Fonctions circulaires

FONCTIONS CIRCULAIRES

Table des matières

I Fonctions circulaires 2

I.1 Définitions . . . 2

I.2 Valeurs remarquables . . . 2

I.3 Variations et courbe représentative . . . 3

I.4 Dérivation . . . 3

II Fonctions circulaires réciproques 3 II.1 definitions . . . 3

II.2 Fonction arc sinus . . . 4

II.3 arc cosinus . . . 4

II.4 arc tangente . . . 5

III Fonctions e^it et e^at 6

IV Dérivée et primitive d’une fonction à valeurs complexes 6

I Fonctions circulaires

I.1 Définitions

Définition 1

Soit xun réel, il lui correspond un unique pointM sur le cercle trigonométrique tel que xsoit une mesure en radians de l’angle (−→i ,\−−→OM).

➤ Le cosinus de x, notécosx, est l’abscisse de M dans le repère(O;−→i;−→j).

➤ Le sinus de x, noté sinx, est l’ordonnée deM dans le repère (O;−→i ;−→j).

➤ La tangente de x, notée tanx, est le rapport sinx

cosx pour x6= π 2 +kπ.

cosx et sinx sont donc respectivement l’abs- cisse et l’ordonnée du point M dans le repère (O;−→i;−→j)

On note :M





 cosx sinx







M

x cosx sinx

0 A

−

→j

−

→i

Propriété 1

♦ cos²x+ sin²x= 1

♦ −16cosx61 et −16sinx61

I.2 Valeurs remarquables

0 π 6 π 4 π 3 π

2

5π 6

3π 4

2π 3

−π

7π 6

5π 4 4π

3 3π

2

11π 6 7π 5π 4

3

1 2

√2 2

√3

0 2

−¹₂

−^√₂²

−^√₂³

1 2

√2 2

√3 2

−¹₂

−^√₂²

−^√₂³

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2

sinx 0 1

2

√2 2

√3

2 1

cosx 1

√3 2

√2 2

1

2 0

tanx 0

√3

3 1 √

3 ∅

I.3 Variations et courbe représentative

La fonction sinus est impaire et 2π−périodique.

x 0 π

2 π

1

sin(x) ր ց

0 0

La fonction cosinus est paire et 2π−périodique.

x 0 π

2 π

1

cos(x) 0

−1

La fonction tangente est impaire etπ−périodique.

x 0 π

2 +∞ tanx

0

1 2 3

−1

−2

−3

−4

π 2

−π π 2

−π

−2π −2π

I.4 Dérivation

Propriété 2

Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables surR, la fonction tangente est définie et dérivable sur tout intervalle ne contenant pas π

2 +kπ, et on a :

♦ cos^′(x) =−sin(x).

♦ sin^′(x) = cos(x).

♦ tan^′(x) = 1

cos²(x) = 1 + tan²(x).

II Fonctions circulaires réciproques

II.1 definitions

Considérons une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs dansR qui à un réel x de I associe un réely. Nous voudrions savoir si nous pouvons définir une fonction « retour » qui permette, à partir dey, de revenir àx.

Définition 2

Soient I etJ deux intervalles de Retf :I →J une fonction continue strictement monotone.

Il existe une unique fonction f⁻¹ :J →I telle que pour toutx∈I et pour tout x∈J : f⁻¹◦f(x) =f⁻¹(f(x)) =x et f◦f⁻¹(x) =f(f⁻¹(x)) =x.

Cette fonction est appelée fonction réciproque def.

Remarque 1

Graphiquement, la courbe de la fonction réciproquef⁻¹ d’une fonction f s’obtient en appliquant une symé- trie d’axe la droite d’équationy=x.

C’est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle surR, où encore pour les fonctions carré et racine carrée sur [0; +∞[.

II.2 Fonction arc sinus

Définition 3

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle [−^π₂;^π₂]. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1].

Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfoissin⁻¹.

π

−^π₂ 2

−^π₂

π 2

y= sinx y= arcsinx

y = arcsinx signifie que y est le réel (l’arc) compris entre−^π₂ et−^π₂ dont le sinus vautx.

∀x∈[−1; 1],arcsin^′x= 1

√1−x²

Exemple 1

➔ arcsin 1

2

= π

6 car sinπ 6

=1 2. Démonstration de la dérivée :

Pour toutx de [−1; 1], on a sin(arcsin(x)) =x.

En dérivant les deux membres, on obtient :

arcsin(x)^′×cos(arcsin(x)) = 1 d’où arcsin(x)^′ = 1

cos(arcsin(x)). Comme cos(arcsin(x)) =^q1−sin²(arcsin(^′x)) =√

1−x², on obtient le résultat cherché.

II.3 arc cosinus

Définition 4

La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0;π]. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1].

Cette fonction est appelée arc cosinus et notée arccosou parfoiscos⁻¹.

π

−1

−1

1 π 1

y= cosx y= arccosx

y = arccosx signifie que y est le réel (l’arc) compris entre 0 etπ dont le cosinus vaut x.

∀x∈[−1; 1],arccos^′x=− 1

√1−x²

II.4 arc tangente

Définition 5

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]−^π₂;^π₂[. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur R.

Cette fonction est appelée arc tangente et noté arctan ou parfoistan⁻¹.

1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2

−1

−2

−3

y = tanx

y= arctanx

y = arctanx signifie que y est le réel (l’arc) compris entre−π

2 et π

2 dont la tangente vautx.

∀x∈R,arctan^′x= 1 1 +x²

III Fonctions e

et e

Définition 6

Pour tout nombre réel θ et tout nombre complexe a=α+iβ, on pose :

➤ e^iθ = cosθ+isinθ.

➤ e^at =e^αt[ cos(βt) + ß sin(βt) ]

Démonstration de la seconde égalité :

e^at =e^(α+iβ)t=e^αt e^iβt=e^αt[ cos(βt) +isin(βt) ].

Remarque 2

On peut retrouver ainsi les formules de Moivre et d’Euler, pour toutθ∈R etn∈N : (cosθ+isinθ)ⁿ= cos(nθ) +isin(nθ)

cosθ= e^iθ+e^−iθ 2 sinθ= e^iθ−e^−iθ

2i

IV Dérivée et primitive d’une fonction à valeurs complexes

Définition 7

Une fonction d’une variable réelle à valeur complexe est une fonction qui à un nombre réel associe un nombre complexe.

Exemple 2

la fonction définie surRparf(x) = 2x−3x²iest à valeur complexe.

Remarque 3

On peut considérer que la fonctionf est constituée de deux sous fonctions : f₁(x) = 2x etf₂(x) =−3x². On a ainsif(x) =f₁(x) +if₂(x).

Propriété 3

Soitf(x) =f₁(x) +if₂(x) une fonction continue d’une variable réelle à valeur complexe.

♦ Sif₁ etf₂ sont dérivables, alors f est dérivable etf^′(t) =f₁^′(x) +if₂^′(x).

♦ SiF₁ etF₂ sont les primitives def₁ et f₂ alorsF est intégrable etF(x) =F₁(x) +iF₂(x).

Exemple 3

Soit la fonction définie surRparf(x) = 2x−3x²i.

➔ f^′(x) = 2−6xi.

➔ F(x) =x²−x³i.