L'extension de la notion cinématique de repère

Extrait des Annales del' Université, deuxième série, no 5.

Actes du 73• Congrès de l'A. F. A. S., Poitiers, 16-22 juillet 1954.

L'EXTENSION DE LA NOTION CINÉMATIQUE DE REPÈRE

par

J. J.

Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Poitiers

Une méthode couramment pratiquée pour éclairer la structure logique d'une théorie mathématique, pour délimiter lP. ^<< champ causal » de cha­

cune de ces prémisses, consiste à abandonner ou à modifier telle ou telle de ses prémisses et à observer les altérations qui en résultent dans le déve­

loppement ultérieur. Les possibilités à cet égard sont généralement nom­

breuses ; les extensions construites de la sorte sont multiples et d'intérêt plus ou moins grand. Parfois, le bénéfice dernier de ces démarches est la mise au point de notions mathématiques nouvelles, dont l'application peut se révéler féconde.

Je me suis livré dans cet esprit à un essai de synthèse méthodique et progressive de la cinématique classique, suivant des stades de généralité décroissante, en choisissant un itinéraire, c'est-à-dire un ordre d'int.roduc­

tion des divers concepts, parmi bien d'autres ordres possibles. (La théorie de la Relativité, restreinte ou généralisée, a, par exemple, fourni, dans une tout autre voie, une extension de la cinématique élémentaire qui éclaire certains aspects de cette dernière.)

La place manque ici pour reprendre tous les stades successifs à travers • lesquels j'ai pu voir ainsi la notion traditionnelle de système de référence acquérir petit à petit ses caractères classiques. Arrêtons-nous seulement à l'une des premières étapes que voici.

Fluide régulier.

On prend comme système de référence' un milieu continu ou ^fluide régulier : ce fluide est muni d'une topologie du premier ordre qu'il em­

porte invariante à travers le temps. Précisons cette notion : un ensemble de particules du fluide, ou figure fluide F, présente, à chaque instant t.

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une position notée l F, ensemble <;le points de �'espace instanta1:1,é & (i).

Par hypothèse les caraclères lopologzques du premier ordre de celle figure t F selon la topologie dont esl muni & (l) sont indépendanls de l. On convient dès lors de les attribuer à la figure fluide F elle-même. Cela revient à doter le fluide / d'une topologie du premier ordre, indépendante de t, et qui vient, en quelque sorLe, s'appliquer successivement sur les topologies des divers espaces instantanées & (i).

Ainsi par exemple, si une suite P (À) de parLiculcs de/, dépendant d'un paramèLrc ^À, est telle que, dans l'espace de l'insLant l, le vecteur dérivée

:À [t P (À)] = l L

<:xistc (au moins pour une valeur À= Ào), il en sera de même clans l'espace de tout autre instant. Donc, quel que soit l, il s'attache au point l P (Ào) de & (l) un vecteur l L. Il est naturel de considérer ces vecteurs des divers

& (l) comme les positions successives d'un. vecteur mobile L, issu de la parti­

cule P, transporté par le fluide, et qui donne lieu, selon. la géométrie propre du fluide f, à l'écriture

(dP)

=

dÀ À= Ào

Cette notion de vecteur lié à un fluide trouve cl 'ailleurs des illustra­

tions en Hydrodynamique : moyennant les conclition.s classiques de Helm­

holtz (baroLropic ), le vecteur tourbillon O issu d'une particule d'un fluide parfait incompressible en écoulement csL lié d ce f luicle.

En somme, nous retrouvon., à cc stade de généraliLé supérieure, un ca­

ractère semblable à celui des ré.férenticls solides de la cinématique clas­

sique : ces derniers sont doués de propriétés métriques indépendantes du temps alors que, pour nos fluides réguliers, cc sonL seulement des proprié­

tés topologiques du premier ordre.

Vilesse d'un mobile.

Soit un mobile Met P (t) la trace de cc mobile sur le fluide/ à l'inst::mt t c'est-à-dire la particule de / qui coïncide avec M à l'instant t ; on écrira '.

P (l)

=

Si P(i) possède, selon la topologie de f, un vecteur dérivé

(dP)

d[ l

=

ce vecteur s'appellera vectew· vitesse du mobile M par rapport au fluide f à l'instant i0 ; notation lo Vr (M).

On établit dans ce cadre une règle de composition des vitesses, identique à celle de la cinématique classique :

Si f el g sonl deux fluides, on a :

lVr (M)

=

+

Mouvement relatif de deux fluides.

La règle précédente attire l'attention svr un champ. vectoriel défini dam

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une région de & (t) où coexistent deux fluides f et g : le champ du vecteur vitesse relative

Vr (glM)

= -

Par analogie avec la cinématique classique des fluides, on dira que g est animé, relativement à f, d'un mouvement permanent si le champ vectoriel en question est, dans la géométrie de f, indépendant de l. On peut alors démontrer un théorème noLablc

Pour deux fluides réguliers, la permanence esl un. caraclère réciproque, c'esl-d-dire que si g esl animé, vis-d-vis de f, d'un mouvement permanent, il en est de même de f vis-à-vis de g.

Si, d'autre part, la topologie de & (l) est assez riche (existence d'une loi de « connexion affine >> ) pour permettre la définition du tenseur gra­

dient ( ou dérivée covariante) du champ iVr (glM), cc tenseur du second ordre Crg (M) s'appellera tenseur cinémalique, au point considéré, du mou­

vement de g par rapport à /. A de nombreux égards, cc tenseur joue un rôle analogue à celui du vecteur rotation relative de deux solides ( dans ce cas, qui suppose une métrique, Crg est antisymétrique et s'associe donc, rnétrigucment, à un « vecteur dual >> qui n'est autre que le vecteur rota­

tion). Il en est ainsi, par exemple, pour la règle de composition des accéléra­

lions

Toujours dans l'hypothèse que .chaque & (t) est pourvu d'une connexion affine, on pourra définir, pour un mobile M, un vecteur accélération

lJr (M)

= !

La comparaison des accélérations de M relativcmcnL à deux fluides f et g conduit alors à une généralisalion. directe dll lhéorème de Coriolis

lJt (M)

=

+

+

Con.ll'e-liaison.

Indiquons encore, parmi les n,otions principales de cette cinématique développée au stade topologiqu du premier ordre, celle de contre-liaison : un v cteur (covariant) e, t dit contre-lié à f s'il constitue le gradient d'un champ scalaire défini dans f d'une manière indép ndante du temps. Le produit intérieur d'un vecteur (contrevariant) lié et d'un vecteur (cova­

riant) contre-lié, issus d'une même particule du fluide, est indépendant de t.

Cc second mode de liaisons conserve son intérêt au stade métrique et s'applique donc encore dans le cadre de la mécanique des fluides classi­

que. Liaison et contre-liaison ne se confondent que dans le cas d'un réfé­

rentiel solide.

Poitiers, - S.F.I.L. et lmp. Marc TEXIER réunies