Solution de la question 125

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M ENTION

Solution de la question 125

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 5 (1846), p. 533-534

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SOLUTION DE LA QUESTION 125 (p. 376).

P A R M. M E N T I O N , Élève en spéciales.

Soient les équations de deux ellipses rapportées aux mêmes axes :

(ax + by)%+ [alx + V/f= c* ; (ax

Les aires des ellipses sont égales, et si les axes sont rectan- gulaires , les ellipses sont égales. (Jacobij

II faut prouver que les produits des axes sont égaux.

— 534 —

Les équations peuvent se mettre sous la forme :

(b* + V V+%xy{ab + a'V) + (a'+aT)x* — c* = 0, (a'*+b")y + 1xy(ad + bb') + (a'+ V)x?—c* = 0.

D'après les relations d'identité (p. 489,1.1), on a pour le carré du premier produit :

4I/sin'r , , 4 I / s i n r

> e t pour le second, ,3— (y angle des axes,

m = B1 — 4 A C , L = AEa — B D E + CDa + F (B2 — 4AC>

l'équation de la courbe étant

kf +

Bxy + C^

+ Dr + Ex + F = 0).

Or, Y = Y' : donc il faut faire voir que L = L' -, m = m'.

/?i et L ne variant pas avec l'origine (observation 1.1, p. 489), nous pouvons tirer leurs valeurs des équations ac- tuelles, où D = 0 ; E = 0.

m = 4(a⁹tf + 2aa'bb'+ a%") — 4(^²Z;² + arb"-\- cfV + b'— a*bn —ahb*) = — 4(a&'— ^a')a ;

^ " ) — 4(a Va + ûa6'a + Va"

Ainsi w = m'.

Mais L = — c'/n. ; L== — cW; donc aussi L = L ' Si Y = 90°, je dis que les ellipses sont égales.

Les conditions d'égalité de deux coniques sont (t. I, p. 493) si//i = /«',

]\3L'sin^Y"=]V8Lsin4Y, ou puisque L=L', sinv=sinY', N = K^f, mais N = A + C—BCOSY (voir notation p. 489)

= A + C, puisque Y = 90°, N' = A'+C'.

Vériflons donc si A -f C = A' + C' ; en effet,

A + C = b7 + //'+ a* + a" ... Af-f C' = a" + bn +-a + V

l>onc. . c q f. il