Sup PCSI2 — Devoir 1999/02 IOn notef : x∈R7→exp(x2/2). Il est clair quef est de classeC∞ surR. Q1 Explicitezf0(x),f00(x) etf000(x).
Q2 Soit n ∈ N. Prouvez l’existence d’une fonction polynˆome Pn telle que f(n)(x) = Pn(x)f(x) pour tout x∈R; vous donnerez une relation exprimantPn+1 en fonction dePn. Vous pr´eciserez ´egalement le degr´e, le coefficient dominant et la parit´e dePn.
Q3 Utilisez la formule ´etablie `a la question pr´ec´edente pour expliciterP4(x), P5(x) et P6(x) ; vous pr´esenterez les calculs sur votre copie.
Q4 Montrez que f est solution surRd’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre, `a coefficients poly- nomiaux. On ne vous demande pas de r´esoudre cette ´equation !
Q5 En utilisant la formule deLeibniz, mettez en ´evidence une relation entrePn+2,Pn+1et Pn. Q6 En d´eduire une expression de Pn0+1 en fonction dePn.
Q7 Montrez alors que Pn est solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du deuxi`eme ordre, `a coefficients polynomiaux.
Q8 Fixons n∈N; compte tenu de la parit´e de Pn, on peut ´ecrirePn(x) = X
062k6n
akxn−2k. ak d´esigne donc le coefficient dexn−2k dans l’expression dePn(x) ; en particulier,a0est le coefficient dominant dePn. Utilisez l’´equation diff´erentielle ´etablie `a la question pr´ec´edente pour ´etablir une relation entre ak et ak+1, et en d´eduire une expression deak en fonction denetk, au moyen de factorielles et/ou de puissances.
[Devoir 1999/02] Compos´e le 19 mars 2005
