Correction Bac Blanc 2016 Exercice 1
1) u1=100×0,88+15=103
2) Soit n un entier. Pour calculer un+1, comme le nombre d'enfants diminue chaque semaine de 12%, il faut multiplier un par 1−0,12=0,88 . De plus, 12 nouveaux enfants s'inscrivent, d'où un+1=0,88un+12 .
3) Pour tout entier n,
an+1=un+1−125=0,88un+15−125=0,88un−110=0,88(un−0,88110)=0,88un−125=0,88an
donc (an) est une suite géométrique de premier terme a0=u0−125=100−125=−25 et de raison q=0,88 .
4) (an) étant une suite géométrique, pour tout entier n, an=a0×qn=−25×0,88n. Pour tout entier n, an=un−125 donc un=an+125=−25×0,88n+125 .
5) 0 < 0,88 < 1 donc lim
n→+∞0,88n=0 puis lim
n→+∞−25×0,88n=0 puis lim
n→+∞
(un)=125 . Au bout d'un très grand nombre de semaines, le nombre d'enfants inscrit au centre se stabilisera à 125.
6) Méthode 1 : A l'aide d'un algorithme Début algorithme
U prend la valeur 100 N prend la valeur 0 Tant que U < 123
U prend la valeur U × 0,88 +12 N prend la valeur N+1
Fin tant que Afficher N Fin algorithme
En le programmant sur sa calculatrice, on trouve N=20.
Méthode 2 : En utilisant le menu Table de la calculatrice .
On tape dans Y1 : 125-25*0,88^X et on trouve u19≈122,79 et u20≈123,06
Conclusion : Après 20 semaines, le nombre d'enfants inscrits à la piscine dépassera 123.
Exercice 2
Plan d'étude : Il faut comparer la valeur moyenne de chaque entreprise, pour cela :
• on détermine l'expression de la fonction bénéfice b pour l'entreprise Somy
• on détermine une primitive de cette fonction bénéfice
• on calcule la valeur moyenne m1 de b sur [3;15]
• on détermine une primitive de f
• on calcule la valeur moyenne m2 de f sur [2;12].
Entreprise Somy :
Soit b la fonction qui à tout réel x de [3;15] associe le bénéfice réalisé pour x lecteurs vendu.
Soit x ∈ [3 ; 15].
Chaque lecteur rapporte 40€ donc lorsqu'on vend x centaines de lecteur, l’entreprise reçoit 40×100x €.
Bénéfice=recette-cout, d'où b(x)=4000x−200x2−400x−9000=−200x2+3600x−9000 .
b est continue sur [3;15] donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Soit B l'une d'entre elles.
Pour x ∈ [3 ; 15], B(x)=−200
3 x3+3600
2 x2−9000x=−200
3 x3+1800x2−9000x . B(15)=−200
3 ×153+1800×152−9000×15=45000 et B(3)=−200
3 ×33+1800×32−9000×3=−12600 Soit m1 la valeur moyenne de b sur [3;15].
m1= 1 15−3∫
3 15
b(x)dx= 1
12(B(15)−B(3))= 1
12(45000+12600)=4800 .
L’entreprise Somy réalise un bénéfice moyen de 4 800€ sur sa quantité produite.
Entreprise Phollips :
f est continue sur [2;12] donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Soit F l'une d'entre elles.
Pour x ∈ [2 ; 12], F(x)=e0,9x. F(12)=e12×0,9=e10,8 et F(2)=e0,9×2=e1,8 Soit m2 la valeur moyenne de f sur [3;15].
m2= 1 12−2∫
2 12
f(x)dx= 1
10(F(12)−F(2))= 1
10(e10,8−e1,8)≈4901 .
L’entreprise Phollips réalise un bénéfice moyen d'environ 4 901€ sur sa quantité produite.
Conclusion :
L’entreprise Phollips réalise le meilleur bénéfice moyen sur quantité produite.
Exercice 3
1) Réponse c) exp(2x−6)=e2x−6=e2(x−3)=(ex−3)2 2) Réponse c) ∫
2 5
f(x)dx =∫
0 5
f (x)dx-∫
0 2
f(x)dx = 1,9+0,9=2,8 Exercice 4
Partie A
1) f (1)=5 ; f '(−12) = 0 et f '(1)=yxBB−−xyAA
=2−5 0−1=3 2) a) f est dérivable sur ℝ et pour tout réel x :
f '(x)=2×ex−1+(2x−1)×ex−1=(2+2x−1)ex−1=(2x+1)ex−1 b) 2x+1=0 ; x=−1
2
x –∞ –0,5 +∞
2x+1 – 0 +
ex−1 + ⋮ +
f '(x) – 0 +
x –∞ –0,5 +∞
f '(x) – 0 +
f
–2 e–1,5+4 f (−0,5)≈3,55
c) f (1)=5 et f (2)=3 e+4≈12,1
f est continue et strictement croissante sur [1;2]. de plus, 6 ∈ [5;f(2)], donc l'équation
f (x)=6 admet une unique solution sur [1 ; 2].
Avec la calculatrice, 1,2 < < 1,3 ;1,26 < < 1,27 ; 1,266 < < 1,267; 1,2662 < < 1,2663
≈ 1,266 Partie B
1) Pour montrer que F est une primitive de f, on montre que F'=f.
F est dérivable sur ℝ et pour tout réel x :
F'(x)=2×ex−1+(2x−3)×ex−1+4=(2+2x−3)ex−1+4=f (x). Donc F est une primitive de f sur ℝ.
2) f (0)=−1 e−1+4≈3,6 et f strictement croissante sur [0;1] donc f est positive sur [0;1]
donc = ∫
0 1
f (x)dx = F(1) – F(0) = 3−(−3e−1)=3+3 e−1≈4,1
