Exercice 2 - Sécante à une courbe

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE1

x y

C ^f

D•

•C

A•

B•

C (T)

•A O•

Sur le graphique de gauche tra- cer - au juger, et à la règle - les tangentes à Cf aux points A, B, C et D.

Exercice 2 - Sécante à une courbe

On a représenté la courbe de la fonction : f(x) =x³−x²

2

A, B, C sont les points de la courbe Cf d’abs- cisses respectives−1, 1 et 2.

1) Calculerf(−1), f(1) etf(2).

2) Donner les coefficients directeurs des droites (AB), (AC) et (BC) (graphique- ment ou par le calcul).

3) Soit D le point de Cf d’abscisse 3.

Calculer le coefficient directeur de la droite (BD). Tracer alors cette droite.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

O B•

•C

A•

C ^f

Exercice 3 - Sécante et tangente

On a représenté la courbe de la fonctionf(x) =x²−2x

4 .

A est le point de Cf d’abscisse 2 et M est le point de Cf d’abscisse 2 +havech6= 0.

y

1 2 3

M•

f(2 +h)

C ^f

1) Calculer - en fonction deh- le coefficient directeur de la droite (AM). On le notera τ(h).

2) Déterminer lim

h→0τ(h). Que représente ce nombre ?

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE2

Exercice 4 - Vitesse instantanée (1)

Un dragster atteint la vitesse de 360 km/h en 10 s. En supposant l’accélération constante, on démontre alors que la distance (en mètres) au point de départ du dragster est donnée par la fonction :d(t) = 5t²(test exprimé en secondes).

1) Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?

2) Écrire la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants 3 et 3 +h.

3) Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s^-1).

Valeurs deh 0,1 0,01 0,001 0,000 1

Vitesse moyenne

4) Quelle est la vitesse instantanée du dragster à l’instant t= 3 s ?

Exercice 5 - Lecture graphique (1)

On a représenté les courbes de deux fonctionsf etg ainsi que certaines de ses tangentes (doubles flèches).

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

O A

B C

C ^f

−3 −2 −1 1 2 3 4 x y

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

A O B

C

C ^g

1) Lire graphiquement les valeurs de :f(−2) etf⁰(−2),f(0) etf⁰(0),f(2) etf⁰(2).

2) Lire graphiquement les valeurs de :g(−2) etg⁰(−2), g(0) etg⁰(0),g(1) etg⁰(1).

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE3

On a représenté les courbes de deux fonctionsf etg ainsi que certaines de ses tangentes (doubles flèches).

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

O A

B

C

C ^f

−2 −1 1 2 3 4 x y

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

O A

B C

D

C ^g

1) Lire graphiquement les valeurs de :f⁰(−1),f⁰(0) etf⁰(2).

2) Lire graphiquement les valeurs de :g⁰(−1), g⁰(1),g⁰(2) etg⁰(3).

Exercice 7 - Tracé de tangentes

−1 1 2 3 4 x y

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

O

•A

B• C•

C ^f

Voici la courbe représentative d’une fonctionf. Sachant que f⁰(2) = 2, f⁰(0) =−6 et f⁰(1,5) = 0, tracer sur la feuille les tangentes aux points A, B, C.

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE4

Exercice 8 - Vitesse instantanée (2)

La courbe représente la distanced(t) parcourue par un véhicule en fonc- tion de la duréetécoulée depuis le début de son freinage à t= 0.

Les distances sont en mètres, le temps en secondes et les vitesses en m.s^-1.

x

0 1 2 3 4 5 6

y

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

•

Estimer graphiquement - à l’aide d’une règle - la vi- tesse du véhicule :

1) a) àt= 5 s ;

b) juste au moment où il va commencer à freiner ;

c) au bout de 2 s ;

d) lorsqu’il arrive sur un obstacle situé à 85 m de l’endroit où il a commencé à freiner.

2) Reprendre la question 1) par le calcul, sachant que la vitesse est donnée par :v(t) =−8(t−5) pourt∈

0 ; 5 .

Exercice 9 - Nombre dérivé (1)

Soitf la fonction définie par : f(x) =x²−4x+ 1.

1) Donner l’ensemble de définition def. 2) Soit h6= 0, montrer que f(3 +h)−f(3)

(3 +h)−3 =h+ 2.

3) En déduire que la fonctionf est dérivable en 3 et calculer alors le nombre dérivéf⁰(3).

Exercice 10 - Nombre dérivé (2)

Soitg la fonction définie par :g(x) = 1 2x+ 1. 1) Donner l’ensemble de définition deg.

2) Soit h6= 0, montrer que g(1 +h)−g(1)

h = −2

3(2h+ 3).

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE5

Soitula fonction définie par :u(x) =√ x−1.

1) Donner l’ensemble de définition deu.

2) Soit h6= 0, montrer que u(5 +h)−u(5)

h = 1

√4 +h+ 2.

3) En déduire que la fonctionuest dérivable en 5 et calculer alors le nombre dérivéu⁰(5).

4) Donner l’équation réduite de la tangente àCu au point d’abscisse 5.

Exercice 12 - Passage à la limite

On a calculé le taux d’accroissement de six fonctions enx0 (non précisé).

Dans chaque cas déterminer lim

h→0τ(h) : τ(h) =−h+ 3 τ(h) = −2

h+ 1 τ(h) = 1

√h²+ 25

τ(h) =h²−3h

h τ(h) = 3h+ 1

h² τ(h) =4h−4 4−1

Exercice 13 - Équation de tangente

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

O O

C ^f

A•

Soitf la fonction définie par : f(x) =x³−2x+ 1

1) Montrer que la tangente (T) à Cf au point d’abscisse -1 a pour équation :

y=x+ 3 Tracer (T) sur le graphique.

2) Montrer que :

f(x)−(x+ 3) = (x+ 1)²(x−2) 3) En déduire la position relative de Cf et

(T).

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE6

Exercice 14 - Dérivable ou pas ?

Par lecture graphique dire si les fonctions représentées ci dessous sont dérivables en 1.

−2 −1 1 2 x y

−1 1 2 3

C ^f

f(x) = x²−1 2

−2 −1 1 2 x y

−1 1 2 3

C ^g

g(x) =

x²−1 2

−2 −1 1 2 x y

−1 1 2 3

C ^h

h(x) =√ 1−x²

−1 1 2 3 x y

−1 1 2 3 4

C ^k

k(x) =|x−1|

−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6x y

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

C ^u

u(x) =2x−1 x−1

x

1 2 3 4

y

−1 1 2 3 4

C ^v

v(x) =√ x−1

Exercice 15 - Formule (u + v)

= u

+ v

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) =x²+ 1 2) f(x) =x³+x

3) f(x) =x²+√ x+ 4 4) f(x) =x²+1

x+ 3

Exercice 16 - Formule (ku)

= k × u

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) = 4x

2) f(x) = 5 4x²

3) f(x) =−3√ x

4) f(x) =−2 x

5) f(x) = 4x³ 3 6) f(x) = 2√

x 3

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE7

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) = 4x−1 3 2) f(x) = x²

4 −2x+ 5

3) f(x) =1 2x²+1

2x 4) f(x) =x⁴+ 3x²−5x

4

Exercice 19 - Formule (uv)

= u

v + uv

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) =x√ x 2) f(x) = x

2(x−5)

3) f(x) =x²(2x+ 4) 4) f(x) =x³(x−√

x)

Exercice 20 - Formule

1 v

⁰

= − v

v

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) = 1 x−3 2) f(x) = 2

x+ 4

3) f(x) = 1 x²−1 4) f(x) = −5

x²+ 1

Exercice 21 - Formule

u v

0

= u

v − uv

v

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) = 2x+ 1 x−3 2) f(x) = 2x²+ 5x+ 1

x²+ 1

3) f(x) = 2x² x+ 3 4) f(x) =2√

x+ 3 x

Exercice 22 - En vrac

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) = 2x²−5x+ 1

2) f(x) = (2−x)√ x

3) f(x) =2x+ 3 x−2 4) f(x) = 1

x²+ 2

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE8

Exercice 24 - En vrac

Dans chaque cas préciser sur quelle partie deRla fonctionf est dérivable et calculerf⁰(x).

1) f(x) =x³√ x 2) f(x) =− 3

2x+ 3

3) f(x) = 2− x x+ 6 4) f(x) = x+ 1

x²−3

Exercice 25 - Vitesse instantanée (3)

Un bolide décrit un mouvement rectiligne.

La distance parcourue, en mètres, depuis le temps t = 0 en jusqu’au tempst, en secondes, est d(t) = 3t²+ 9t.

1) Déterminer la vitesse instantanée d⁰(0) de ce bolide au tempst= 0 en m.s^-1puis en km.h^-1. 2) Déterminer sa vitesse instantanéed⁰(10) au temps t= 10 en m.s^-1puis en km.h^-1.

3) Au bout de combien de temps a-t-il dépassé la vitesse limite autorisé sur autoroute de 130 km.h^-1?

Exercice 26 - Coefficients cachés

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

A B

C ^f

1) Déterminer par lecture graphiquef(−2),f(0),f(1).

2) Déterminer par lecture graphiquef⁰(−1),f⁰(0).

3) Utiliser certaines des informations précédentes pour déterminer les nombresa, betc sachant que l’on a :

f(x) =ax³+bx+c

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE9

On considère la fonctionf définie par :

f(x) = x x²+ 1

On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x

y

−1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1

O

A

B

C ^f

1) Démontrer que cette fonction est définie surR.

2) Déterminer l’équation réduite de la tangente à Cf au point d’abscisse 0.

3) Démontrer que les tangentes à Cf aux points d’abscisses -3 et 3 sont parallèles.

4) Démontrer que si l’on trace les tangentes à Cf en deux points d’abscisses opposées, ces tangentes sont parallèles.

Exercice 28 - In haut de ch’terril

o^Benoît 25 m

1 m Au sommet d’un terril de 25 m de haut, on a planté un bâton de 1 m de haut. On modélise en coupe le terril par un morceau de paraboleP :y=−x²+ 25.

Si Benoît, même du haut de ses 1 m 80, se place trop près du pied du terril, il ne verra plus le bâton. On se demande à quelle distance minimale il doit se placer s’il veut apercevoir au moins le haut du bâton.

Exercice 29 - « Boîte à savon »

Un jeune coureur sur « boîte à savon » circule à toute vitesse sur une piste modélisée dans un repère du plan par la courbe Cf de la fonction f définie par :

S-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(1)FICHE10

Exercice 30 - Le toboggan

1) Une entreprise veut réaliser les deux montants latéraux d’un toboggan.

La courbe qui modélise le toboggan est définie comme une partie de la représentation gra- phiqueC d’une fonctionf dans un repère orthonormé adapté.

La partie utile de la courbe C qui modélise le toboggan est délimitée par les points de coordonnées (0,5 ; 2) et(2 ; 0,2) comme le suggère le schéma ci-contre.

x y

1 2

0,5 -0,5

1 2

0,2

La fonctionf est définie, pour tout nombre réel xstrictement positif, par : f(x) =a+ b

x oùaetbsont deux nombres réels.

Détermineraetb.

2) On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle

0,5 ; 2 par : f(x) =−0,4 + 1,2

x On noteC sa courbe représentative dans le repère ci-dessus.

a) On notef⁰ la fonction dérivée def.

Calculerf⁰(x) pour tout nombre réel xde l’intervalle

0,5 ; 2 .

b) Déterminer une équation de la tangente T1à la courbeC au point d’abscisse 0,5 et une équation de la tangente T2 à la courbeC au point d’abscisse 2.

c) Tracer, dans le repère orthonormé les droites T1 et T2.

3) Donner un encadrement de l’aire de la partie coloriée du toboggan en utilisant d’une part les droites T1 et T2, et d’autre part le point de coordonnées (1 ; 0,8).

Le calcul intégralqui sera abordé en terminale permettra de calculer précisément cette aire.