TaleST I Rappels sur les fonctions Vendredi 18 septembre 2008
Devoir Surveillé n˚1
EXERCICE no 1
Le graphique ci-contre représente une fonction f.
1. Sur quel intervalle f est-elle définie ?
2. Quelles sont les images de −2 et de 0 parf? 3. Lire f(3).
4. Résoudre graphiquement f(x) = 4.
5. Quels sont les antécédents de 32 par f? 6. Dresser le tableau de signes de f(x).
7. Dresser le tableau de variations de f. 8. Résoudre l’équation : f(x)6−1.
9. Résoudre l’inéquation : f(x)>0.
O 1
1
b
EXERCICE no 2
Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] les équations suivantes : 1. cosx=
√2
2 (représenter graphiquement les solutions).
2. sinx=−1
2 (représenter graphiquement les solutions).
3. cos
3x− π 6
= cos
x+ π 2
EXERCICE no 3
Soit P(x) le polynôme défini sur R par : P(x) = 2x3+ 3x2−8x+ 3.
1. (a) Vérifier que 1 est une racine du polynôme P(x).
(b) Pourquoi peut-on en déduire que P(x) = (x−1)(ax2+bx+c) ? (c) Déterminer les réels a, b et c
(d) Résoudre dans R l’équation P(x) = 0.
2. En utilisant les résultats de la question 1.(d) :
(a) Résoudre dans [ 0 ; 2π ] l’équation 2(sinx)3 + 3(sinx)2−8 sinx+ 3 = 0.
(b) Résoudre dans R l’équation : 2x6 + 3x4−8x2+ 3 = 0.
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Correction de l’interrogation n˚1
EXERCICE no 1
1. Df = ]− ∞ ; 5,5 ].
2. f(−2) = 1,5 et f(0) = 5.
3. f(3) = 0.
4. S={−1; 1}.
5. Les antécédents de 3
2 par f sont−2 et 2.
6. tableau de signes : x −∞ −4 3 5,5
f(x) − 0 + 0 −
7. tableau de variations :
x −∞ 0 4,5 5,5
5 −0,5
f(x) ր ց ր
−∞ −2
8. S= ]− ∞; 5,5 ]∪[ 3,5 ; 5 ] 9. S=] −4; 3 [
EXERCICE no 2
1. S= π
4;7π 4
2. S= 7π
6 ;11π 6
3. cos
3x−π 6
= cos
x+π 2
⇐⇒
3x−π
6
=
x+π 2
+k×2π ou
3x−π 6
=−
x+π 2
+k×2π
⇐⇒ 2x= π 2 +π
6 +k×2π ou 4x=−π 2 +π
6 +k×2π
⇐⇒ 2x= 2π
3 +k×2π ou 4x=−π
3 +k×2π
⇐⇒ x =π
3 +k×π ou x=−π
12 +k×π dans l’intervalle [ 0; 2π], on trouve les solutions suivantes : 2
x= π
3 , x= π
3+π= 4π
3 , x=−π
12+1×π 2 = 5π
12 , x=−π
12+2×π
2 = 11π 12 , x=−π
12 + 3×π
2 = 17π
12 et x=−π
12 + 4×π
2 = 23π 12 S=
π 3;5π
12;11π 12 ;4π
3 ;17π 12 ;23π
12
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EXERCICE no 3
1. (a) P(1) = 0 .
(b) 1 est racine, on peut donc factoriserP par (x−1).
On obtient P(x) = (x−1)R(x) avec deg(R) = 3−1 = 2 d’où R(x) =ax2+bx+c.
(c) P(x) = (x−1)(ax2+bx+c)
=ax3+bx2+cx−ax2−bx−c
=ax3+ (b−a)x2+ (c−b)x−c
Par identification des coefficients, on obtient :
a= 2 b−a= 3 c−b=−8
−c= 3
=⇒
a= 2 b= 5 c=−3 (d) P(x) = 0 ⇐⇒ (x−1)(2x2+ 5x−3) = 0.
Un produit de facteurs est nul ssi l’un des facteurs est nul, soit :
• x−1 = 0 donc x= 1,
• 2x2+ 5x−3 = 0 : ∆ =b2−4ac= 52−4×2× −3 = 49.
Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
x1= −b−√
∆
2a = −5−7
2×2 =−3 x2 = −b+√
∆
2a = −5 + 7 2×2 = 1
2 Conclusion : S =
−3;1 2; 1
.
2. (a) Si on poseX = sinxdans 2(sinx)3+ 3(sinx)2−8 sinx+ 3 = 0, on obtient 2x3+ 3x2−8x+ 3 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont
• X =−3 soit sinx=−3 : impossible,
• X = 1
2 soit sinx= 1
2 donc x= π
6 ou x= 5π 6 ,
• X = 1 soit sinx= 1 donc x= π 2. Conclusion : S =
π 6;π
2;5π 6
.
(b) Si on poseX=x2 dans 2x6+x4−13x2+ 6 = 0, on obtient 2X3+X2−13X+ 6 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont
• X =−3 soit x2 =−3 : impossible,
• X = 1
2 soit x2 = 1
2 donc x=
√2
2 ou x=−
√2 2 ,
• X = 1 soit x2= 1 donc x= 1 ou x=−1, Conclusion : S =
(
−1;−
√2 2 ;
√2 2 ; 1
) .
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