I3a - TD1 Récursivité

I3a - TD1

Récursivité

1 Factorielle

On considère plusieurs variantes récursives de fonctions calculantn!.

fact1(n : entier)

si n<2 alors retourner 1 sinon retourner n*fact1(n-1) fact2(n : entier)

si n<2 alors retourner 1 sinon retourner fact2(n-1)*n fact3(n : entier)

si n<2 alors retourner 1

sinon si n<3 alors retourner 2 sinon retourner fact3(n-2)*(n-1)*n //utilisation : fact4(1,n)

fact4(acc : entier, n : entier) si n<2 retourner acc

sinon retourner fact4(acc*n, n-1)

Pour chacune de ces variantes, répondez aux questions suivantes : 1. S’agit il d’une récursivité terminale ?

2. Donnez par ordre chronologique les multiplications effectuées pour calculer 6!.

3. Combien d’appels à la fonction sont ils nécessaires pour calculer 10! ?

2 Fibonacci

On rappelle que la suite de Fibonacci est définie par :







F₀ = 0 F₁ = 1

F_n = F_n−1+F_n−2, n>1 On considère la fonction récursive suivante :

fibo(n)

si n<2 alors retourner n

sinon retourner fibo(n-1) + fibo(n)

1. Simulez l’exécution de fibo(5) en détaillant les appels récursifs, les valeurs des paramètres et les valeurs de retour de ces appels.

2. Exprimez, en fonction de n, le nombre d’appels à fibonécessaires pour calculer F_n.

3. Proposez une fonction récursive fibo1permettant de calculerF_n en utilisant uni- quement la récursivité terminale. Cette procédure présente t-elle un intérêt par rap- port à une procédure itérative réalisant le même calcul ?

3 Dénombrement de combinaisons

La valeurC_n^p=n!/p!(n−p)! est le nombre de sous-ensembles possibles de p élé- ments dans un ensemble de néléments. On peut définir cette fonction par récurrence de plusieurs manières. Par exemple







C_n⁰ = 1, n≥0

C_nⁿ = 1, n≥0

C_n^p = C_n−1^p +C_n−1^p−1, n≥0,0<p<n Ou encore

C_nⁿ = 1, n≥0 C_n^p = _n−ⁿ_pC_n−1^p , n≥0,0<p<n

1. Donnez une implentation en java de deux fonctions permettant de calculerC_n^p en utilisant respectivement les deux relations de récurences explicitée plus haut. Quelle est la précaution à prendre pour éviter des erreurs d’arrondi dans la deuxième fonc- tion ?

2. Pour chacune des deux implantations, exprimez en fonction de n et p le nombre d’appels de fonction nécéssaires pour calculerC_n^p.

3. En vous basant sur la première relation de récurrence donnée, implantez en java une fonction itérative calculant efficacementC_n^pen utilisant un tableau à une dimension.

4 Enumération de combinaisons

Pour tout ensemble finiE, on note (dans cet exercice)C^p(E)l’ensemble de toutes les parties deE de cardinal p.

1. En vous inspirant des relations de récurrences de l’exercice précédent, donnez une relation de récurrence permettant de spécifierC^p(E)en fonction d’un élément quel- conquexdeE, deC^p−1(E\ {x})et deC^p(E\ {x}).

2. En vous basant sur cette récurrence, écrivez une méthode java affichant à l’écran toutes la parties de p éléments d’un ensemble E. Par commodité, la méthode à réaliser sera de la formestatic void generer(String E, String F, int p) et devra afficher toutes les chaînes comportant tous les caractères de F et p ca- ractères de E. Par exemple, generer ("abcd","",2) devra afficher les chaînes

"ab","ac","ad","bc","bd","cd".