Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Chapitre 5
L’ensemble R des nombres réels
Table des matières
1 Définition géométrique de l’ensembleRdes nombres réels 3
2 Relation d’ordre≤ 4
3 Compatibilité de la relation d’ordre≤avec les opérations 5
4 Valeur absolue 9
5 Propriété archimédienne deR 12
6 Partie majorée (resp. minorée, resp. bornée) deR 13
7 Maximum (resp. minimum) d’une partie deR 14
8 Borne supérieure (resp. borne inférieure) d’une partie deR 15
9 Partie entière d’un nombre réel 18
10 Intervalles deR 20
1 Définition géométrique de l’ensemble R des nombres réels
Droite graduée
SoitDune droite munie d’un repèreR=(O;→− i ).
O −→
i D
On choisit||−→
i ||(norme de→−
i ) comme unité de mesure. On a donc||→−
i || =1. La droiteDest ainsi équipée d’une graduation et d’une orientation.
O −→ D
• • • • • • i • • • • • • • •
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Coordonnée d’un point de la droiteD
SoitMun point deD. Alors il existe un unique « nombre » notéxMtel que−−→
OM=xM−→ i .
• SiMest situé à droite deO, alorsxMest égal à la longueurOM, exprimée dans l’unité de longueur||→− i||.
• SiMest situé à gauche deO, alorsxest égal à l’opposé de la longueurOM, exprimée dans l’unité de longueur||−→
i ||.
Ce « nombre » xMest appelé coordonnée deMdans le repèreR. Nombre réel et ensembleRdes nombres réels
On appelle nombre réel tout « nombre » qui est la coordonnée d’un point deD. L’ensemble des nombre réels est notéR.
Identification entre un pointMdeDet sa coordonnéexM
Dans la suite, on identifiera toujours un point de la droiteDet sa coordonnée. Donc, siMest un point de la droiteDde coordonnéexM∈R, alors on ne distinguera pasMetxM. L’ensemble des nombres réels sera alors identifié à la droiteD, c’est pourquoi on parle parfois de la droite des réels.
2 Relation d’ordre ≤
Définition 1(Définition géométrique de la relation d’ordre≤).
Soit (a,b)∈R2.
1. On dit queaest strictement inférieur àb, et on notea<b, si le pointaest placé à gauche debsur la droiteD.
2. On dit queaest inférieur ou égal àbsia<boua=b.
Exercice d’application 1.
Soit (a,b)∈R2tels quea<b. Justifier géométriquement l’assertion :−b< −a.
Théorème 1(Propriétés fondamentales de la relation d’ordre≤).
1. Réflexivité
∀a∈R, a≤a 2. Antisymétrie
∀(a,b)∈R2, (a≤betb≤a)⇒ a=b.
3. Transitivité
∀(a,b;c)∈R3, (a≤betb≤c)⇒a≤c.
Démonstration. Ces propriétés découlent directement de la définition géométrique de la relation d’ordre≤sur R(cf. Définition 1).
3 Compatibilité de la relation d’ordre ≤ avec les opérations
Théorème 2(Relation d’ordre≤et opérations dansR).
1. Ajout d’un nombre à chacun des membres d’une inégalité (a) ∀(a,b,c)∈R3, a≤b =⇒ a+c≤b+c
(b) ∀(a,b,c)∈R3, a<b =⇒ a+c<b+c
2. Multiplication de chaque membre d’une inégalité d’un nombre positif (a) ∀(a,b,c)∈R×R×R≥0, a≤b =⇒ ac≤bc
(b) ∀(a,b,c)∈R×R×R>0, a<b =⇒ ac<bc
3. Multiplication de chaque membre d’une inégalité d’un nombre négatif (a) ∀(a,b,c)∈R×R×R≤0, a≤b =⇒bc≤ac
(b) ∀(a,b,c)∈R×R×R<0, a<b =⇒bc<ac Démonstration. Cf. Prise de notes.
Exercice d’application 2(Signe d’un produit).
Soit (a,b)∈R2. Compléter le tableau suivant afin de donner le signe du produitab, en fonction des signes dea etb.
a≥0 a≤0 a>0 a<0 b≥0
b≤0
b>0
b<0
Théorème 3(Sens de variation de quelques fonctions usuelles).
1. Soit (a,b)∈R∗×R. La fonction affine
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ ax+b
est strictement croissante (resp. strictement décroissante) surR, sia>0 (resp. sia<0).
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1 1 2 3
0
Cf Cas oùa>0
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1 1 2 3
0
Cf Cas oùa<0
2. La fonction carrée
¯
¯
¯
¯
g : R → R
x 7→ x2
est strictement croissante (resp. strictement décroissante) surR≥0(resp. surR≤0).
−3 −2 −1 1 2 3
−1 1 2 3 4 5 6
0
Cg
3. La fonction racine carrée
¯
¯
¯
¯
h : R≥0 → R x 7→ p
x est strictement croissante surR≥0.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1 1 2 3 4
0
Ch
4. La fonction inverse
¯
¯
¯
¯
¯
i : R∗ → R x 7→ 1 x
est strictement décroissante surR<0et strictement décroissante surR>0(mais pas strictement décrois- sante surR∗).
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
0
Ci
5. La fonction logarithme népérien
¯
¯
¯
¯
ln : R>0 → R x 7→ ln(x) est strictement croissante surR>0.
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
Cln
6. La fonction exponentielle
¯
¯
¯
¯
exp : R → R
x 7→ ex est strictement croissante surR.
1 2 3 4 5 6
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
Cexp
Démonstration. Les propriétés 5 et 6 portant sur ln et exp sont admises. On démontre les propriétés 1–4 en s’appuyant uniquement sur les propriétés de compatibilité entre la relation d’ordre≤et les opérations surR(cf.
Théorème 2). Le recours au calcul différentiel n’est pas très pertinent (car coûteux à établir) pour les fonctions élémentaires considérées ici. Cf. prise de notes pour les détails.
Exercice d’application 3.
1. Soientaun réel tel que−1≤a≤2. Donner un encadrement de 1 a+5. 2. Soientaun réel tel que 3≤a≤23. Donner un encadrement dep
55−2a.
Théorème 4(Addition de deux inégalités).
1. ∀(a1,b1,a2,b2)∈R4, (a1≤b1eta2≤b2)=⇒ a1+a2≤b1+b2
2. ∀(a1,b1,a2,b2)∈R4, (a1<b1eta2<b2)=⇒ a1+a2<b1+b2
Démonstration. Ces propriétés se déduisent des propriétés de compatibilité entre la relation d’ordre≤et les opérations surR(cf. Théorème 2) et de la propriété de transitivité de la relation d’ordre≤(cf. Théorème 1). Cf.
prise de notes pour les détails.
Exercice d’application 4.
Soit (x,y)∈R2tels que 1≤x≤4 et−1≤y≤5. Donner un encadrement dex−y.
Théorème 5(Multiplication de deux inégalités mettant en jeu des termes positifs).
1. ∀(a1,b1,a2,b2)∈R4, (0≤a1≤b1et 0≤a2≤b2)=⇒ 0≤a1a2≤b1b2
2. ∀(a1,b1,a2,b2)∈R4, (0<a1<b1et 0<a2<b2)=⇒ 0<a1a2<b1b2
Démonstration. Analogue à celle du Théorème 4.
Exercice d’application 5. Soit (x,y)∈R2tels que 2≤x≤5 et 4≤y≤9. Donner un encadrement dex y.
4 Valeur absolue
Définition 2(Valeur absolue d’un réel et fonction valeur absolue).
Soitx∈R. La valeur absolue dexest le nombre réel noté|x|défini par :
|x| =
½ x six≥0
−x six<0.
La fonction valeur absolue est définie par
¯
¯
¯
¯
| · | : R → R x 7→ |x|.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
0
C|·|
Exercice d’application 6.
Calculer|0|,|4|et| −5|.
Théorème 6(Définition alternative de la valeur absolue).
Soitx∈R. Alors
|x| =max(−x,x).
Démonstration. On démontre ce théorème en scindant l’étude en deux parties, suivant le signe du réelx. Ce scindage est naturel, compte tenu de la définition de|x|donnée précédemment (cf. Définition 2). Cf. prise de notes pour les détails.
Remarque 1(Interprétation géométrique de|a−b|comme distance entre deux points, où (a,b)∈R2).
Soit (a,b)∈R2. Alors la distance entreaetb(vus comme point de la droite réelleD) est égale à|a−b|.
O −→ D
• • • • • • i • • • • • • • •
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
a b
|a−b|
Propriété 1(Valeur absolue, fonction carrée et fonction racine carrée).
∀x∈R, p x2= |x|.
Démonstration.
À nouveau, on scinde l’étude en deux parties suivant le signe du réelx. Cf. prise de notes pour les détails.
Théorème 7(Propriétés de la valeur absolue).
1. Valeur absolue d’un réel vs. valeur absolue de son opposé
∀x∈R, | −x| = |x|
2. Signe de la valeur absolue
∀x∈R, |x| ≥0 3. Séparation
∀x∈R, |x| =0⇐⇒ x=0 4. Multiplicativité
∀(x,y)∈R2, |x y| = |x||y|
5. Ordre entre un nombre et sa valeur absolue
∀x∈R, x≤ |x|
6. Inégalité triangulaire
∀(x,y)∈R2, ||x| − |y|| ≤ |x+y| ≤ |x| + |y| Démonstration. Cf. Prise de notes.
Remarque 2.
La propriété 1 du Théorème 7 a pour conséquence
|a−b| = |b−a|
pour tout (a,b)∈R2, ce qui est cohérent avec l’interprétation géométrique (cf. distance entre deux points) de la remarque 1.
Propriété 2(Cas d’égalité dans l’inégalité de droite de l’inégalité triangulaire).
Soit (x,y)∈R2.
|x+y| = |x| + |y| ⇐⇒
x≥0 et y≥0 ou
x≤0 et y≤0 Démonstration. Cf. Prise de notes.
Théorème 8(Inégalité mettant en jeu une valeur absolue).
1. ∀r∈R≥0, ∀x∈R, |x| ≤r ⇐⇒ −r≤x≤r 2. ∀r∈R>0, ∀x∈R, |x| <r ⇐⇒ −r<x<r Démonstration. Cf. Prise de notes.
Remarque 3(Arguments géométriques pour les propriétés énoncées dans le théorème 8).
1. Soientr∈R≥0etx∈R.
|x| ≤r ⇐⇒ |x−0| ≤r
⇐⇒ la distance entre 0 etxest inférieure ou égale àr £
cf. remarque 1¤
O −→ D
• • • • • • i • • • • • • • •
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−r r
r r
]
[
D’après le schéma précédent
|x| ≤r ⇐⇒ x∈[−r,r]
⇐⇒ −r≤x≤r 2. Soientr∈R>0etx∈R.
|x| <r ⇐⇒ |x−0| <r
⇐⇒ la distance entre 0 etxest strictement inférieure àr £
cf. remarque 1¤
O −→ D
• • • • • • i • • • • • • • •
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−r r
r r
[ ]
D’après le schéma précédent
|x| <r ⇐⇒ x∈]−r,r[
⇐⇒ −r<x<r
Exercice d’application 7.
Soient (x,y)∈R2tels que :
−1≤x≤2 et −2≤y≤1.
1. Majorer|x|et|y|. En déduire que|x+y| ≤4, grâce à l’inégalité triangulaire.
2. Démontrer que l’on a en fait une meilleure majoration de|x+y|, à savoir que|x+y| ≤3.
3. Commenter.
5 Propriété archimédienne de R
L’ensembleRdes nombres réels contient l’ensembleZdes entiers relatifs. Une propriété fondamentale lie ces deux ensembles et la relation d’ordre≤surR; la propriété d’Archimède que nous énonçons ci-dessous.
Propriété 3(Propriété d’Archimède).
∀a∈R, ∃n∈Z, a≤n.
En d’autres termes, étant donné un réel, on peut toujours trouver un entier relatif qui lui est supérieur.
O −→ D
• • • • • • i • • • • • • • •
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
n
Comme on l’a illustré sur le schéma précédent si on trouve un entier relatifnplus grand qu’un réelxdonné, alors tout entier relatif supérieur ou égal ànest également plus grand quex.
Remarque 4.
1. La propriété d’Archiméde est l’un des axiomes de l’ensembleRdes nombres réels ; nous ne la démon- trons pas.
2. Nous verrons plus tard que la propriété d’Archimède est utile pour construire la partie entière d’un nombre réelx. Elle permet aussi de démontrer le résultat de l’exercice d’application suivant qui, comme nous le verrons plus tard, signifie formellement
1 n n→
→+∞0.
Exercice d’application 8(la suite (n1)n∈N∗converge vers 0).
Démontrer la propriété
∀ε∈R>0, ∃N∈N, ∀n∈N∗, n≥N=⇒
¯
¯
¯
¯ 1 n−0
¯
¯
¯
¯≤ε.
6 Partie majorée (resp. minorée, resp. bornée) de R
Définition 3(Majorant d’une partie deRet partie majorée deR).
SoitAune partie deR.
1. Un réelMest appelé majorant deAsi
∀a∈A, a≤M.
En d’autres termes,Mest un majorant deAs’il est supérieur ou égal à tous les éléments deA.
2. La partieAest dite majorée si
∃M∈R, ∀a∈A, a≤M.
En d’autres termes, la partieAest majorée si elle admet un majorant.
Définition 4(Minorant d’une partie deRet partie minorée deR).
SoitAune partie deR.
1. Un réelmest appelé minorant deAsi
∀a∈A, m≤a.
En d’autres termes,mest un minorant deAs’il est inférieur ou égal à tous les éléments deA.
2. La partieAest dite minorée si
∃m∈R, ∀a∈A, m≤a.
En d’autres termes, la partieAest minorée si elle admet un minorant.
Définition 5(Partie bornée deR).
Une partie deRest dite bornée si elle est majorée et minorée.
Exercice d’application 9.
1. Montrer que la partie
A=©
x2:x∈Rª
deRest minorée et non majorée. On en donnera plusieurs minorants.
2. Montrer que la partie
B=
½n−1 n+1 :n∈N
¾ .
deRest est bornée. En donner plusieurs majorants et plusieurs minorants.
Théorème 9(Critère pour qu’une partie soit bornée).
SoitAune partie deR.
(Aest bornée) ⇐⇒ (∃M∈R, ∀a∈A, |a| ≤M)
En d’autres termes, la partieAest bornée si et seulement s’il existe un nombre réel qui est supérieur ou égal à la valeur absolue de tous les éléments deA(i.e. si et seulement siAest « majorée en valeur absolue »).
Démonstration. Cf. prise de notes.
Remarque 5.
Le critère précédent, couplé à l’inégalité triangulaire, fournit un puissant outil pour montrer que certaines parties deRsont bornées.
Exercice d’application 10.
SoitAla partie deRdéfinie par
A:=
½x+2
x+6 :x∈[1,3]
¾ . Montrer que deux manières que la partiesAest bornée.
7 Maximum (resp. minimum) d’une partie de R
Définition 6(Maximum (resp. minimum) d’une partie deR).
SoitAune partie deR.
1. Un réelMest appelé maximum deAs’il vérifie l’une des deux propriétés équivalentes suivantes.
(a) Mest un majorant deA, qui appartient àA.
(b)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∀a∈A, a≤M et
M∈A
2. Un réelmest appelé minimum deAs’il vérifie l’une des deux propriétés équivalentes suivantes.
(a) mest un minorant deA, qui appartient àA.
(b)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∀a∈A, m≤a et
m∈A
Remarque 6.
Une partie deR, même majorée (resp. minorée), n’admet pas nécessairement de maximum (resp. de mini- mum). C’est par exemple le cas de la partie
[−1,1[ :={x∈R:−1≤x<1}.
Elle est majorée, mais n’admet pas de maximum.
Théorème 10(Unicité du maximum (resp. minimum) d’une partie deR, s’il existe).
1. Soit Aune partie deRadmettant un maximum. Alors celui-ci est unique. On l’appelle le maximum de Aet on le note max(A).
2. SoitAune partie deRadmettant un minimum. Alors celui-ci est unique. On l’appelle le minimum deA et on le note min(A).
Démonstration. Cf. prise de notes.
Exercice d’application 11.
SoitAla partie deRdéfinie par
A:=
½ 1−1
n :n∈N∗
¾ . 1. Démontrer que 0 est le minimum deA.
2. Démontrer queAest majorée, mais qu’elle n’admet pas de maximum.
8 Borne supérieure (resp. borne inférieure) d’une partie de R
Définition 7(Borne supérieure (resp. borne inférieure) d’une partie deR).
SoitAune partie deR.
• Borne supérieure
— On dit queAadmet une borne supérieure si l’ensembleM(A) des majorants deApossède un mini- mum, i.e.
siApossède un plus petit majorant.
— On suppose queAadmet une borne supérieure. Alors le minimum de l’ensembleM(A) des majo- rants deAexiste et est unique (comme minimum deM(A)⊂R, cf. théorème 10). Ce minimum est appelé borne supérieure deAet est noté sup(A). On a donc
sup(A) := le plus petit majorant deA.
• Borne inférieure
— On dit queAadmet une borne inférieure si l’ensemblem(A) des minorants deApossède un maxi- mum, i.e.
siApossède un plus grand minorant.
— On suppose queAadmet une borne inférieure. Alors le maximum de l’ensemblem(A) des mino- rants deAexiste et est unique (comme maximum dem(A)⊂R, cf. théorème 10). Ce maximum est appelé borne inférieure deAet est noté inf(A). On a donc
inf(A) := le plus grand minorant deA.
Exercice d’application 12.
1. Soit la partie deR
[−1,5[ :={x∈R:−1≤x<5}.
(a) Démontrer queAadmet une borne inférieure et calculer inf(A).
(b) Démontrer queAadmet une borne supérieure et calculer sup(A).
2. La partie
A:=
½ n2
n+1 :n∈N∗
¾
deRpossède-t-elle une borne supérieure ? Remarque 7.
Si une partie deRadmet une borne supérieure, alors celle-ci n’appartient pas nécessairement à A. En effet nous avons établi (cf. exemple d’application 12)
• la partie [−1,5[ deRpossède une borne supérieure ;
• 5=sup([−1,5[) mais 5∉[−1,5[.
Exercice d’application 13.
SoitAune partie deRpossédant une borne supérieure. SoitMun majorant deA. Que dire de l’ordre entreM et sup(A) ?
Il existe un axiome deR, nommé propriété de la borne supérieure (resp. inférieure), qui assure, sous des condi- tions assez faibles, qu’une partie deRadmet une borne supérieure (resp. borne inférieure).
Propriété 4(Propriété de la borne supérieure (resp. de la borne inférieure)).
• Propriété de la borne supérieure (PBS)
Toute partie non vide et majorée deRadmet une borne supérieure.
• Propriété de la borne inférieure (PBI)
Toute partie non vide et minorée deRadmet une borne inférieure.
Remarque 8.
La PBS et la PBI sont des outils essentiels pour définir de nouveaux nombres, de nouvelles fonctions. On en donne ci-dessous un exemple d’application (construction dep
2).
Exercice d’application 14.
SoitAla partie deRdéfinie par
A:=©
x∈Q :x2≤2ª . Justifier queApossède une borne supérieure.
On démontrera plus tard que sup(A) est l’unique nombre réelxtel que x∈R≥0 et x2=2 ce qui livrera une construction du nombrep
2.
Théorème 11(Caractérisation d’une borne supérieure (resp. inférieure)).
SoitAune partie deR.
• Borne supérieure SoitMun nombre réel.
M=sup(A) ⇐⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∀a∈A, a≤M et
∀ε∈R>0, ∃aε∈A, M−ε<aε
• Borne inférieure Soitmun nombre réel.
m=inf(A) ⇐⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∀a∈A, m≤a et
∀ε∈R>0, ∃aε∈A, aε<m+ε Démonstration. Cf. prises de notes.
Exercice d’application 15.
Démontrer que
A:=
½ 1−1
n :n∈N∗
¾
admet une borne supérieure et la calculer.
Théorème 12(Borne supérieure versus maximum, borne inférieure versus minimum).
SoitAune partie deR.
• Borne supérieure vs. maximum
1. SiAadmet un maximum, alorsAadmet une borne supérieure et sup(A)=max(A).
2. SiAadmet une borne supérieure et si sup(A)∈A, alorsAadmet un maximum et max(A)=sup(A).
• Borne inférieure vs. minimum
1. SiAadmet un minimum, alorsAadmet une borne inférieure et inf(A)=min(A).
2. SiAadmet une borne inférieure et si inf(A)∈A, alorsAadmet un minimum et min(A)=inf(A).
Exercice d’application 16.
Étudier la borne supérieure éventuelle de
A:=
½1
n :n∈N∗
¾ .
9 Partie entière d’un nombre réel
Propriété 5(Bon ordre dansN).
Toute partieAdeNqui est non vide possède un minimum, i.e. il existe un entier naturelmtel que
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∀a∈A, m≤a et
m∈A.
Remarque 9.
La propriété du bon ordre est un axiome deN, équivalent à l’axiome de récurrence ; nous ne la démontrons pas.
Théorème-Définition 1(Partie entière d’un nombre réel).
Soitx∈R. Il existe un uniquen∈Ztel que
n≤x<n+1.
Cet entier est appelé partie entière den et est noté⌊x⌋. Le nombre⌊x⌋est donc le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx.
Démonstration. Cf. prises de notes.
Exercice d’application 17.
Calculer⌊3,234⌋,
¹15 8
º ,
¹
−13 3
º . Définition 8(Fonction partie entière).
La fonction partie entière, notéeE, est définie par
¯
¯
¯
¯
E : R → R
x 7→ ⌊x⌋.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5 6
0
[ [
[ [
[ [
[ [
[ [
CE
Exercice d’application 18.
Calculer l’imageE(R) de la fonction partie entière.
Théorème 13(Propriétés de la partie entière).
1. Par définition même
∀x∈R,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
⌊x⌋ ∈Z et
⌊x⌋ ≤x< ⌊x⌋ +1.
2. D’après l’unicité dans le théorème-définition 1
∀x∈R, ∀n∈Z, n≤x<n+1⇒n= ⌊x⌋.
3. On peut réécrire l’inégalité de 1. comme suit :
∀x∈R, x−1< ⌊x⌋ ≤x.
4. Six∈R, alors⌊x⌋est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx, d’où
∀x∈R, ∀n∈Z, n≤x⇒n≤ ⌊x⌋.
5. La fonction partie entièreEest croissante surR, i.e.
∀(x,y)∈R2, x≤y⇒ ⌊x⌋ ≤¥ y¦
. 6. La fonction partie entièreEest 1-périodique, i.e.
∀x∈R, ⌊x+1⌋ = ⌊x⌋ +1.
Démonstration. Cf. prise de notes.
10 Intervalles de R
Définition 9(Intervalle deR).
SoitIune partie deR. On dit queIest un intervalle deRsi
∀(a,b)∈I2, ∀x∈R, a≤x≤b⇒x∈I ou, autrement formulé, si
∀(a,b)∈I2, [a,b]⊂I.
Exercice d’application 19.
1. L’ensemble
]−2,5] :={x∈R:−2<x≤5}
est un intervalle deR.
2. L’ensembleR∗n’est pas un intervalle.
3. L’ensembleQn’est pas un intervalle deR.
Théorème 14(Structure des intervalles deR).
Les parties deRsuivantes 1. ;;
2. [a,b] :={x∈R: a≤x≤b} avecaetbdes réels tels quea≤b; 3. [a,b[:={x∈R: a≤x<b} avecaetbdes réels tels quea<b; 4. ]a,b] :={x∈R: a<x≤b} avecaetbdes réels tels quea<b; 5. ]a,b[:={x∈R: a<x<b} avecaetbdes réels tels quea<b; 6. [a,+∞[:={x∈R:a≤x} aveca∈R;
7. ]a,+∞[:={x∈R:a<x} aveca∈R; 8. ]− ∞,b] :={x∈R:x≤b} avecb∈R; 9. ]− ∞,b[:={x∈R:x<b} avecb∈R; 10. R
sont des intervalles. Réciproquement tout intervalle deRest d’une unique manière de l’un des 10 « types » listés ci-dessus.
Démonstration. Cf. prise de notes.
