M5 - Comment démontrer que trois vecteurs sont coplanaires ?
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Comment démontrer que trois vecteurs sont coplanaires ? 1
Etape 1 : Choisir un repère
On va se placer dans le repère (A ; AB ; AD ; AE)
Etape 2 : Calculer les coordonnées des trois vecteurs dans le repère
• EB = EA + AB (Chasles) D’où EB = AB − AE
On a alors EB (1; 0; −1)
• AK = AB + BK (Chasles)
D’où = ABAB +AD(dans un cube, les côtés opposés sont parallèles)
On a alors AK (1;; 0)
• AG = AB + BC + CG (Chasles)
D’où AG = AB + AD + AE (parallélisme) On a alors AG (1; 1; 1)
Etape 3 : Montrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires EB = AK
D’où 1 = × 1 0 = ′ ×
−1 = ′′ × 0
⇔ = 1 = 0 = ∅
Etape 4 : On cherche des réels " #$ % tels que &' = " &( + % )*
AG = + AK + , EB D’où :
-
1 = + × 1 + , × 1 1 = + ×1
2 + , × 0 1 = + × 0 + , × (−1)
⇔ -
α + β = 1 1
2 + = 1
−, = 1
⇔ 1 + = 2, = −1
Donc = 2 AKAG − EB
On a démontré que les vecteurs )*, &( 34 &'sont coplanaires.
ABCDEFGH est un cube I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [BF]
K est le milieu de [BC]
Les vecteurs EB, AK et AGsont-ils coplanaires ?
NB : On peut aussi calculer les coordonnées de 67 en déterminant les coordonnées de E puis de B dans le repère et en appliquant la
formule : 89: = 8:− 89 ;< =9:= =:− =9.
Il n’existe pas de réel tel que EB = AK, donc EB et AK ne sont pas colinéaires.
