cours 8
1.8 IDENTITÉS
TRIGONOMÉTRIQUES
Pourquoi les mathématiciens utilisent-ils le terme «tangente» et
«sécante» pour désigner deux concepts différent?
On a gratis que
On a par Pythagore
Exemple
On est maintenant en mesure de trouver des rapports trigonométrique d’angle qui ne sont pas remarquables.
sin
✓ 7⇡
12
◆
= sin
✓ 3⇡
12 + 4⇡
12
◆
= sin ⇣ ⇡
4 + ⇡ 3
⌘
= sin ⇣ ⇡ 4
⌘ cos ⇣ ⇡ 3
⌘ + cos ⇣ ⇡ 4
⌘ sin ⇣ ⇡ 3
⌘
=
p2
2 ⇥ 1
2 +
p2
2 ⇥
p3 2
=
p2
4 +
p2 ⇥ p 3 4
=
p2(1 + p 3) 4
=
p2 + p
2 ⇥ p 3 4
Faites les exercices suivants
# 49 et 50
De ces deux identités
sin(↵ + ) = sin ↵ cos + sin cos ↵ cos(↵ + ) = cos ↵ cos sin ↵ sin
on peut en déduire d’autre.
sin(↵ ) = sin(↵ + ( ))
= sin ↵ cos( ) + sin( ) cos ↵
= sin ↵ cos sin cos ↵ cos(↵ ) = cos(↵ + ( ))
= cos ↵ cos( ) sin ↵ sin( )
= cos ↵ cos + sin ↵ sin
Exemple
sin ⇡12 = sin
✓ 4⇡
12
3⇡
12
◆
= sin ⇣ ⇡ 3
⇡ 4
⌘
= sin ⇣ ⇡ 3
⌘ cos ⇣ ⇡ 4
⌘ sin ⇣ ⇡ 4
⌘ cos ⇣ ⇡ 3
⌘
=
p3
2 ⇥
p2 2
p2
2 ⇥ 1 2
=
p3 ⇥ p 2 4
p2
4 =
p3 ⇥ p
2 p 2 4
=
p2(p
3 1) 4
De ces deux identités
sin(↵ + ) = sin ↵ cos + sin cos ↵ cos(↵ + ) = cos ↵ cos sin ↵ sin
on peut aussi déduire.
sin 2✓ = sin(✓ + ✓) = sin ✓ cos ✓ + sin ✓ cos ✓
= 2 sin ✓ cos ✓
cos 2✓ = cos(✓ + ✓) = cos ✓ cos ✓ sin ✓ sin ✓
= cos2 ✓ sin2 ✓
cos 2✓ = cos2 ✓ sin2 ✓ 1 = cos2 ✓ + sin2 ✓ +
1 + cos 2✓ = 2 cos2 ✓
1 + cos 2✓
2 = cos2 ✓
cos ✓ =
r 1 + cos 2✓
2
cos ✓ =
r 1 + cos 2✓
2
✓ = ↵ 2
=
s
1 + cos 2 ⇥ ↵2 cos ⇣ ↵ 2
2
⌘
=
r 1 + cos ↵ 2
cos ⇣ ↵ 2
⌘ =
r 1 + cos ↵ 2
Exemple
cos ⇡8 = cos
✓ 1
2 ⇥ ⇡ 4
◆
=
r 1 + cos ⇡4 2
=
s
1 + p22
2 =
s
2
2 + p22 2
=
s
2 + p 2
4 =
p2 + p 2 2
Faites les exercices suivants
Trouver l’identité pour sin ✓ 2
# 51 à 56
Devoir:
#49 à 56p. 466 # 38 et
