1/34 -
Chapitre n°2 : Fonctions : continuité, limite.partie 1/2
Objectifs :
Niveau 1 2 3 4
C2.a 1 Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une
fonction à l'infini.
C2.b 1 Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction
en un point.
C2.c 2 Savoir déterminer des asymptotes.
C2.d 2 Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un
produit ou d'un quotient de fonctions.
C2.e 1 Calculer la limite de fonctions composées
C2.f 1 Calculer la limite de fonctions en utilisant les
théorèmes de comparaison
C2.g 1 Savoir utiliser le théorème des valeurs
intermédiaires
Activité d'approche n°1 : limites de fonctions Sur la figure ci-contre, A est fixe, de coordonnées
(1;2). H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées. I est le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses. M est un point mobile sur l'axe des abscisses, d'abscisse x strictement supérieure à 1. P
est le point d'intersection de la droite (AM) avec l'axe des ordonnées. On note f(x) l'aire du triangle HAP. q1. En utilisant un logiciel de géométrie, indiquer approximativement l'évolution de l'aire du triangle
HAP en fonction de x.
q2. Conjecturer les valeur de lim
x→+1 f (x) et lim
x→+∞ f(x) . lim
x→+1 f (x)=.... et lim
x→+∞ f (x)=....
q3. Calculer l'aire du triangle HAP en fonction de x.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
q4. Retrouver les conjectures de la question 2 en étudiant les variations de f. ...
1/34
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1 : limites de fonctions
I) Limites de fonctions
Définition n°1 : limite finie en l'infini
Dire que lim
x→+∞ f (x)=l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x0
…...…
...…...…
...…..
Remarque :
Un énoncé similaire permet d'interpréter lim
x→−∞ f (x)=l
Définition n°2 : limite finie en a
Dire que lim
x→a
f (x)=l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x0 …...
…...
…...
…...
Définition n°3 : limite infinie en l'infini
Dire que lim
x→+∞ f (x)=+∞ signifie que quelque soit l'intervalle ]A;+∞[ (A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x0
...
...
...
3/34 -
…...
Remarque :
Un énoncé similaire existe pour lim
x→...
f (x)=... lim
x→...
f(x)=... et lim
x→...
f (x)=...
Définition n°4 : limite infinie en a
Dire que lim
x→a
f (x)=+∞ signifie que quelque soit l'intervalle
]A;+∞[ (A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x0 suffisamment proche de a pour laquelle ...
...
…...
…...
Remarque :
Lorsque x tend vers le réel a par valeur inférieure, o note : …...
et on parle de l... …...
Lorsque x tend vers le réel a par valeur supérieure, o note : …...
et on parle de l... …...
Exemple n°1 :
Déterminer lim
x→+∞
1 x :
Intuitivement, on peut conjecturer que lim
x→+∞
1 x=....
Soit a un nombre réel positif quelconque et l'intervalle ]–a;+a[. Alors, si x>..., on a 1 x
….... Ce qui confirme que lim
x→+∞
1
x=.... puisque l'on peut prendre a aussi petit que l'on veut.
Exercice n°1 Ex.1 p.54 Exercice n°2
Ex.34 p.56 Exercice n°3
Ex.8 p.54
Cours n°2 : Asymptotes 3/34
II) Asymptotes
Définition n°5 : asymptote horizontale
Soit f une fonction.Si lim
x→+∞ f (x)=l , c'est que la courbe représentative de f s'approche progressivement, à l'infini, d'une droite horizontale d'équation ….... Cette droite s'appelle alors
…...
Définition n°6 : asymptote verticale Soit f une fonction.Silim
x→a f (x)=+∞ , c'est que la courbe représentative de f s'approche progressivement en a
d'une droite verticale d'équation ….... Cette droite s'appelle alors
…...
Exemple n°2 :
Soit f la fonction inverse. Donner les équations des asymptotes.
…...
...
...…
Se tester C2.2 (sur 6)
Objectifs :
1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.
Nivea
u 1 2 3 4
C2.a 1 Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une
fonction à l'infini.
C2.b 1 Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction en
un point.
C2.c 2 Savoir déterminer des asymptotes.
Ex.1 [/6] :
Soit f la fonction définie par : f(x) = x1
+3+2
1. Déterminer la limite en −3−
...
...
...
...
...
...
5/34 -
...
...
...
...…
2. Déterminer la limite en −3+
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
3. Déterminer la limite en −∞
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
4. En déduire deux asymptotes dont on donnera les équations.
...
...
...
...
5/34
Indices et résultats Ex.1 : 1. - ∞ 2. + ∞ 3. 2 4. x = -3 et y = 2.
Interrogation n°2
C2.a_Niv1 :Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une fonction à l'infini.
C2.b_Niv1 :Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction en un point.
C2.c_Niv2 :Savoir déterminer des asymptotes.
Exercice n°4 Ex.6 p.54 Exercice n°5
Ex.36 p.56 Exercice n°6*
Ex.63 p.58 Exercice n°7**
Ex.7 et 8 p.54
Cours n°3 : Opérations sur les limites
III) Limite des fonctions usuelles Propriété n°1
a. lim
x→−∞x2=.... et lim
x→+∞x2=...
b. lim
x→−∞ x3=... et lim
x→+∞x3=...
c. Si n est pair : lim
x→−∞xn=.... et lim
x→+∞xn=.... d. Si n est impair : lim
x→−∞xn=.... et lim
x→+∞xn=.... e. lim
x→−∞
1
x=.... et lim
x→+∞
1
x=.... , lim
x→0
x<0
1
x=.... et lim
x→0
x>0
1 x=.... f. lim
x→+∞ √x=...
Propriété n°2
Si a est un nombre réel : lim
x→a 1
x=.... pour a ≠ 0
lim
x→a P(x)=.... si P est un polynôme.
lim
x→a√x=... pour a0.
IV) Opérations sur les limites Propriété n°3 : Somme lim
x→a ¿
7/34 -
limx→a f (x) →
lim
x→a g(x)
¯
L + ∞ – ∞
L' ... ... ...
+ ∞ ... ... ...
– ∞ ... ... ...
Propriété n°4 : Produit lim
x→a f (x)×g(x) lim
x→a
f (x) →
lim
x→a g(x)
¯
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Propriété n°5 : Quotient lim
x→a
f (x) g(x)
7/34
limx→a f (x) →
lim
x→a g(x)
¯
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Exemple n°3 :
Déterminer lim
x→+∞
(
1+1x)
x2 :...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°4 :
Déterminer lim
x→+∞
1 x2+1 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5 :
9/34 -
Déterminer lim
x→−2 x+1 x+2 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°6 :
Déterminer lim
x→−∞
x3−1 x2+1
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
Exemple n°7 :
9/34
Déterminer lim
x→+∞
x+1 2x+1 :
...
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
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...
...
Exemple n°8 :
Déterminer lim
x→−∞
5x2+3x+1
−2x+1 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
11/34 -
...
...
...
Exemple n°9 :
Déterminer lim
x→−2
x2+6x+8
−2x−4 :
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C2.3 (sur 10)
Objectifs :
1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.
Nivea
u 1 2 3 4
C2.d 2 Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit
ou d'un quotient de fonctions.
Ex.1 [/1,5] : Déterminer lim
x→+∞
(
+7+1x)
x2 :...
...
...
...
...
...
...
11/34
...
...………..
Ex.2 [/1] : Déterminer lim
x→+∞
−8 x2+1 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...………..
Ex.3 [/1,5] : Déterminer lim
x→3+
−x+7 x−3 :
...
...
...
...
...
...………
Ex.4 [/2] : Déterminer lim
x→+∞
x2+7 x4+1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.5 [/2] : Déterminer lim
x→+∞
x+4 3x+6 :
...
...
...
...
...
...
...
...
13/34 -
...
...
...
...
...
...
...
Ex.6 [/2] : Déterminer lim
x→−2
x2–2x−8 x+2 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...……….
13/34
Indices et résultats Ex.1 : + ∞ .
Ex.2 : 0. Ex.3 : + ∞ . Ex.4 : 0. Ex.5 : 1
3. Ex.6 : -6.
Interrogation n°3
C2.d_Niv2 :Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions.
Exercice n°8 Ex.10 p.54 Exercice n°9
Ex.15 p.54 Exercice n°10*
Ex.21 p.55 Exercice n°11*
Ex.22 p.55 Exercice n°12
Ex.47 p.56
Cours n°4 : Fonctions composées
V) Fonctions composées Définition n°7
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit J l'ensemble de toutes les valeurs
f(x) où x appartient à I, et soit g une fonction définie au moins sur J. On appelle fonction composée f suivie de g la fonction h définie par :
…...
On note cette composée : h = …...
Exemple n°9 :
Soit hla fonction définie par h(x)=
(
x2+x3)
3 . Écrire h comme composée de deux fonctions :...
...
...
...
...
...
15/34 -
Propriété n°6 : limite de fonctions composées
Si lim
x→a f (x)=b et si lim
x→bg(x)=c alors lim
x→a...=...
Remarque :
Cette propriété est aussi valide en +∞ et –∞. Exemple n°10 :
Déterminer la limite en - ∞ de la fonction h de l'exemple précédent.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C2.4 (sur 6)
Objectifs :
1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.
Nivea
u 1 2 3 4
C2.e 1 Calculer la limite de fonctions composées
Ex.1 :
1 (/2). Soit h la fonction définie par
(
44x+8x)
7. Écrire h comme composée de deux fonctions :...
...
...
……….
2 (/4). Déterminer la limite en -∞ de la fonction h de l'exemple précédent.
...
...
...
...
...
...
...
15/34
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…..……...…...……...…...…....
………..
Indices et résultats Ex.1 : 1. h=fog avec f(x)=x7 et g(x)=44xx
+8. 2.
(
44)
7.Interrogation n°4
C2.e_Niv1 :Calculer la limite de fonctions composées Exercice n°13
Ex.24 p.55 Exercice n°14*
Ex.78 p.59
Cours n°5 : Limites par comparaison VI) Calcul de limites par comparaison
Propriété n°7 (Théorème des gendarmes)
Soient a et L deux réels, et soient f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait :
- Au voisinage de a : f(x)g(x)h(x)
- lim
x→a f(x)=lim
x→ah(x)=L
Alors …...
…...
Remarque :
Cette propriété est aussi valide en +∞ et –∞. Exemple n°11 :
Déterminer lim
x→+∞
cos(x) x :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°8 (Théorème de comparaison)
Soient a et L deux réels, et soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait, au voisinage de a : f(x)g(x)
Alors :
18/34 - Si lim
x→a f (x)=+∞ alors …...
Si lim
x→a g(x)=−∞ alors …...
Exemple n°12 :
Soit f la fonction définie par : f(x)=x+1+cos(x). Déterminer lim
x→+∞ f (x) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C2.5 (sur 5)
Objectifs :
1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.
Nivea
u 1 2 3 4
C2.f 1 Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes
de comparaison
Ex.1 [/3] :
Déterminer : lim
x→+∞
2cosx 8x +4
...
...
...
...
...
...
…...
...
...
Ex.2 [/2] :
Soit f la fonction définie par : f (x)=8x+3−4cos(x). Déterminer lim
x→+∞ f (x) :
...
...
...
18/34
...
...
...
...
...
...
...
...
...
20/34 -
Indices et résultats Ex.1 : 4.
Ex.2 : - ∞ .
Interrogation n°5
C2.f_Niv1 :Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes de comparaison Exercice n°15
Ex.28 p.55 Exercice n°16
Ex.89 p.60 Exercice n°17*
Ex.83 p.59 Exercice n°18**
Ex.86 p.60
Activité d'approche n°2 : Partie entière et continuité
On définit la fonction, appelée « partie entière », notée E de la façon suivante : à tout nombre réel x, on fait correspondre l'unique entier relatif n tel que nx<n+1.
1. Calculer E(-2,7) et E(4,57).
...
...
2. Représenter la fonction E sur le graphique ci-dessous :
20/34
3. Conjecturer les limites suivantes sur le graphique : lim
x→3
x<3
E(x) et lim
x→3
x>3
E(x)
...
...
4. La fonction E admet-elle une limite en 3 ? Pourquoi ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
22/34 -
Cours n°6 : Continuité, théorème des valeurs intermédiaires VII) Continuité d'une fonction – théorème des valeurs intermédiaires
Définition n°8
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.
f est dite continue en a si …... =...
…...
f est dite continue sur I si elle est continue en tout nombre de l'intervalle I.
Remarque :
Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont la représentation graphique sur cet intervalle se trace sans lever le crayon.
Exemple n°13 :
La fonction partie entière est discontinue à chaque …...
…...
La fonction carrée est …... sur …...
Propriété n°9 (admis)
Les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.
Remarque :
Les fonctions rencontrées jusqu'à présent sont très souvent continues sur leur ensemble de définition.
Propriété n°10 : théorème des valeurs intermédiaires (admis) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b].
Alors, quelque soit le réel k de l'intervalle [ f(a) ; f(b) ], il existe au moins un nombre
c de l'intervalle [a;b] tel que …...
Remarque :
Autrement dit, si f est une fonction continue, l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans l'intervalle [a;b].
Exemple n°14 :
Soit la fonction f définie par f(x)=x3+5
x2+3 . L'équation f(x)=2 admet-elle au moins une solution sur IR ? Justifier.
...
...
...
...
...
...
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...
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...
22/34
23/34 -
...
...
Propriété n°11 : Théorème de la bijection (admis)
Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k de l'intervalle [ f(a) ; f(b) ],il existe exactement un unique nombre c de l'intervalle [a;b] tel que …...
Remarques :
1. Ce théorème est une conséquence (=corollaire) du théorème des valeurs intermédiaires.
2. Si k n’appartient pas à l’intervalle [ f(a) ; f(b) ] , l’équation n’a pas de solution.
Exemple n°15 :
Soit la fonction f définie par f(x)= 5
x2+3 . L'équation f(x)=1 admet-elle une solution sur
IR+ ? Cette solution est-elle unique ? Justifier.
...
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23/34
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Se tester C2.6 (sur 8)
Objectifs :
1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.
Nivea
u 1 2 3 4
C2.g 1 Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes
de comparaison
Ex.1 (/3,5) :
Soit la fonction f définie par f(x) = x3+3
x2+9. L'équation f(x)=2 admet-elle au moins une solution sur ℝ ? Justifier.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2 (/4,5)
Soit la fonction f définie par f(x) = 5
8x2+1
a. L'équation f(x)=1 admet-elle au moins une solution sur ℝ ? b. Cette solution est-elle unique ? Justifier.
...
...
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25/34 -
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......
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25/34
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...
...
...
......
27/34 -
Indices et résultats Ex.1 : Oui.
Ex.2 : a. Oui. b. Non.
Interrogation n°6
C2.g_Niv1 :Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires Exercice n°19*
Ex.32 p.55 Exercice n°20*
Ex.105 p.61 Exercice n°21*
Ex.106 p.61 Exercice n°22*
Démontrer qu'il existe une fonction qui coupe toutes les droites du plan.
Exercice n°23****
Sujet A p.69 Exercice n°24**
Sujet D p.70 Exercice n°25***
Asymptotes obliques p.65 Exercice n°26**
Ex.146 p.71 Exercice n°27**
Ex.152 p.72 Exercice n°28**
Ex.153 p.73
Exercice n°29****
Ex.154 p.73
27/34
Résultats ou indices
Ex. n°1-Ex.1 p.54- x>5 ; x>50 ; lim
x→+∞ f(x)=−∞
Ex. n°2-Ex.34 p.56- 1.lim
x→2
x>2
f(x)=−∞ 2. lim
x→+∞ f (x)=0 Ex. n°3-Ex.8 p.54- Dans tous les cas : lim
x→+∞ f(x)=+∞ et lim
x→+∞g(x)=0 1. lim
x→+∞ f(x)×g(x)=1 2.
lim
x→+∞ f (x)×g(x)=0 3. lim
x→+∞ f(x)×g(x)=+∞ 4. lim
x→+∞ f(x)×g(x)=−∞
Ex. n°4-Ex.6 p.54-
1. (d1) a pour équation x = -2. (d2) a pour équation x = 1. (d3) a pour équation y = -1. 2.
lim
x→−∞ f(x)=−1 , lim
x→+∞ f(x)=−1 , lim
x→−2
x<−2
f(x)=+∞ lim
x→−2
x>−2
f(x)=−∞lim
x→1
x<1
f (x)=+∞lim
x→1
x>1
f (x)=+∞
3.
Ex. n°5-Ex.36 p.56- 1.
2. Si x<-1 ou x>1,c est
strictement au dessus de (d3). Si -1<x<1,c est strictement en dessous de (d3). Ex. n°6*-Ex.63 p.58- 1. lim
x→−∞ f (x)=+∞ lim
x→+∞ f(x)=3 asymptote : y=3 en +∞ 2.b. lim
x→−∞g(x)=0 lim
x→+∞g(x)=1
3 2.c. asymptote y=0 en - ∞ et asymptote y=1
3 en + ∞ Ex. n°7**-Ex.7p.54- Dans tous les cas,lim
x→+∞ f(x)=+∞ et lim
x→+∞g(x)=−∞ Cas n°1 : lim
x→+∞ f(x)+g(x)=5 ; cas n°2 : lim
x→+∞ f (x)+g(x)=0 ; cas n°3 : lim
x→+∞ f (x)+g(x)=+∞ ; cas n°4 : lim
x→+∞ f(x)+g(x)=−∞ -Ex.8p.54- Dans tous les cas,lim
x→+∞ f(x)=+∞ et lim
x→+∞g(x)=0 ; cas n°1 : lim
x→+∞ f(x)×g(x)=1 ; cas n°2 : lim
x→+∞ f(x)×g(x)=0 ; cas n°3 : lim
x→+∞ f (x)×g(x)=+∞ ; cas n°4 : lim
x→+∞ f(x)×g(x)=−∞
Ex. n°8-Ex.10 p.54- a.lim
x→−∞ f(x)=−∞ et lim
x→+∞ f(x)=+∞ b.lim
x→−∞g(x)=−∞ et lim
x→+∞g(x)=+∞ c.
lim
x→−∞h(x)=−∞ et lim
x→+∞h(x)=+∞
Ex. n°9-Ex.15 p.54- a.lim
x→−∞ f(x)=−∞ b. lim
x→−∞g(x)=−∞ c. lim
x→−∞h(x)=−∞ d. lim
x→−∞k(x)=+∞
Ex. n°10*-Ex.21 p.55- 1. Si x<3, 3 – x>0 ; Si x>3, 3 – x<0 2.a.lim
x→3
x>3
f(x)=−∞ 2.b.
lim
x→3
x>3
g(x)=+∞ 2.c.lim
x→3
x>3
h(x)=+∞ 3.a.lim
x→3
x<3
f(x)=+∞ 3.b.lim
x→3
x<3
g(x)=−∞ 3.c.lim
x→3
x<3
h(x)=−∞
Ex. n°11*-Ex.22 p.55- 1.a.lim
x→1
x>1
f(x)=+∞ 1.b.lim
x→1
x>1
g(x)=−∞ 1.c.lim
x→1
x>1
h(x)=−∞ 2.a.lim
x→1
x<1
f(x)=−∞
2.b. lim
x→1
x<1
g(x)=+∞ 2.c.lim
x→1
x<1
h(x)=+∞
Ex. n°12-Ex.47 p.56- a. lim
x→−∞ f(x)=−∞ et lim
x→+∞ f (x)=+∞ b.lim
x→−∞g(x)=+∞ et lim
x→+∞g(x)=−∞ c.
lim
x→−∞h(x)=+∞ et lim
x→+∞h(x)=+∞ d. lim
x→−∞k(x)=−∞ et lim
x→+∞k(x)=−∞
