Domin Foata

Domin Foata

J

TABLE DEs MArrÈnps

Préface

Préface de la première édition Liste

des

symboles utilisés

CHeprtnn

PRBlttnR. Le langage

des

probabilités ...

Un exemple. Le

triplet

fondamental. Suites infinies d'évènements' Compléments et exercices.

Csepttnp 2. ^Les

^évènements

Les algèbres. Les

tribus.

Les systèmes

de Dynkin'

^{Les classes}

monotones. Compléments et exercices.

Csaptrnp 3.

^Espaces

probabilisés

Probabilités. Propriétés. Formule ^de Poincaré et inégalité de Boole.

.{.utres propriétés. Identités binomiales. Compléments et ^exercices'

CH-rpirnn

4. Probabilités discrètes. Dénombrements

Probabilités discrètes. Équirépartition

sur

les espaces

finis.

En- sembles finis. Formules classiques de dénombrement. Le principe de réflexion. Compléments et exercices (probième des rencontres, -e chevalier de Méré. boules et urnes).

Cs-rprrnp

5. Variables aléatoires

-\pplication

réciproque. Fonctions mesurables. Variables aléa- :r:!ires.

Loi de

probabilité d'une variable aléatoire. Fonction ^de

:épartition

d'une variable aléatoire réelle.

La

fonction de ^masse

=: ^1es discontinuités ^de la fonction ^de répartition.

Tlibu

engendrée par une variable aléatoire. Compléments et exercices.

Cn-r.prrnn

6. Probabilités conditionnelles. Indépendance ...

'

Probabilité conditionnelie. ^Systèmes compiets d'évènements' Pro- ':abilités déflnies par des probabilités conditionnelles' Evènements

ldépendants.

Indépendance

de

classes d'évènements' Variables :-éatoires indépendantes. Compléments

et

exercices (tirages avec

::

sans remiSe).

Ca-rpirnn

7. Variables aléatoires discrètes. Lois usuelles

_'

'.... '

⁶⁷

\

ariables aléatoires discrètes.

La loi

binomiale.

La loi

hyper- :éométrique.

La loi

géométrique.

La loi de

Poisson. Complé-

:rerts et

exercices (problème des boîtes d'allumettes de Banach, :r,:ssonisation, le paradoxe de I'inspection).

25

43

dJIt

vl

TABLE DES MATIERtrS

Culptrnp 8. ^Espérance mathématique. Valeurs typiques...

⁷⁹

Tbansformation

de

variables aléatoires. Indépendance. Convo-

lution

des lois de probabilité discrètes. Espérance mathématique.

Moments. Covariance. Le coefficient de corrélation linéaire. L'iné- galité de Tchebychev. Les inégalités relatives aux moments dans

le

cas

frni.

Médiane,

écart

moyen

minimum.

Compléments et exercices.

Cueptrnp 9. Fonctions génératrices

Définitions. Propriétés. Sommes de variables aléatoires. Le théo- rème de continuité. Compléments et exercices.

CHept:rnp

10. Mesures de Stieltjes,Lebesgue. Intégrale

des

variables aléatoires

réelles

Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur

la

droite. Mesure de

probabilité

induite par

une fonction de

répartition.

Mesures de Stieltjes-Lebesgue

sur IR'.

Variables aléatoires réelles. Intégrale d'une variable aléatoire réelle par rapport à une mesure. Exemples.

Propriétés de I'intégrale. Théorèmes de convergence. Compléments et exercices (comment probabiliser I'ensemble des suites infinies du jeu de <pile> ou <facell).

Csaptrnp 11. Espérance mathématique. Lois absolument continues

Espérance mathématique d'une variable aléatoire. Mesures de pro- babilité produit et théorème de Fubini. Intégrale de Lebesgue. Lois de probabilité absolument continues. Les trois types de fonctions de répartition. Convolution. Compléments et exercices.

Cuapttnp 12. Variables aléatoires à deux dimensions;

espérance

conditionnelle. Lois normales

Définitions et premières propriétés. Loi de probabilité absolument continue, densité de probabilité. Loi de probabilité conditionnelle, espérance mathématique conditionnelle, régression. Règles de cal-

cul

concernant les espérances conditionnelles.

La loi

normale à deux dimensions. Compléments et exercices.

CHaptrnp

13. Fonction génératrice

des moments _I

fonction caractéristique

Introduction. Propriétés élémentaires. Moments. Fonction carac- téristique. Seconde fonction caractéristique. Fonction génératrice

d'un

vecteur aléatoire. Propriété fondamentale. Compléments et exercices.

99

113

129

747

159

TABLE DES MATIÈRES

CH.q.prrnn

14. Les principales lois de probabilité

(absolument continues) ..

^I77

La loi uniforme sur [0,1]. La loi uniforme sur fa,b]. La loi normale ou de Laplace-Gauss, La loi Log-normale. La loi exponentielle. La première

loi

de Laplace.

La loi

de Cauchy'

La loi

gamma.

La

loi bêta. Les lois arcsiuus. Compléments et exercices'

CH.qpirne

15. Lois de probabilité de fonctions

de

variables aléatoires

¹⁹⁵

Cas

à

une dimension. Cas

à

deux dimensions.

Loi

de probabi-

iité

d'une fonction de deux variables aléatoires. Compléments ^et erercices.

Cs-.rprrnn

16.

Convergences

stochastiques

²⁰⁵

Convergence en

loi

ou convergence étroite. Convergence en pro-

rabilité.

Convergence en moyenne

d'ordre r > 0.

Convergence

rresque sûre.

Comparaison

des divers types de

convergence.

couvergence en loi de variables aléatoires à valeurs entières et ab- s,:lument continues. Convergence étroite

et

convergence ^presque sure.

La

convergence

ett loi d'un point de vue

fonctionnel' Le :héorème de Paul Lévy. Compléments et ^exercices'

CH,r,pirnn

17. Loi

des

grands nombres

²²⁵

La loi faible des grands nombres. La loi forte des grands nombres.

Les lenmes de Borel-Cantelli. Compléments et exercices.

Ca,rptrnn

18. Le rôle central de la loi normale;

le théorème ^((central limitrr

²³⁷

-{perçu historique.

Le

théorème <central

limitrr' Le

théorème rentral

limit r et la

formule de

Stirling'

Le théorème de Linde- : erg. Le théorème de Liapounov. Compiéments et exercices'

CH.rptrnp

19. La loi du logarithme itéré

²⁵¹

\otations et

lemmes préliminaires'

Loi

forte des grands nombres

::

^théorème

^de

Hardy-Littlewood.

La loi ^du

logarithme itéré.

Cornpléments et exercices.

C'u.rptrnp

20. Applications

des

probabilités : ^problèmes

résolus

Le

problème

des

rencontres

revisité. Un

^problème

^de

^temps

i'atteinte.

Acheminement du courrier par voie hiérarchique' trtac-

::.:ns

continues.

Une application de la formule de

Bernstein' I

e

modèle

de la

diffusion d'Ehrenfest. Vecteurs uniformément :épartis

sur la

sphère-unité de

R'. IJn

problème de probabilité

=.ométrique. Simulation

par la

méthode

du rejet.

Mesure ^des :--'lrlbres réels bien approchables. Lois ^stables.

vlt

273

Dominique Foata Jacques Franchi

Aimé Fuchs

Dominique Foata Professeur de mathématiques à I'Université de Strasbourg

Jacques Franchi Professeur de mathématiques à I'Université de Strasbourg

Aimé Fuchs Ancien professeur de mathématiques à I'Université de Strasbourg

Calcul des probabilités

Cours, exercices

et problèmes corrigés

Ce cours de probabilités s'adresse à tout étudiant

en

Licence 3 et au-delà. ll sera particulièrement utile aux étudiants préparant

les

concours de I'enseignement.

Cette troisième édition se voit enrichie de nouveaux exercices et davantage de solutions détaillées. De nou- velles applications des probabilités font également leur apparition : la simulation, I'approximation rationnelle

des

nombres réels et l'étude des lois

stables.

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fsBN 978-2-1 0-057424-7

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