Première S2 Exercices sur le chapitre 21 : E6. 2007 2008
E6 Savoir travailler avec des vecteurs de l'espace.
ABCDEFGH est un cube. I est le centre du carré ABCD et J est le centre du carré EFGH.
Les vecteurs ÄAC , ÄBF , et ÄAG sont ils coplanaires ? Oui ÄAG = ÄAC + ÄCG = ÄAC + ÄBF .
Les points A, C, et G sont dans le plan ( ACGE ).
Et ÄBF = ÄIJ = ÄCG .
Les points I et J sont aussi dans le plan ( ACGE ).
Les vecteurs ÄCD , ÄBG , et ÄHB sont ils coplanaires ? Oui ÄBG = ÄBH + ÄHG = - ÄHB + ÄCD
Les points B, G et H sont dans le plan ( BGH ). ÄCD = ÄGH.
Donc les vecteurs ÄCD , ÄBG , et ÄHB sont coplanaires . Les vecteurs ÄAE , ÄDJ , et ÄIB sont ils coplanaires ? Oui ÄDJ = ÄDI + ÄIJ = ÄIB + ÄAE
Les points D, J, I et B sont dans le plan ( DBJ ). ÄAE = ÄBF . Donc les vecteurs ÄAE , ÄDJ , et ÄIB sont coplanaires Les vecteurs ÄID , ÄEH , et ÄBF sont ils coplanaires ? Non.
Le point E n'appartient pas au plan ( DHFB). Donc les vecteurs ÄBF , ÄEH et ÄHF ne sont pas coplanaires.
Donc les vecteurs ÄBF , ÄEH et ÄDB ne sont pas coplanaires.
Donc les vecteurs ÄBF , ÄEH et ÄID ne sont pas coplanaires.
P 256 n ° 28.
a. Åu = Åi −Åj Åv = 2Åj + Åk Åw = 2Åi + Åk Åu = Åi − Åj ⇔ Åi = Åu + Åj et Åw = 2 Åu + 2Åj + Åk = 2Åu + Åv . Donc les vecteurs Åu, Åv et Åw sont coplanaires.
b. Åu = Åi −Åj + Åk Åv = 3 Åi −Åj Åw = 2Åi + Åk Existe t il a et b tels que Åw = a Åu + b Åv ?
Å
w = a Åu + b Åv ⇔ 2Åi + Åk = a Åi − a Åj + a Åk + 3b Åi − b Åj ⇔ 2 = a + 3b et 0 = - a − b et 1 = a ⇔ a = 1 et b = 1
3 et b = - 1. Ce qui est impossible.
Donc les vecteurs Åu, Åv et Åw ne sont pas coplanaires.
P 256 n ° 29.
Soit P le barycentre des points ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) ; ( C ; 3 ) ; ( D ; 6 ).
I est le barycentre de ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) et J est le barycentre de ( C ; 3 ) ; ( D ; 6 ).
Alors P est le barycentre de ( I ; 3 ) ; ( J ; 9 ) . Donc P ∈ ( IJ ).
Or P est aussi barycentre de ( I ; 3 ) ; ( C ; 3 ) ; ( D ; 6 ) cad ( K ; 6 ) ; ( D ; 6 ).
Ce qui signifie que P est le milieu de [ KD ] donc P = G . donc G ∈ ( IJ ).
Donc G barycentre de ( I ; 3 ) ; ( J ; 9 ) ⇔ 3 ÄIG + 9 ÄJG = Å0 ⇔ ÄIG + 3 ÄJG = Å0 ⇔ ÄIG + 3ÄJI + 3 ÄIG = Å0
⇔ 4 ÄIG = 3 ÄIJ ⇔ ÄIJ = 4 3 ÄIG .
