Cinématique

1

CINÉMATIQUE RELATIVISTE I)Postulats.

1. Mesure des longueurs.

Mesurer un segment dans un référentiel (R), c'est déterminer simultanément les positions des extrémités de ce segment dans (R).

Si le segment est fixe dans (R), la longueur mesurée est dite longueur propre.

Si le segment est mobile dans (R), la longueur mesurée est dite longueur impropre.

La notion de simultanéité n'étant pas absolue, la longueur propre est toujours différente d'une longueur impropre.

2 .Mesure d 'une durée.

La date d'un événement n'est pas absolue: en chaque point d'un référentiel, elle est donnée par une horloge fixe dans ce référentiel.

Il est possible de synchroniser toutes les horloges d'un même référentiel.

Un signal lumineux émis en O milieu de M₁M₂, parvient en M₁à la date t₁, lue sur H₁, et en M₂à la date t₂, lue sur H_2.

Les horloges H₁et H₂sont synchronisées si t₁=t_2.

3 .Quadrivecteur événement.

Dans (R), un événement E est décrit par la position (x, y, z) du point M où il se produit et par la date t indiquée par les horloges (synchronisées) de (R): E(x, y, z, t).

A cet événement on associe le quadrivecteur OM= x , y , z, t =



^OMct



^.

II) Changement de référentiel galiléen.

1 . Transformation spéciale de LORENTZ 1883. Soit (R') un référentiel galiléen animé de la vitesse u=ui par rapport au référentiel (R) galiléen également.

Les origines des dates sont choisies au même instant dans (R) u et (R'): t = t' = 0 quand O' coïncide avec O.

L'événement de coordonnées (x, y, z, t) dans (R) a pour coordonnées dans (R'):

x '=γx−u t

y '=y z'=z

t '=γ



^{t−u x}c²



avec

∣

c = vitesse de la lumière dans le vide, mesurée par rapport à un référentiel galiléen γ=facteur de Lorentz du référentielR '

γ= 1



^{1−uc22 =}

1



^{1−β2 avec β=}

u c.

γ n'est défini que si ∣u∣c et on a toujours γ1.

Dans (R'), le quadrivecteur événement s'écrira: O' M=



^{ct 'x 'y 'z '}



⁼



^{−00β γγ 0 01 00 10 0 −β γ00γ}

 

^ctxyz



ou encore O'M= LOM ; L est la matrice de Lorentz.

La transformation inverse s'obtient directement en changeant u en - u ouβ en−β:

x= γx 'u t '

y= y' z=z '

t=γ



^{t 'u x '}c²



ou bien OM= L⁻¹O' M avec L⁻¹=



^{β γ00γ 0 01 00 10 0 β γ00γ}



x x' (R')

y'

z' O' (R)

y

z O

M₁ O M₂ H₁ H₂

2

La transformation de Lorentz traduit bien l'invariance de la vitesse de la lumière lors du changement de référentiel galiléen:

•dans (R), un signal lumineux émis en O à la date t=0 parcourt r=



^x2y2z2, pendant la durée t telle que r=c t.

•dansR ', ce signal parcourt r '=



^{x '2y'2z '2} pendant t ' d 'où r '=c t '.

Donc on doit vérifier que r t = r '

t ' =c, c 'est−à−dire r²−c²t²=r '²−c²t '²=0.

Or x '²y '²z'²−ct '²=γ²x−ut²y²z²−c²γ²



^t−uxc2



²

=γ²x²



^1−uc22



^{y2z2−c2γ2t2}



^1−uc22



^{=x2y2z2−ct2.}

La ''norme'' d'un quadrivecteur V= x₁, x₂, x₃, x₄ est définie par∥V∥²=x₁²x₂²x₃²−x₄².

Pour un quadrivecteur événement, on voit que cette norme reste nulle lors d'un changement de référentiel galiléen.

Remarque : si u≪c ⇒ γ≈1 ; t '≈t et x '≈x−ut mécanique classique.

1.Conséquences immédiates.

a .Simultanéité de deux événements.

Soient deux événements simultanés dans (R): E₁x₁, y₁, z₁, t et E₂x₂, y₂, z₂,t. Dans (R'), les dates de ces deux événements seront:

t '₁=γ



^{t−u x}c²¹



^{et t '2=γ}



^{t−u x}c²²



^{⇒ t '2−t '1=γ}c^u2x₁−x₂.

Ces deux événements ne sont donc pas simultanés dans (R') sauf s'ils se produisent au même point x₁=x₂ dansR.

Ainsi un choc entre deux particules dans (R) est aussi un choc dans (R').

b .Relation de causalité.

Soient deux événements dans (R), E₁OM₁,t₁ et E₂OM₂, t₂, E₂ étant une conséquence de E₁donc postérieur à E₁: t₂t₁.

DansR ': t '₂−t '₁=γ



^{t2−t1−ux2c−2 x1}



^{=γt2−t1}



^{1−cu2 xt22−x−t11}



^.

Or le ''signal'', parti de M₁ à la date t₁ et arrivé en M₂à la date t₂, s'est propagé avec une vitesse inférieure à c: x₂−x₁

t₂−t₁ c.

D'où t '₂−t '₁0 : dans R 'l 'événementO' M₂, t '₂est postérieur à l 'événement O' M₁, t '₁et peut être une conséquence de celui-ci.

c.' ' Dilatation '' des durées.

Soient 2 événements E₁OM , t₁ et E₂OM , t₂ se produisant successivement au même point M dans (R).

Dans (R'), les dates de ces événements seront t '₁=γ



^{t1−u xc2}



^{et t '2=γ}



^{t2−u xc2}



t '₂−t '₁=γt₂−t₁ ; or γ1 ⇒ t '₂−t '₁t₂−t₁.

Une durée impropre est toujours supérieure à la durée propre: ∆t '=γ ∆t.

Une horloge en mouvement semble ralentie par rapport à une horloge fixe et par conséquent retarde par rapport à celle-ci.

Pour un observateur de (R), on ''vieillit moins vite'' dans (R').

3 Exemple: durée de vie du muon .

Le muon est une particule instable dont la durée de vie, mesurée au repos, est T = 2,3 µs.

Or les muons, produits dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques, arrivent au sol après avoir parcouru plus de 10 km avec une vitesse u proche de c, alors que cT=3 10⁸×2,3 10⁻⁶≈700 m.

En réalité dans un repère lié au sol, la durée de vie (impropre) T ' du muon paraît dilatée par rapport à la durée de vie propre: T '=γT≫T si u≈c.

Les muons peuvent donc parcourir la distance uT '≫cT.

d .'' Contraction ' ' des longueurs.

Soit un segment fixe dans (R) dont les extrémités ont pour abscisses x₁ et x₂.

Les mesures des abscisses dans (R'), faites au même instant t ', donneront x '₁ et x'₂ telles que : x₁=γx '₁ut ' et x₂=γx '₂ut ' d 'où x₂−x₁=γx'₂−x '₁ ⇒ x'₂−x '₁= x₂−x₁

γ x₂−x₁. Une longueur impropre est toujours inférieure à la longueur propre: ∆x'= ∆x

γ .

Remarque : y '=y et z'=z ; il n'y a pas de contraction pour les longueurs perpendiculaires à u.

III) Transformation des vitesses.

Dans (R), un point mobile est en M₁x, y , z à la date t et en M₂xdx ,ydy, zdz à tdt.

Dans (R'), les deux événements correspondant seront respectivement:

E '₁x ', y ', z ', t ' et E '₂x'dx ', y 'dy ', z 'dz', t 'dt '.

avec x '=γx−u t y'=y z '=z t '=γ



^{t−u xc2}



d 'où dx '=γdx−u dt dy '=dy dz '=dz dt'=γ



^{dt−u dxc2}



v '_x= dx '

dt ' = dx−u dt dt−u dx c²

v '_y= dy'

dt ' = dy

γ



^dt−udxc²



^{v 'z=}

dz '

dt ' = dz

γ



^dt−udxc²



v '_x= v_x−u 1−u v_x

c²

v '_y=1 γ

v_y 1−u v_x

c²

v'_z=1 γ

v_z 1−u v_x

c² La transformation inverse s'obtient toujours en changeant u en -u et v_x en v '_x.... Remarques :

•Si v_x± c alors v_y 0 et v_z 0 car ∥v∥ =



^vx

2v_y²v_z²c.

v '_x ±c−u 1∓u

c

= ±c ; v '_y0 ; v '_z 0 donc v ' ± c.

•Si v_x, v_y, v_z sont constants ,le référentiel R₀ lié à la particule est en translation rectiligne uniforme par rapport à (R) galiléen.

D'après les relations de transformation, v '_x, v'_y, v'_z sont aussi constants: R₀ est aussi en translation rectiligne uniforme par rapport à (R').

Donc tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

4 IV) Quadrivecteur vitesse.

a .Définition.

Soit une particule animée de la vitesse v par rapport à (R) galiléen.

Le facteur de Lorentz du référentiel R₀ lié à la particule est Γ= 1



^{1−vc22. v}

Dans (R), la particule est en M à la date t et en M' à la date t + dt. u Son vecteur position a donc varié de MM '=dOM pendant la

durée dt, durée impropre.

Cette durée est dilatée par rapport à la durée propre dt₀, mesurée dans R₀: dt=Γdt₀. On définit le quadrivecteur vitesse V de la particule par V= dOM

dt₀ =ΓdOM dt . OM=



^ctxyz



^{⇒ V=Γ}



^xyzc˙˙˙



^=Γ

^

^vc

^

^.

b .Changement de référentiel galiléen.

Comme pour tout quadrivecteur, la norme de V est invariante par changement de référentiel galiléen:

∥V∥²=Γ²v²−c² = −c² et ∥V '∥²=Γ'²v '²−c² =−c².

Lors du changement de référentiel galiléen R  R ', V se transforme en V ' en appliquant la transformation de Lorentz: V ' = LV.

On retrouve ainsi simplement les relations de transformation des composantes de la vitesse:

V'=Γ'



^{v 'v 'v 'cxyz}



^=Γ



^{−β γ00γ 0 01 00 10 0 −β γ00γ}



^vvvcxyz



^{⇒ ΓΓΓ}Γ^{' v '' v '' v '}'c^xyz==^{==ΓΓ γΓ}Γ γ^vvyzc^v−β^x−βv^{c 1}_x 4^{23} La relation (4) s'écrit aussi Γ'=Γ γ



^{1−u v}c^2x



; en reportant dans (1), (2) et (3):

v'_x= v_x−u 1−u v_x

c²

v '_y= 1 γ

v_y 1−u v_x

c²

v '_z=1 γ

v_z 1−u v_x

c²

x x' (R')

y'

O' (R₀)

(R) y

O M