Équations différentielles

MPSI A 2004-2005

Feuille d’exercices

Équations différentielles

Exercice 1: [Équations autonomes]

On appelle courbe intégrale d’une équation différentielle le graphe d’une solu- tion définie sur un intervalle maximal.

1. Montrer que siφ:]a,b[→R est une solution d’une équation différentielle au- tonome, alorsψ:]a+k,b+k[→R définie par ψ(t) =φ(t−k)est aussi une solution. Interprétation en terme de courbes intégrales ?

2. Pour les équations différentielles suivantes, déterminer les solutions au pro- blème de Cauchy avec condition initiale y(t₀) =y₀(en particulier l’existence et l’unicité) ainsi que l’intervalle maximal de définition des solutions :

y⁰=y² y⁰=1+y² y⁰=2p

|y| y⁰=y(y+1).

Exercice 2: Résoudre les équations différentielles : y⁰= 2ty²

1−t² t(t−1)y⁰=y(y−1).

On tracera en particulier les courbes intégrales représentatives ainsi que toute courbe pouvant aider au tracé (isoclines, points d’inflexion...).

Exercice 3: [Étude graphique]

Soit l’équation différentielle

y⁰=1−ty. (1)

1. Déterminer la courbe isocline I₀ de (1) ainsi que la courbe des points d’in- flexion. (Déterminer y⁰⁰ et y⁰⁰⁰.)

2. Montrer sans calcul que les solutions sont toutes définies sur R.

3. Tracer quelques solutions. On donnera en particulier le tableau de variation.

4. Résoudre (1). (On introduira la fonction x7→

Z _x

0

e^t22dt.) Ce résultat est-il uti- lisable pour tracer les courbes intégrales ?

1

Exercice 4: Résoudre sur C l’équation différentielle z⁰=αz oùα∈C. En déduire les solutions du système différentiel réel :

½ x⁰(t) = x(t)−y(t) y⁰(t) = x(t) +y(t)

Exercice 5: Soit g un fonction de classe

C

²sur R. On cherche à résoudre l’équation intégrale

f(x) + Z _x

0

(x−t)f(t)dt=g(x) d’inconnue la fonction continue f .

1. Montrer que toute solution continue est de classe

C

² et vérifie une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

2. En déduire les solutions lorsque g(x) =x²ou cos x.

Exercice 6: [Un calcul de spectre]

Soit E un espace vectoriel sur K et f ∈

L

(E). On dit queλ∈K est une valeur propre de f s’il existe un vecteur non nul v∈E tel que f(v) =λv. Un tel v s’appelle un vecteur propre pour la valeur propreλ. Le spectre de f est l’ensemble des valeurs propres de f .

1. On suppose que tout v∈E non-nul est vecteur propre. Que dire de f ? 2. On suppose E de dimension finie. Montrer que le spectre est fini et de cardinal

≤dim E. (Introduire le polynôme caractéristique.)

3. Soit ∆ le laplacien sur R, i.e. l’endomorphisme de

C

^∞(R) donné par ∆f = f⁰⁰. Déterminer le spectre de ∆. Même question lorsque E est l’espace des fonctions de classe

C

^∞sur R et T -périodiques.

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