Congruences et codage avec un tableur
On se propose d’utiliser le tableur pour construire des tables de multiplication modulo 7 et modulo 26, puis d’utiliser ces tables pour la r´esolution d’´equations. On utilisera ensuite la table ainsi form´ee pour le d´ecodage de certains messages. Pour cela, on utilisera la fonction M OD du tableur : M OD(a;n) donne le reste de la division euclidienne de l’entier a parn.
1. Table de multiplication modulo 7
A B C D E F G H
1 a/b 0 1 2 3 4 5 6
2 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 0 1 2 3 4 5 6
4 2 0 2 4 6 1 3 5
5 3 0 3 6 2 5 1 4
6 4 0 4 1 5 2 6 3
7 5 0 5 3 1 6 4 2
8 6 0 6 5 4 3 2 1
On va construire une table donnant le reste de la division euclidienne de a×b par 7, lorsqueaet bprennent toutes les valeurs possibles des restes de la division par 7.
(a) Entrer les restes possibles pouradans la colonneAet ceux pourbdans la ligne 1.
(b) Pourquoi doit-on ´ecrire dans la celluleB2 la formule suivante ?
=M OD($A2∗B$1; 7)
R´eponse :
(c) Construire alors, par recopie de la formule, la table de multiplication modulo 7.
(d) En d´eduire la r´esolution des ´equations suivantes : 2x≡5 (7) R´eponse :
3x≡6 (7) R´eponse : x2 ≡2 (7) R´eponse : 2. Table de multiplication modulo 26
(a) Construire, sur le mˆeme principe que pr´ec´edemment, la table de multiplication modulo 26.
(b) En d´eduire la r´esolution des ´equations suivantes : x≡1 (26) R´eponse :
10x≡4 (26) R´eponse : x2 ≡5 (26) R´eponse :
3. Codage affine d’un message On affecte `a chaque lettre de l’alphabet un entier compris entre 0 et 25 : on affecte 0 `a A, 1 `a B, ..., 25 `a Z. On note E l’ensemble {0,1,2,...,25}.
On d´efinit un syst`eme de codage de la fa¸con suivante : on chiffre d’abord num´eriquement le message ´ecrit en fran¸cais, puis on utilise le codage suivant : si x appartient `aE, alors on code le nombrex `a l’aide def(x), reste de la division de 3x+ 1 par 26. On termine en ´ecrivant le nouveau message en fran¸cais.
On veut coder `a l’aide du tableur le message : EUCLIDE.
CHAPITRE 1. ARITHM ´ETIQUE 39
(a) Coder la lettre E.
(b) Ecrire EUCLIDE dans les cellules A1 `aG1.
A B C D E F G
1 E U C L I D E
2 4 20 2 11 8 3 4
3 13 9 7 8 25 10 13
(c) La fonction CODE du tableur est telle que CODE(A) = 65, CODE(B) = 66,. . . Quelle formule faut-il entrer en A2 pour chiffrer la lettre E?
R´eponse :
Faire de mˆeme pour les autres lettres.
(d) Coder alors le message chiffr´e dans les cellules A3 `a G3 `a l’aide de la fonction M OD.
(e) La fonction CAR du tableur est telle que CAR(65) = A, CAR(66) = B, . . . Quelle formule doit-on entrer dans les cellulesA4 `aG4 pour obtenir le message cod´e en lettres ?
R´eponse :
(f) Quel est alors le message cod´e ? R´eponse :
4. D´ecodage d’un message cod´e par codage affine
On veut `a pr´esent d´ecoder le messageW BAAV U RGGN Aobtenu `a l’aide du syst`eme de codage pr´esent´e en 3.
(a) A l’aide de la table construite en 2), montrer que :
y≡3x+ 1 (26) ⇐⇒ x≡9y+ 17 (26)
(b) ´Ecrire le message dans les cellules A6 `aK6.
(c) Chiffrer ce message `a la ligne 7, puis le d´ecoder en utilisant le calcul fait en a
`a la ligne 8.
(d) En d´eduire le message initial `a la ligne 9.
(e) D´ecoder `a pr´esent le message :
U BAZD N DG IB U IJD EN IIN M ZIIN KJ LROKN.
