Correction Bac Blanc Fev 2008

Correction Bac Blanc février 2008 Exercice 1

Les points A et B sont sur la courbe de la fonction ( ) ln ( ; ln ) , ( ; ln ), avec a et b réels strictement positif et .

et les projetés orthogonaux respectifs de A et B sur l'axe des ordonn

f x x

A a a B b b a b

Q R

Γ =

<

( )

ées: (0; ln ) , (0; ).

1)a) Equation de la tangente T à en A:

: '( )( ) ( ) 1( ) ln ln 1 .

b) T coupe l'axe des ordonnées au point P d'abscisse 0: 0 ln 1.

donc les coordonnées de

Q a R lnb

T y f a x a f a y x a a y x a

a a

x y a

Γ

= − + ⇔ = − + ⇔ = + −

= ⇔ = −

( ) ( )

P et du vectaur sont: 0; ln 1 ; 0; 1 d'où la distance 1 .

Pour construire la tangente à en A, on place le point Q et P sur l'axe (oy) tel que 1, et on traçe après la droite .

2) Pour

PQ P a PQ

PQ

PQ AP

− −

=

Γ =

( ( ) )

( )

tout couple ( ; ) de réels strictement positifs: ln ln ln .

Pour tout réel 0 ln ln ln ln ln 2 ln

ln 2 ln ln 1ln .

2

3) Soit le point d'abscisse . son ordonnée est ln 1ln

G 2

x y xy x x

m m m m m m m m m m m

m m m m

G ab y ab ab y

= +

> = × ⇔ = × ⇔ = + =

= ⇔ =

= = ⇔

1 1

ln ln

2 . On remarque que c'est l'ordonnée du milieu de [ ].

2

On construit le milieu de [ ], on trace la parallèle à l'axe des abscisses passant , cette droite coupe la courbe en un

G

Q R

G

a b

y y

y QR

G QR G

= +

= +

Γ ₂

2

point ,

la parallèle à l'axe des ordonnées passant par coupe l'axe des abscisses au point . G

G G

Q R

a b

T

racine(ab) G₁

2 3 4 5 6

2

0 1

1

x y

A

B

P

G G₂

Exercice 2

2

1 0

2 1

2

est la suite définie par et avec un réel tel que 1 0.

1) on a 0 donc la suite est croissante.

2)a) est la fonction définie sur par ( ) . est dérivable su

n n n

n n n

u u u u u a a a

u u u u

h h x x x

h

+ +

= + = − < <

− = ≥

= +

ℝ

r comme fonction polynôme et '( ) 2 1. '( ) 0 1. 2 sur l'intervalle ; 1 '( ) 0, donc est décroissante.

2

sur l'intervalle 1; '( ) 0, donc est croissante.

2

d'où le tableau des vari

h x x h x x

h x h

h x h

= + = ⇔ = −

 

−∞ − ≤

 

 

 

− − ∞ ≤

 

 

ℝ

0 0

1 4

1 1 0

2 ations sur ] 1; 0[ '( ) 0

( )

1 1 1

si 1 on a ( ) ( 1) ( ) 0 car h est décroissante.

2 2 4

1 1 1

si 0 on a ( ) (0) ( ) 0 car h est croissante.

2 2 4

donc pour tou

x h x

h x

x h h x h h x

x h h x h h x

−

− −

− − +

 

− < < − − < < − ⇔ − < <

 

 

− < < − < < ⇔ − < <

 

ց ր

2

1 1

0

t réel de ] 1; 0[ on a 1 ( ) 0 soit ( ) ] 1; 0[.

b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n: 1 0.

on a ( )

et 1 0, la propriété est initialisée.

supposons qu

n

n n n n n

h x h x

u

u u u u h u

u a a

+ +

− − < < ∈ −

− < <

= + ⇔ =

= − < <

1

e la propriété est vraie pour un entier n quelconque:

1 1

1 0 1 0.

2 2

1 1 1

1 étant décroissante, on a ( ) ( ) h( 1) 0.

2 2 4

1 1

0 étant croissante, on a ( ) ( )

2 2

n n n

n n n

n n

u u et u

si u h h h u u

si u h h h u

+

− < < ⇔ − < < − − < <

− < < − − < < − ⇔ − < <

− < < − < < ₁

1 1

h(0) 1 0.

4

Donc dans les deux cas, on a 1 0 1 0. La propriété est donc vraie au rang 1, 4

elle est donc vraie pour tout entier naturel . 3) La suite est croissante est majorée, elle

n

n n

u

u u n

n u

+

+ +

⇔ − < <

− < < ⇔ − < < +

1 1

2

est donc convergente.Notons sa limite .

On a lim lim , ( ), et une fonction continue ( c'est une fonction polynôme), vérifie donc l'équation ( ), soit : ainsi on a

n n n n

n n

l

u u l u h u h

l l h l l l l

+ +

→+∞ = →+∞ = =

= + = : l=0 .

Exercice 3

( )

( ) 0

1 (0) 1

1a) d'après le cours on a: lim 0 lim 0 donc par quotient lim ( ) 0 .

1 1

b) Pour tout 0, ( ) 1 .

1 1 1 1 1

ou bien en

x x

x x

x x x

x x x

x x x x x

f x xe si x e

f

xe et e f x

x e x

xe xe x x x

x f x x x

e e e e e

→−∞ →−∞ →−∞

 = ≠

 −

 =



= = =

− + − +  

≠ = − = − = − = + − =  + − 

0 0

partant de l'expression donnée dans l'énoncé, on réduit au même dénominateur on trouve le résultat.

lim 1 lim 1 0, d'où par produit: lim ( ) .

1 2) lim 1, car lim 1 1:

1

x

x x x x

x

x x x

e f x

e

x e

e x

→+∞ →+∞ →+∞

→ →

− = +∞⇒ = = +∞

−

= − =

−

0 0 0

c'est le limite du taux de variation de la fonction .

lim ( ) lim lim 1 (0).

1 1

Donc la fonction est continue en 0.

3a) Pour montrer que pour tout réel on a 1, etudions l

x

x

x

x x

x x x

x

e

xe x

f x e f

e e

f

x e x

→ = → = → × = =

− −

≥ + e signe de la fonction: ( ) 1.

est dérivable comme somme de fonction dérivables sur et: '( ) 1, '(0) 0.

'( ) 0 1 0 0 et '( ) 0 0, d'où le tableau de variation:

0

'( ) 0

( ) 0

x x

x

g x e x

g g x e g

g x e x g x x

x g x

g x

= − −

= − =

≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≥ ⇔ ≥

−∞ + ∞

− +

ℝ

ց

( )( ) ( )

( )

(0) 0 ( ) 0 pour tout réels .

( ) 0 1 0 soit 1 et l'égalité a lieu pour 0.

b) est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables et: '( ) 1

1 soit après si

x x

x x x x x

x

g donc g x x

g x e x e x x

xe e e e xe

f f x

e

= ≥

≥ ⇔ − − ≥ ≥ + =

+ − −

= −

ր

ℝ

( )

( )

( )

1 ( )

mplification '( ) '( ) avec ( ) 1 .

1 1

c) '( ) est du signe de ( ). D'après la question 3a) on a ( ) 0, donc '( ) 0 et est croissante sur . '( )

( ) 0

x x x

x

x x

e e x e g x

f x f x g x e x

e e

f x g x g x f x f

x f x

f x

= − − ⇔ = = − −

− −

≥ ≥

−∞ + ∞

+ + ∞

ℝ

ր

( ) ( )

4a) soit un réel non nul et les points de la courbe : ; ( ) et ' ; ( ) .

( ) 1, ( ) .

1 1 1 1

Le coefficient directeur de la droite ( ') est:

x x

x x

x x x x

M x

x

M

x C M x f x M x f x

xe xe x x

f x e e donc f x

e e e e

y y

M e

e

M m

− −

−

− −

− −

− − −

− = = = × = −

− −

=

× =

− −

− ' '

( ) ( )

2 soit après simplification 1.

2

b) Si on admet que est dérivable en 0,

alors la courbe admet une tangente de coefficient directeur '(0) 1. 2

En effet si 0 d'aprè

M M

f x f x

x x x

m f

C f

x se rapproche de

= − −

−

=

=

( )

s le résultat précédent,

le point se rapproche du point de la courbe de coordonnées 0; (0) 1 et le coefficient directeur de la tangente en 0 est '(0) 1.

2 Re : l'équation de la droite ( '

M f

x f m

marque d MM

=

= = =

= 1

) est de la forme

2 si 0 on a (0;1) et (0;1) : On a donc 1

Donc la droite devient la tangente à la courbe en 0 et son équation est : 1 1 2

y mx b x b

x M d M C b

d C x y x

= + = +

= ∈ ∈ =

= = +

Exercice 4

3

, , ont pour affixes repectives: 2 3, 3 3 , 2 . 1a) 3 3 12 2 3. soit arg( ) (2 ).

3 1 3 3

cos et sin (2 ). d'où la forme exponentielle de : 2 3 .

2 2 3

2 3 2 3

b) Construction de B On t

i

A B C a b i c i

b i b

donc b b e

π

θ π

θ θ θ π π ⁻

= − = − =

= − = = =

= = = − = − = − =

( )

( ) ^{( )}

race la demi droite [OB) telle que ; (2 ), 3

le cercle de centre passant par coupe cette demi droite en car 2 3 2 3 .

c) ; arg _{B A} (2 ). _{AB B A} 3 3 2 3 3 3 3 .

AB

u OB

O A B a b OA OB

u AB z z z z z i i

z

π π π

= −

= = ⇔ = =

= − = − = − + = −

=

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

3 1

6 6 cos sin . On en déduit que ; arg (2 ) .

2 2 6 6 6

; arg (2 ). 2 2 3 2 3 2 .

3 1

2 3 2 4 cos sin

2 2 6 6

B A

C A AC C A AC

AC

i i u AB z z

u AC z z z z z i z i

z i i i

π π π π

π

π π

      

− = − + − = − = −

      

      

 

= − = − = + ⇔ = +

   

= + =  + =  +

( )

. d'où: ; (2 ) . u AC π π6

  

  =

 

 

 

3 3

2) Soit et les points d'affixes respectives: , 3 .

2 2

a) Les points , et sont alignès si les affixes des vecteurs et sont proportionnelles.

3 3 3 3 3

2 2 2 3 2 2

E A

AE

E F e i f i

A E C AE AC

z z z i

= − + = − −

= − = − + + = +

( )

( )

3 3 .

2

2 2 3 2 3 . on a donc 3 .

4 Les points , et sont alignès.

b) De même: 3 3 3 et 3 . donc 3 , et sont alignès

AE

C A

AC AC AE AC

AB AF AB AF

i z i

z z z i z i z z

A E C

z i z i z z A F B

⇒ = +

= − = + ⇒ = + =

= − = − = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.

3 3

2 3 1

2 2

3a) soit après simplification: avec 0.

3 3 3 3 9 3 3 3 3

3 3

2 2

arg arg (2 )

3 3 2

arg arg arg ; ; ; ;

i i

e c i e c i

ki k

e b i e b

i i

e c i

e b

e c e c e b u CE u BE BE u u CE B

e b

π π

− + −

− = = − − − = = = >

− − + − + − + −

−

 

= =

 − 

 

−

 

= − − − = − = + =

 − 

 

( )

( )

; (2 ).

Donc ; (2 ) , Le triangle est rectangle en , comme ( ), 2

il est alors le pied de la hauteur issue de B dans le triangle . de même le quotient: 3

E CE

BE CE EB EC EBC E E AC

ABC

f c i

f b

π π π

= ⊥ ∈

− = − −

−

( )

( ( ) )

2 3 3 3

.soit après simplification .

3 3 3 2 3 2 2

Le même raisonnement donne: arg ; (2 ) .

2 et comme est sur ( ) puis que F AB , Le triangle est rectang

i i f c

f b i

i i i

f c

BF CF f b

FB FC F AB

FBC

π π

− = − − − =

− − − + − + −

 − = =

 − 

 

⊥ ∈

( )

le en . est donc le pied de la hauteur issue de C dans le triangle . ) Voir figure.

3) On désigne par la similitude indirecte dont l'écriture complexe est: ' 1 3.

2

1 1

( ) ' ' 3 2 3 3

2 2

A A

F F ABC

c

S z z

S A A z z

= −

= ⇔ = − = − −

( ) ^{( )}

( ) ( )

( ) ( )

soit ' 2 3 . donc ( ) .

1 1 3 1

( ) ' ' 3 3 3 3 ' . donc .

2 2 2 2

1 1

( ) ' ' 3 2 3 3 ' . donc .

2 2

4) Soit le point d'intersection des droites et , est donc

A A

B B B E

C C C F

z z S A A

S B B z z i z i z S B E

S C C z z i i z z S C F

H BE CF H

= − = =

= ⇔ = − = + − ⇔ = − − = =

= ⇔ = − = − − = − − ⇔ = =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

l'ortocentre du triangle puisque et sont des hauteurs de ce triangle.

' est l'orthocentre du triangle .

ABC

BE CF

S H =H AEF

Figure

Annexe 2

2 3 4 5

-1 -2

-3 -4

-5

2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

A

C

B E

F

H

H'