Congruences

Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2010-2011 Exercices sur les Congruences

Exercices 1

[ ] [ ] [ ]

57 42 249

a) Montrer que 34 ≡1 11 ; b) Montrer que 328 ≡4 5 ; c) Montrer que 3147 ≡2 11 Exercice 2

15 134 39 75 9 16 112

Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 des nombres suivants:

48 , 50 , 30 , 486 , 375 ,829 , 780 . Exercice 3

Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 7, et soit 4 1.

1) Montrer que est congru à 1ou1 modulo 3.En déduire que est divisible par 3.

2) En remarquant que p est impair, prouver qu'il existe u n p

p n

= −

−

n entier naturel tel que 2 1 4 ( 1), puis que n est divisible par 16.

3) En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de par 5, démontrer que 5 divise .

k p k k

p n

− = +

Exercice 4

( )

1) Etudier selon les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division par 7 des nombres 2 et 3 . 2) Résoudre alors l'équation 2 3 0 7 , où est un naturel.

n n

x x

+ ≡ x

Exercice 5

Exercice 6

Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2010-2011 Correction

Exercice 1

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

57 57 57

42 42

)34 3 11 1 34 1 11 d'après les propriétés des congruences, on a

si ( ) alors ( ) pour tout entier naturel donc 34 1 11 soit 34 1 11 .

)328 5 65 3 328 3 5 328 3 5 .

On examine les restes de la

p p

a

a b n a b n

b

= × + ⇒ ≡

≡ ≡ ≡ ≡

= × + ⇒ ≡ ⇒ ≡

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

2 2 3 4

42 40 2 2 40 2 4 10

2 4 4 10 2 4 10 42

42 42 42

division des puissance de 3 par 5.

3 3 5 , 3 9 4 5 3 4 5 , 3 2 5 , 3 1 5

donc 3 3 3 3 3 3

3 4 5 , 3 1 5 3 1 5 par produit on a: 3 3 4 1 5 donc 3 1 5 . Finalement, on a 328 3 5 328 1 5 .

Aut

+ ×

×

≡ = = + ⇒ ≡ ≡ ≡

= = × = ×

≡ ≡ ⇒ ≡ × ≡ × ≡

≡ ⇔ ≡

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

2 2 42 2 21 2 21

2 42 21 42 42

249 249

re démarche: 3 4 5 peut s'écrire aussi 3 1 5 et 42 2 21 donc 3 3 3

insi 3 1 5 3 ( 1) 5 3 1 5 donc 3 4 5 .

)3147 11 288 6 3147 6 11 donc 3147 6 11 . On étudie les divisions de 6 par ⁿ

A c

≡ ≡ − = × = × =

≡ − ⇒ ≡ − ⇒ ≡ − ≡

= × + ⇒ ≡ ≡

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ^{( ) [ ] [ ] [ ]}

[ ] [ ]

2 3 4 5 5

49 49

249 5 4 249 249 249

249 249 249

11.

6 6 11 , 6 3 11 , 6 7 11 , 6 9 11 , 6 10 11 qu'on peut écrire aussi:6 1 11

249 5 49 4 6 6 6 soit 6 1 9 11 6 9 11 6 2 11

Car 6 9 11 6 9 11k 9 11k 2 2 11(k 1) 2 donc 6 2 11 .

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ −

= × + ⇒ = × ≡ − × ⇒ ≡ − ⇔ ≡

≡ − ⇔ = − + = − + − + = − + ≡

Exercice2

[ ] [ ]

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ^{[ ] [ ] [ ]}

15 15 134

39 39

39 3 13 3 39 13

48 6 7 6 48 6 7 qu'on peut écrire aussi, 48 1 7

48 1 7 1 7 6 7 ; 50 1 7 50 1 7

30 2 7 30 2 7 :On examine les restes de la division de 2 par 7.

39 3 13 2 2 or 2 8 1 7 d'où 2 1 7 1 7

donc 30

n

donc

∗ = × + ⇒ ≡ ≡ −

≡ − ≡ − ≡ ≡ ⇒ ≡

≡ ⇒ ≡

= × ⇒ = = ≡ ≡ ≡

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ^{( )} [ ]

( ) ( ) ^{[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]}

39 39 39

75 75

3 3 3

25 25 25

75 3 25 3 75 3 75

2 7 30 1 7

486 7 69 3 486 3 7 ; 486 3 7 .

on a 3 6 7 3 1 7 donc 3 1 7

Application: 3 3 3 3 3 7 1 7 1 7 3 6 7 .

n n

×

≡ ⇔ ≡

∗ = × + ⇒ ≡ ≡

≡ ⇔ ≡ − ≡ −

= = ⇒ ≡ ≡ − ≡ − ⇔ ≡

[ ] [ ]

( ) ^{[ ] [ ] [ ] [ ]}

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

[ ] [ ]

16 16

16 15 1 3 5 1 3 5 3 3 16 16

16 16 16

112 112

112 6 18 4

6 4

829 7 118 3 829 3 7 . 829 3 7

3 3 3 3 3 , or 3 6 7 3 1 7 3 1 3 7 3 4 7 .

Donc 829 3 7 829 4 7 .

780 7 11 3 780 3 7 , donc 780 3 7

112 18 6 4 3 3 3 .

3 1 7 et 3 4 7 par produit

+ × +

∗ = × + ⇒ ≡ ≡

= = = × ≡ ⇔ ≡ − ⇒ ≡ − × ⇔ ≡

≡ ⇔ ≡

∗ = × + ⇒ ≡ ≡

= × + ⇒ = ×

≡ ≡ ^{on a: 3112} ≡4 7 et 780

[ ]

[ ]

Exercice 3

[ ]

1) Un entier p quelconque est soit divisible par 3 soit il ne l'est pas.

Donc p s'écrit sous la forme: 3 , 3 1 3 2.

Si p est premier, 3 ne convient pas. Donc 3 1 3 2.

3 1 1 3 , 3

p k p k ou p k

p k p k ou p k

p k p p k

= = + = +

= = + = +

= + ⇔ ≡ = +

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

2

2 3 3 1 3 ' 1 1 3

Conclusion: pour tout 7, on a 1 3 ou 1 3 .

Si 1 3 ou 1 3 , 1 3 1 0 3 donc 0 3 .Donc n est dividible par 3.

2) Si p est impair, il s'écrit sous la forme: 2 1, . 1

k k donc p

p p p

p p on a p p n

p k k

p

= + − = − ≡ −

≥ ≡ ≡ −

≡ ≡ − ≡ ⇔ − ≡ ≡

= + ∈

−

ℕ

( ) ( ) ( )

( )( ) ^{( ) (} ( ⁾ ) ^{( ) ( )}

( )

2

4 2 2 2 2

2 1 1 2 2 2 4 1

1 1 1 4 1 2 1 1 8 1 2 2 1 .

n est un multiple de 8.

1 est le produit de deux entiers consécutifs, l'un d'entre eux est pair, donc divisible par 2.

Donc est divi

k k k k k

n p p p k k k k k k k

k k n

= + − = + = +

= − = − + = + + + = + + +

+

sible par 2 8 16.

3) Un entier p quelconque est soit divisible par 5 soit il ne l'est pas, donc les restes de la division de p par 5 sont: 1,2,3 ou 4.

5 1, 5 2, 5 3, 5 4.

En raisonnant par disjo

p k p k p k p k

× =

= + = + = + = +

( ) ( )( )

( )

( )( )

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

nction, on a:

si 5 1 1 5 5 2 donc 5 divise 1, comme 1 1 5 .

si 5 2 1 5 5 4 1 donc 5 1, soit 5 .

si 5 3 1 25 60 10 5 1, soit 5 .

si 5 4 1 5 5 5 3 5 1, s

p k p k k p n p p n

p k p k k p n

p k p k k p n

p k p k k p

= + ⇒ − = + − = − + ⇒

= + ⇒ + = + + +

= + ⇒ + = + + ⇒ +

= + ⇒ − = + + ⇒ −

|

| |

| |

| oit 5 .

Donc dans tous les cas est divisible par 5.

n n

|

Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2010-2011 Exercice 4

[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ^{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]}

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( ) ^{[ ] [ ]}

[ ] [ ] [ ]

0 2 3

3 3 3 1 3 3 1 3 2

0 2 3 4 5 6

6 6 6

6 1 6 6 2 2 6 6 3 3 6

6 4 4 6

1) 2 1 7 , 2 2 7 , 2 4 7 , 2 1 7

cas général: 2 2 7 1 7 , 2 2 2 7 2 2 7 , 2 4 7 .

3 1 7 , 3 3 7 , 3 2 7 , 3 6 7 , 3 4 7 , 3 5 7 , 3 1 7 .

3 1 7 3 3 7 1 7

3 3 3 3 7 , 3 3 3 2 7 , 3 3 3 6 7 .

3 3 3

k k k k k k

k k

k k k k k k

k k

+ + +

+ + +

+

≡ ≡ ≡ ≡

≡ ≡ ≡ × ⇔ ≡ ≡

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

≡ ⇒ ≡ ≡

= × ≡ = × ≡ = × ≡

= × ≡^{4 7 , 3}

[ ]

[ ]

2) Tout entier naturel peut s'écrire sous la forme 6 avec 0 5.

Tableau des restes de la division de x par 7 ( restes modulo 7)

6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5

2 1 2 4 1 2 4

3 1 3 2 6 4 5

2 3 2 5 6

k k

x x

x x

x x k r r

x k k k k k k

+ = × ≡

= + ≤ ≤

+ + + + +

+

[ ] [ ]

0 6 2

d'où les solutions de l'équation: 2 3 0 7

Le seul cas où l'équation 2 3 0 7 est vérifiée est 6 3 avec .

x x

x x

x k k

+ ≡

+ ≡ = + ∈ℕ

Exercice 5

Exercice 6