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Cin´ ematique du solide
1 Cin´ ematique dans l’espace
1.1 D´ erivation dans 2 rep` eres
"
d−→ V dt
#
R0
=
"
d−→ V dt
#
R
+−→
ΩR0/R∧−→ V
1.2 Torseur cin´ ematique
1.2.1 Expression g´en´erale
{VS/R,A}=
( −→ ΩS/R
−
→VA,S/R
)
R´esultante Moment
1.2.2 Cas particuliers Torseur couple
{VS/R,A}=
( −→
− 0
→VA,S/R
)
Torseur `a r´esultante (glisseur)
{VS/R,A}=
( −→ ΩS/R
−
→0 )
1.3 Loi de composition du vecteur vitesse
−
→VA,S/R=−→
VB,S/R+−−→
AB∧−→ ΩS/R
1.4 Loi de composition du vecteur acc´ el´ eration
−
→AM,S/R1=−→
AM,S/R2+ 2−→
ΩR2/R1∧−→
VM,S/R2+ Ãd−→
ΩR2/R1
dt
!
∧−−−→
O2M +−→
ΩR2/R1∧(−→
ΩR2/R1∧−−−→
O2M) +−→
AO2,R2/R1
1.5 Equiprojectivit´ ´ e
−−→AB.−→
VA,S/R=−−→
AB.−→ VB,S/R
1.6 Somme de 2 torseurs
{VS/R1,A}={VS/R2,A}+{VR2/R1,A}
1.7 Invariant scalaire
I=−→ ΩS/R.−→
VA,S/R ne d´epend pas du point d’application.
1
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1.8 Axe central
1.8.1 D´efinition {I∈E; −→
ΩS/R∧−→
VI,S/R=−→ 0} 1.8.2 D´etermination analytique
−→AI =
−
→ΩS/R∧−→ VA,S/R
−
→Ω2S/R +λ−→ ΩS/R
2 Mouvement plan
2.1 D´ efinition
{VS/R,A}=
( −→ ΩS/R
−
→VA,S/R
)
Si−→
ΩS/R ⊥(π) un plan fixe et−→
AA,S/R∈πalors le mouvement deS/Rest plan.
2.2 Centre Instantan´ e de Rotation (C.I.R)
C’est le pointI tel que−→
VI,S/R=−→ 0
0∈(π∩S)⇒ −→
OI =
−
→ΩS/R∧−→ VO,S/R
−
→Ω2S/R
2.3 Th´ eor` eme des 3 plans mobiles
Si 3 solidesS1,S2etS3ont un mouvement plan les uns par rapport aux autres alors les 3 CIRI12,I23 etI13sont align´es, et :
IikIkj
ωij = IjiIik
ωjk = IkjIji
ωki
2.4 Base et Roulante
Base Lieu deI dans le rep`ere fixeR.
Roulante Lieu deI dans le rep`edre mobileS.
La base et la roulante sont 2 courbes qui roulent sans glisser l’une sur l’autre.
D´etermination alg´ebrique
Roulante : OS ∈S, −−→
OSI=
−
→ΩS/R∧−→ VOs,S/R
−
→Ω2S/R
⇒Equation param´etr´ee en fonction de Θ avec´ −→
ΩS/R = ˙Θ−→z
Base : OR∈R, −−→
ORI=−−−−→
OROS+−−→
OSI=−−−−→
OROS+
−
→ΩS/R∧−→ VOs,S/R
−
→Ω2S/R
⇒Equation param´etr´ee de´ I.
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3 Solides en contact
Soient 2 solidesS1et S2 en contact ponctuel enP, (π) le plan tangent `aS1et S2 enP.
{VS1/S2,P}=
( −→ ΩS1/S2
−
→VP,S1/S2 )
avec−→
VP,S1/S2 =−→
VP,S1/R−−→
VP,S2/R∈(π)
4 Roulement sans glissement
Si −→
VS1/S2 =−→
0 , on dit que S1roule sans glisser surS2enP. Soit−→n la normale `a (π)
On d´efinit les vecteurs de rotation de roulement−→
Ωr,S2/S1 et de pivotement−→
Ωp,S2/S1 :
• −→
Ωp,S2/S1+−→
Ωr,S2/S1 =−→ ΩS2/S1
• −→
Ωp,S2/S1 = (−→
ΩS2/S1.−→n)−→n
• −→
Ωr,S2/S1 =−→n ∧(−→
ΩS2/S1∧ −→n)
Si 2 solides roulent sans glisser suivant une zone de contact (Z)
∀I∈(Z) −→
VI,S2/S1=−→
0 ⇒la zone de contact est une droite.
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