}

positif

t

^{par :}

v(t) = Ce ^{− m k t} + mg k

où

C

^{est une onstante réelle dépendant des onditions de} l'expériene.

2

^{. Danslasuite duproblème onprendra}

m = 8

^kg;

g = 10 m.s ^{− 2}

^et

k = 25

^unitésS.I.

a

^{. Donner la fontion} partiulière

v ₁

^{, solutionde l'équation}diérentielle (1)or- respondant àune vitesse initiale

v 1 (0)

^{de 5}

m.s ^{− 1}

^.

b

^{. Donner la fontion} partiulière

v ₂

^{solution de l'équation} diérentielle (1) or- respondant àune vitesse initialenulle.

c

^{. Montrer queles fontions}

v 1

^et

v 2

^{ont lamême limitelorsque}

t

^{tend vers}

+ ∞

^.

d

^{. Donner la fontion} partiulière

v 3

^{solution de l'équation} diérentielle (1) or-

respondant àune vitesse initiale

v ₃ (0)

^{de 3,2}

m.s ^{− 1}

^.

e

^{. Traer} soigneusement lesourbes

C ₁

^,

C ₂

^et

C ₃

représentantrespetivementles fontions

v 1

^,

v 2

^et

v 3

^{dansunrepèreorthogonal}

(O; ~

i

,~

^j

)

^{.Onprendrapour unité}

graphique2 msur l'axevertialet et4 msur l'axehorizontal.

4.10

^Soit

(E) : y ^′ (x) − y(x) = x ²

^.

1

^{. Résoudre}

(E )

2

^{. Trouver la solution}

f

^de

(E)

^vériant

f (0) = 0

^.

3

^{. Etudier}

f

^surR

⁺

^ettraersareprésentation graphique.(On pourra étudierrapide- ment les variationsde la fontion

g : x 7→ e ^x − (x + 1)

^{pour trouver le signe de}

f ^′

sur R

+

.)

4.11

^Soit

(E)

^l'équationdiérentielle

2x ^′ (t) + 3x(t) = 6t ² − 7t − 7

oùl'inonnue

x

^{estune fontion de lavariableréelle}

t

^{,dénieetdérivablesur R,etoù}

x ^′

est lafontion dérivée de

x

^.

1

^{. Résoudre l'équation}diérentielle

(E)

^.

2

^{. Déterminerlasolution}partiulière

f

^{del'équation}

(E)

^{quivérielaonditioninitiale}

f (0) = 0

^.

Méthode de variation de la constante

4.12

^{Enutilisantlaméthode delavariationde laonstante, résoudrehaune deséqua-}

tions diérentiellessuivantes puis préiser pour haque solutionsur queldomaineelleest

valable.

1

^.

x ^′ (t) − x(t) = e ^2t 1 + e ^t 2

^.

tx ^′ (t) − x(t) = √

t

3

^.

(t ² + 1)x ^′ (t) + 2tx(t) = 3t ² 4

^.

y ^′ (x) cos x − y(x) sin x = 2x − 1

4.13

^{Enutilisantlaméthode delavariationde laonstante, résoudrehaune deséqua-}

tions diérentiellessuivantes puis préiser pour haque solutionsur queldomaineelleest

valable.

1

^.

ty ^′ (t) − y(t) = t ²

^e

^t

2

^.

(1 − x ⁵ )y ^′ (x) − 5x ⁴ y(x) = 1 3

^.

xy ^′ + y = 1

1 + x ²

4

^.

xy ^′ + (x − 1)y = x ²

5

^.

(x + 1) ³ y ^′ + 2y(x + 1) ² = 1

4.14

^{Méthode de la variation de laonstante}

Le but de l'ativité est larésolution de l'équationdiérentielle

(E)

^:

x(x ² + 1)y ^′ − 2y = x ³ (x − 1) ² e ^{− x} ,

où

y

^{représente une fontion de la variable réelle}

x

^{, dérivable sur l'intervalle}

]0, + ∞ [

^et

où

y ^′

^{est la fontion dérivée de}

y

^.

1

^.

a

^{. Déterminerlestroisnombresréels}

a

^,

b

^,

c

^{telsquepourtoutréel}

x

^{del'intervalle}

]0, + ∞ [

^:

2

x(x ² + 1) = a

x + bx + c x ² + 1 .

b

^{. Endéduire une primitivesur} l'intervalle

]0, + ∞ [

^{de lafontion :}

x 7→ 2 x(x ² + 1) .

c

^{. Résoudre sur l'intervalle}

]0, + ∞ [

^l'équation diérentielle

(E 1 )

^:

x(x ² + 1)y ^′ − 2y = 0.

d

^{. Pourquoi a-t-on préiser}l'intervalle

]0, + ∞ [

^?

2

^{. On se propose de déterminer une fontion}

g

^{dérivable sur l'intervalle}

]0, + ∞ [

^telle

que lafontion :

h : x 7→ x ²

x ² + 1 g(x)

soitune solutionpartiulière de l'équation

(E)

^.

a

^{. Caluler}

h ^′ (x)

^{en fontion de}

g(x)

^et

g ^′ (x)

^.

b

^{. Montrer que}

h(x)

^{est solutionde}

(E)

^{si etseulement si}

g ^′ (x) = (x − 1) ² e ^{− x} .

c

^{. Déterminerlesnombresréels}

α

^,

β

^,

γ

^{telsquelafontion}

x 7→ (αx ² +βx+ γ)e ^{− x}

soitune primitivesur l'intervalle

]0, + ∞ [

^{de lafontion :}

x 7→ (x − 1) ² e ^{− x} .

3

^{. En déduire une solution} partiulière de l'équation

(E)

^{puis la solution générale de}

ette équation.

EDL du deuxième ordre avec second membre nul

4.15

^{Résoudre haune des équations}diérentielles suivantes :

1

^.

x ^′′ − 6x ^′ + 8x = 0

2

^.

x ^′′ − 6x ^′ + 9x = 0

3

^.

x ^′′ − 4x ^′ + 20x = 0

4.16

^{En physique,l'étude d'un mouvement amorti onduità l'équation}diérentielle

x ^′′ (t) + 2x ^′ (t) + 2x(t) = 0 (E)

dans laquelle

x

^{désigne une fontion numérique de la variable}

t

^{, admettant des dérivées}

première et seonde notées respetivement

x ^′ (t)

^et

x ^′′ (t)

^.

1

^{. Résoudre etteéquation sur R.}

2

^{. Trouver la solution}partiulière de ette équation prenantla valeur

0

^pour

t = 0

^et

dont ladérivée prendla valeur

1

^pour

t = 0

^.

3

^{. Soit}

f

^{lafontion numérique, telle que,pour tout élément}

t

^de l'intervalle

[0, π]

^,

f (t) = e ^{− t} sin t.

a

^{. Justifer le signe de}

f

^sur l'intervalle

[0; π]

b

^{. Traer àla alulatrie la}représentation graphique

C

^de

f

^.

4

^{. On seproposede aluler,enm}

²

^{une valeurapprohée pardéfaut à1mm}

²

^{près de}

l'aire du domaine plan délimitépar la ourbe

C

^{et l'axe des absisses. À ette n,}

deux méthodes sont proposées :

a

^{. Déterminer} l'intégrale

R π

0 f (t)

^d

t

^{au moyen de deux} intégrations par parties suessives.

b

^{. Enutilisantl'équation} diérentielle

(E)

^{érite sous laforme}

x = − 1

2 (x ^′′ + 2x ^′ ),

déterminer une primitive

F

^de

f

^sur

[0, π]

^.

Endéduire l'expression de

R π

0 f (t)

^d

t

^{àl'aide de F.}

c

^{. Déterminerunevaleur approhéede l'aireonsidérée à1mm}

²

^{près par défaut.}

EDL du deuxième ordre avec second membre

4.17

^{On onsidère l'équation}diérentielle

(E ) : y ^′′ (x) − 2y ^′ (x) + y(x) = x ²

1

^.

a

^{. Montrezquelafontion}

f

^{déniesurRpar}

f(x) = x ² + 4x + 6

^{est unesolution}

de

(E)

^.

b

^{. Endéduire laforme générale des solutionsde}

(E)

^.

2

^{. Montrez quela fontion}

g

^{dénie sur Rpar}

g(x) = (2x − 5)e ^x + x ² + 4x + 6

^{est une}

autre solutionde

(E)

^.

3

^{. Montrez que lafontion}

h

^{dénie sur R par}

h(x) = (32x − 80)e ^x + x ² + 4x + 6

^est

aussi solution de

(E)

^.

4.18

^{Soit l'équation} diérentielle (E)

y ^′′ + 4y ^′ + 3y = e ^{− 2x}

dans laquelle

y

^{est une fontion de la variable réelle}

x

^{, dénie et deux fois dérivable sur}

R.

1

^{. Résoudre l'équation}

y ^′′ + 4y ^′ + 3y = 0

^.

2

^{. Déterminerunesolution}partiulièrede

(E)

^{de laforme}

Ae ^{− 2x}

^,où

A

^{est unréel que}

l'on déterminera.

3

^{. En déduirel'ensemble des solutionsde}

(E )

^.

4

^{. Déterminer lasolution} partiulière

f

^de

(E)

^quivérie

f (0) = 0

^et

f ^′ (0) = 0

^.

4.19

^{On onsidère l'équation}diérentielle

(E )

^:

x ^′′ − 2x ^′ − 3x = 3t ² + 1

où

x

^{est une fontion numérique de la variable}

t

^{, dénie et deux fois dérivable sur R,}

x ^′

la fontion dérivée de

x

^et

x ^′′

^{la fontion dérivée seonde de}

x

^.

1

^{. Résoudre l'équation}

x ^′′ − 2x ^′ − 3x = 0

^.

2

^{. Cherher une solution} partiulière de l'équation

(E)

^{sous la forme d'une fontion}

polynme du seonddegré.

3

^{. En déduirela solutiongénérale de}

(E)

^.

4

^{. Déterminer lafontion}

f

^{,solution de}

(E)

^{telle que}

f (0) = 0

^et

f ^′ (0) = 0

^.

4.20

^{On veut résoudre l'équation}diérentielle

y ^′′ (x) + 2y ^′ (x) + y(x) = e ^{− x} ,

notée

(E)

^,où

y

^{est une fontionde la variableréelle}

x

^{,deux fois dérivable sur l'ensemble}

des nombres réels.

1

^.

a

^{. Résoudre l'équation} diérentielle

y ^′′ (x) + 2y ^′ (x) + y(x) = 0.

b

^{. Déterminer une fontion}

u

^{, deux fois dérivable sur R telle que la fontion}

y ₀

^,

déniepar

y 0 (x) = u(x)e ^{− x}

^{, soitsolution de l'équation}diérentielle

(E)

^.

c

^{. Donner l'ensemble des solutionsde l'équation}diérentielle

(E)

^.

d

^{. Déterminer la solution} partiulière

f

^{de l'équation}

(E)

^{telle que}

f (0) = 1

^et

f ^′ (0) = 0

^.

2

^{. On onsidère la fontion numérique}

f

^{de la variable réelle}

x

^{dénie sur l'intervalle}

[0, 1]

^par

f(x) = e ^{− x}

1 + x + x ² 2

.

On note

C

^{sa ourbe} représentative dans un repère orthonormé

(O; ~

i

,~

^j

)

^(unité

graphique :10 m).

a

^{. Montrer que, pour tout nombre}

x

appartenant à

[0; 1]

^,

f ^′ (x) = − x ² 2 e ^{− x} . b

^{. Étudier lesigne de}

f ^′

^{etdresser le tableaude variationde}

f

^.

c

^{. Traer la ourbe}

C

^{dans le repère}

(O; ~

i

,~

^j

)

^.

d

^{. Sur la gure, on onstate que l'équation}

f(x) = 0, 95

^{admet une solution}

unique. Par leture graphique, donner une valeur approhée à

10 ^{− 1}

^{près de}

ette solution (on fera apparaître sur la gureles traés permettant ette le-

ture).

e

^{. A l'aide de la alulatrie, déterminer une valeur approhée à}

10 ^{− 2}

^{près de}

ette solution.

4.21

^Soit

(E)

^l'équationdiérentielle :

y ^′′ + 2y ^′ + y = 4e ^{− x}

où

y

^{est une fontionde la variable}

x

^{, deux fois dérivable sur R,}

y ^′

^{safontion dérivée et}

y ^′′

^{safontion dérivée seonde.}

Partie A

1

^{. Résoudre sur R l'équation}diérentielle

(E 0 )

^:

y ^′′ + 2y ^′ + y = 0.

2

^{. Montrer que la fontion}

y 1

^{dénie sur R par :}

y 1 (x) = 2x ² e ^{− x}

^{est une solution}

partiulière sur R de

(E)

^.

3

^{. En déduirela solutiongénérale sur R de}

(E)

^.

4

^{. Déterminer lasolution}

y 2

^de

(E)

^{qui vérie :}

y 2 (0) = 4

^et

y ^′ ₂ (0) = 1.

Partie B

Soit

f

^{lafontion dénie sur R par :}

f (x) = (2x ² + 5x + 4)e ^{− x} .

Onnote

C

^laourbereprésentativede

f

^{dansunrepère}orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{(unitégraphique}

1 m).

1

^{. Déterminer leslimites de}

f

^en

+ ∞

^{et en}

−∞

^{. On justiera lesrésultats obtenus.}

2

^{. Étudier lesvariationsde}

f

^.

3

^{. Construire la ourbe}

C

^.

4

^{. Soit}

A

^{l'aire en m}

²

^{de la partie du plan limitée par lesdroites} d'équations

x = 0

^,

x = 1

^{et la ourbe}

C

^.

Donner la valeur exate de

A

^{, puis lavaleurapprohée à}

10 ^{− 3}

^{près, de deux façons}

diérentes :

•

^{en eetuant} suessivement deux intégrations par parties;

•

^{en utilisantle fait que}

f

^{est une solution de l'équation}diérentielle

(E)

^.

4.22

^{Good vibrations}

Une masse M est posée sur lesol àl'aide d'une suspension amortie.

Pour tout

t

^de

[0, + ∞ [

^{,on désignepar}

x(t)

^{la longueur du ressort (en mètres).}

On établiten méanique que lafontion de lavariable

t

^{dénie sur}

[0, + ∞ [

^par

t 7→ x(t)

est solution de l'équation diérentielle :

x ^′′ + kx ^′ + 25x = 20

^où

k

^{désigneune onstante}

réelle positivequi dépend des aratéristiques de l'amortisseur.

Partie A

Les questions l. et2. sont, dans une large mesure, indépendantes.

1

^{. Le but de ette partie est la résolution de l'équation} diérentielle :

x ^′′ + kx ^′ + 25x = 0 (1)

oùl'inonnue

x

^{est une fontion de lavariableréelle}

t

^{dénieet deux fois dérivable}

sur

[0, + ∞ [

^et

k

^{une onstantepositive.}

a

^{. Érire l'équation}aratéristique de l'équation (1).

b

^{. Donner suivant lesvaleurs de}

k

^{les diérentes formes des solutions.}

c

^{. Déterminer}l'intervalledans lequel ilfaut hoisir lenombre

k

^{pour quel'équa-}

tion(1)n'admettepasdesolutionsfaisantintervenirdesfontionstrigonométriques,

don que lesystème ne soit pas soumis àdes osillations.

2

^{. Dans lasuite onprend}

k = 10

^{et ononsidère l'équation} diérentielle :

x ^′′ + 10x ^′ + 25x = 20 (2)

oùl'inonnue

x

^{est une fontion de lavariableréelle}

t

^{dénieet deux fois dérivable}

sur

[0, + ∞ [

^.

a

^{. Résoudre l'équation} diérentielle :

x ^′′ + 10x ^′ + 25x = 0 (3)

b

^{. Déterminerlenombre réel}

m

^{telquelafontiononstante}

h

^déniesur

[0, + ∞ [

par

h(t) = m

^{soitsolution de l'équation (2).}

c

^{. Déduire de e qui préède l'ensembledes solutionsde l'équation (2).}

d

^{. Déterminerlasolution}partiulière

x

^{de l'équation(2)quivérie lesonditions}

initiales

x(0) = 0, 4

^et

x ^′ (0) = 0

^.

Partie B

Soit

x

^{la fontion déniesur}

[0, + ∞ [

^{par :}

x(t) = ( − 2t − 0, 4)e ^{− 5t} + 0, 8

et

C

sa ourbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^(unité

graphique 10m).

1

^.

a

^{. Déterminer}

lim

t → + ∞ x(t)

^{. Endéduirel'existened'une asymptote}

D

^dontondon-

nera une équation.

b

^{. Enadmettant quela fontion}

x

^{quel'on étudiesoitsolution du problème mé-}

anique dérit audébut de et exerie, donner une interprétation du résultat

obtenu auB.l.a).

2

^.

a

^{. Déterminerla dérivée}

x ^′

^de

x

^.

b

^{. Établir letableau de variation de}

x

^.

3

^.

a

^{. Déterminerla tangente}

T

^{à laourbe}

C

^{aupoint d'absisse 0.}

b

^{. Compléter,aprèsl'avoirreproduit,letableaude valeurssuivantdans lequelon}

feragurer éventuellement des valeursdéimales approhées à

10 ^{− 2}

^près.

t

^{0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2}

x(t)

c

^{. Construire}

D

^,

T

^et

C

^.

Exemple d’équation différentielle non linéaire

4.23

^{La vitesse du parahute (suite)}

Unparahutistesauted'unavion.Onsuppose queson parahutes'ouvreimmédiatement.

Sur l'ensemblehommeet parahute, de masse totale

m

^{, s'exerent plusieursfores :}