Cinématique

1 CINÉMATIQUE 1) Définitions.

Cinématique : description du mouvement des objets indépendamment des causes de ce mouvement.

Point matériel : objet dont la position est définie par trois nombres (coordonnées).

Solide: ensemble de points matériels dont les distances mutuelles sont invariables.

Repère spatial: solide par rapport auquel on détermine la position des objets.

Habituellement représenté par un trièdre trirectangle.

Unité de longueur : le mètre est la longueur parcourue par la lumière dans le vide pendant une durée égale à 1

299 792 458 seconde.

Repère temporel ou chronologie : succession d'événements supposés identiques.

Unité de temps : la seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.

Référentiel : ensemble formé d'un repère spatial et d'une horloge fixe par rapport à ce repère.

2) Description du mouvement dans un référentiel . a . Vecteur position.

Base cartésienne Base cylindro−polaire Base sphérique

OM=xiyjzk OM=ρe_ρze_z OM=re_r

e_ρ=cosθisinθj e_r=sinθcosϕisinθsinϕjcosθk

e_θ= −sinθicosθj e_θ=cosθcosϕicosθsinϕj−sinθk

e_z= k e_ϕ=−sinϕicosϕj

x=ρcosθ x=r sinθcosϕ

y=ρsinθ y=r sinθsinϕ z=r cosθ b . Trajectoire .

Ensemble des positions successives d'un point dans un référentiel.

Elle dépend évidemment du référentiel choisi.

La position du point sur sa trajectoire, orientée et munie d'une origine O, peut être exprimée par son abscisse curviligne s= OM .

3) Vecteur vitesse: v=dOM dt

Base cartésienne : v= ˙xi ˙yj˙zk Base cylindrique : v= ˙ρe_ρρde_ρ

dt  ˙zk ; de_ρ= −sinθicosθjdθ=dθ e_θ

v= ˙ρ e_ρρθ˙ e_θ ˙z e_z

| | | composante axiale

| |composante orthoradiale

|composante radiale

O

M +

r y

O M

ϕ

e_ϕ e_r

e_ϕ x

θ e_θ z

k O y

M

θ ρ

e_θ e_ρ

e_ρ e_θ e_z

x z

i y

O

M

x k

j

2 Base sphérique :v= ˙r e_rrde_r

dt ; de_r=∂ e_r

dr dr∂ e_r

dθdθ∂ e_r

dϕdϕ=dθe_θsinθdϕ e_ϕ

v= ˙r e_rrθ˙ e_θr sinθϕ˙ e_ϕ

Base de Frenet : v= dOM ds

ds

dt ; dOM

ds = lim

M 'M

MM '

MM ' = τ = vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

v = ˙sτ Vecteur normal n : lim

M 'M

τ'−τ

MM ' = dτ ds = n

R_c ; dτ dα = n .

n est toujours orienté vers la concavité de la trajectoire. τ R_cest le rayon de courbureen M.

Le point C tel que MC=R_c est lecentre de courbure.

Le plan τ,nest leplan osculateuren M. n ' τ'

n τ'

Vecteur binormal b : b= τ∧n _τ ^{dτ= τ'− τ}

Le plan τ,b (plan rectifiant) est orthogonal au plan osculateur.

db

ds =− n

R_t ; R_t=rayon de torsionen M.

4) Vecteur accélération : a=dv

dt =d²OM dt² . Base cartésienne: a = ¨xi ¨yj ¨zk .

Base cylindrique :a= ˙ρe_ρρθ˙ e_θ ˙z e_z  a= ¨ρe_ρρde_ρ

dt  ˙ρθ˙ e_θρθ¨ e_θρθ˙ de_θ dt  ¨z e_z. avec de_ρ

dt = ˙θe_θ et de_θ

dt =− ˙θe_ρ.

a=  ¨ρ−ρθ˙²e_ρρθ2¨ ρ˙θ˙ e_θ¨z e_z ou a =  ¨ρ−ρθ˙²e_ρ1 ρ

dρ²θ˙

dt e_θ ¨ze_z. Base sphérique : v=r e_rrθ˙ e_θθsinθϕ˙ e_ϕ.

a=  ¨r−rθ˙²−r sin²θϕ˙²e_r2r˙θ˙ rθ−r sin¨ θcosθϕ˙²e_θ2˙r sinθϕ2 r cos˙ θθ˙ϕr sin˙ θϕ¨ e_ϕ.

Base de Frenet : v= ˙sτ  a= ¨sτ˙s dτ

dt avec dτ dt=dτ

ds ds dt = ˙s n

R_c a = ¨sτv²

R_cn a est toujours dans le plan osculateur τ,n.

 composante normale

∣

O

M

M'

M

M' C

dα