Feuille d’Exercices : Calcul de limites

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 3 janvier 2005

Feuille d’Exercices : Calcul de limites

Limites de fonctions

Exercice 1: Calculez lorsqu’elles existent, les limites suivantes :

x→0lim

√x+ 1−√ x²+ 1

x lim

x→+∞

√x+ 5−√ x−3 Exercice 2: Ranger par ordre de n´egligeabilit´e en +∞les fonctions :

f1:x→x²; f2:x→e^x; f3:x→5^x; f4:x→lnx; f5:x→x¹⁰; f6:x→(lnx)¹⁰. Exercice 3: 1. Montrez que ln lnx=o_+∞ lnx

. 2. En d´eduire la valeur de lim

x→+∞

lnx x

1/x

Exercice 4: D´eterminez un ´equivalent au point consid´er´e des fonctions suivantes : 1. x→ln cosxen 0

2. x→ln(1 + sinx) en 0 3. x→e^−x+ sinxen 0 4. x→

√

1 + tan²x−1 tanx

5. x→

√cosx−1 x² en 0 6. x→

x²+ 2x−3 x²−x+ 1

^x

en +∞

7. x→x e^1/x−cos(1/x)

en +∞

8. x→ln(1 + 1/x) en +∞

Exercice^? 5 : 1. Calculez les limites en 0 de

(1 +x)^1/x, (1 +x²)^1/x, (1 +x)^1/x2 2. Soientf, g∈ F(I,R) deux fonctions,a∈I. D´¯ emontrez quee^f ∼_ae^g ⇐⇒ lim

x→a(f−g)(x) = 0.

3. Soientf, g∈ F(I,R) deux fonctions,a∈I. On suppose de plus¯ f >0 au voisinage deaet lim

x→af(x) = 0 ou lim

x→af(x) = +∞.

Montrez quef ∼a g⇒lnf ∼a lng.

4. D´eterminez un ´equivalent en 0 et en +∞de ln(e^x−1).

Exercice 6: 1. D´eterminez un ´equivalent simple de x^1/x−1 au voisinage de +∞.

2. En d´eduire un ´equivalent simple dex^x1/x−x.

Indication : factorisez parx.

Exercice 7: Calculez lorsqu’elles existent les limites suivantes : 1. lim

x→0

sinx−sin 2x x² 2. lim

x→1

e^x2+x−e^2x cosπx/2 3. lim

x→1

√

2−x²−1 lnx 4. lim

x→0

cosx−√ cos 2x sin²x

5. lim

x→π/2(1−sinx) tan²x 6. lim

x→π/3

√3 cosx−sinx x−π/3 7. lim

x→0

tanx(e^x−1) sin³x 8. lim

x→0

e^x−1 +x²+ sin³x

√3

1 +x−1

9. lim

x→+∞

√4x+ 1 ln

1−

√x+ 1 x+ 2

10. lim

x→+∞

ln(lnx)2

−cos⁵x+ lnx 2^x−50x⁶

11. lim

x→+∞

ln(lnx)

−(1/2)^x (1/x)³−(1/3)^x 12. lim

x→0

e^x−1

ln(x+ 1)

√1 +x²−1

1

Limites de suites

Exercice 8: D´eterminez un ´equivalent de la suiteud´efinie ci-dessous et en d´eduire son comportement asymp- totique :

1. un = sin 1/n e^1/n−1 2. un =n−lnn+ 4/n

eⁿ−n² 3. un = sinn+n

3ⁿ+ (−1)ⁿ−n 4. un =(1−cos 1/n) cos 1/n

e^1/n2−1 5. un = (1/2)n²

1−cos

1 n²+ 1

6. un=

2n⁵ 5n+ 3n⁵

ⁿ

7. un=

n²+ 2n+ 8 n²−3n+ 7

ⁿ

8. un=p

2n²+ 3n−p 5n²−1 9. un=

r

2n+n⁵+5 n−

r

n²− 2 3n³ 10. un=n

√n+ 1−√ n−1

√n+ 1 +√ n−1 Exercice 9 : Soit uune suite d´ecroissante de limite 0 telle que un+1+un ∼+∞

1

n. On souhaite d´emontrer qu’en ce casu_n ∼ 1

2n.

1. Posons pour tout entiern∈N,a_n =n(u_n+u_n+1).

(a) Montrez queaest convergente et d´eterminiez sa la limite.

(b) Montrez que que pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2, a_n≤2n u_n≤ n n−1a_n−1. En d´eduire queun∼ 1

2n.

2. D´emontrez que le r´esultat n’est plus vrai si la suiteun’est plus suppos´ee d´ecroissante.

Indication : on pourra consid´erer la suite d´efinie pour tout entiern∈N, parun = 1

2n+(−1)ⁿ

√n .

2

Exercices suppl´ ementaires

Limites de fonctions

Exercice 10 : Donnez un ´equivalent simple au voisinage du point consid´er´e, des fonctions suivantes : Au voisinage de 0

1. f(x) = sinx

2. f(x) = sinxcosxln(1 +x) 3. f(x) =x√

x+ 1−x 4. f(x) = sinx² 5. f(x) = ln(1 + 3x)

Au voisinage de +∞

6. f(x) =x²+x+ 1 7. f(x) =p

x²+ 2x+ 3 8. f(x) = lnx+x 9. f(x) = lnx+ cosx 10. f(x) = x+ 1

x²+ 4x−2

Au voisinage de 0 et +∞

11. f(x) =x+√ x 12. f(x) =e^x+ sinx 13. f(x) =√

x+ 1−√ x 14. f(x) = xe^x−x

ln(1 +x) 15. f(x) = ln(1 +x²)

4x² Exercice 11 : Calculez, lorsqu’elles existent les limites suivantes :

1. lim

x→π/2tanx

1−tanx 2

2. lim

x→+∞

(lnx)⁻²−sinx(1/3)^x x³−√⁴

x 3. lim

x→0

cosx(lnx)⁻²−(1/3)^x x³−√⁴

x 4. lim

x→+∞

ln(lnx)²

−cosx⁵+ lnx 2^x−50x⁶

5. lim

x→+∞(x+ 1) sin 2x

x²+ 3

5. lim

x→1⁺

x^x−x ln(1 +√

x²−1) 6. lim

x→0

(1−e^x) sinx x²+x³ 7. lim

x→+∞

a^1x +b^1x 2

!x

a, b >1 8. lim

x→0

e^cosx−1−1 x²

Limites de suites

Exercice 12 : D´eterminez un ´equivalent de la suite u d´efinie ci-dessous et en d´eduire son comportement asymptotique :

1. u_n =p

n²+ 1 +√ n+n 2. u_n =e^1/n−1 + sin1

n 3. un =aⁿ−bⁿ

aⁿ+bⁿ, o`u a, b >0 4. un =√

n sin 1

lnn

5. u_n = (√

n+ 1) ln

1 + 1

√n

6. u_n=aⁿ ln(n+ 1)−lnn

o`ua >0 7. un=

1 + 1

n n

8. u_n=

1 + 1 n

^nα

o`u α >0 9. un=n² ln(cos1

n) 10. u_n= 1−cos¹_n

eⁿ² −3eⁿ¹ + 2 Lemme.— Si (un) est une suite de r´eels et`un r´eel.

Si lim

n→∞ un+1−un

=`, alors lim

n→∞

un

n =` Exercice 13 : Soit (u_n) la suite d´efinie paru₀∈]0,1[ et pour tout entier naturel n

u_n+1=u_n·(1−u_n) 1. Montrez que la suite (u_n) converge vers 0.

2. Montrez que 1 u_n+1 − 1

u_n = 1 1−u_n. 3. En d´eduire la limite de 1

u_n+1 − 1 u_n.

3

4. Utilisez leLemmepr´ec´edent pour en d´eduire un ´equivalent deun. Exercice 14 : Soit (un) la suite d´efinie paru0∈Ret pour tout entier naturel

un+1=un+e^−un 1. Montrez que la suite (un) est divergente vers +∞.

2. Montrez que pour tout entier natureln∈N,

e^un+1−e^−un=e^un e^e−un−1 3. Utilisez les ´equivalents usuels pour en d´eduire que

n→∞lim e^un+1−e^−un

= 1

4. Utilisez leLemmeci-dessus pour en d´eduire un ´equivalent dee^un, puis un ´equivalent deun. Exercice 15 : Etudiez les suites d´efinies par les relations de r´ecurrences suivantes :

1. ∀n∈N, un+1=un(1 +un).

2. ∀n∈N, u_n+1= 2 + lnu_n. 3. ∀n∈N, u_n+1= sinu_n.

4. u₀>0 et∀n∈N, u_n+1=un+ 3 2u_n .

5. u₀6=−1/2 et∀n∈N, u_n+1=u_n+ 1 +u_n 1 + 2un

. 6. u06= 1 et∀n∈N, un+1= 1

2

1 +u²_n

−1 +un

. 7. 0≤u0≤12 et∀n∈N, un+1=√

12−un. 8. u₀≥ −35/2 et∀n∈N, u_n+1=√

2u_n+ 35.

4