Facult´e des Sciences lesfariahmed@yahoo.fr D´epartement de Math´ematiques http://lesfari.com El Jadida
Exercices d’Alg`ebre et G´eom´etrie Exercice 1. Soit E un espace pr´ehilbertien et K =R ouC.
a) Montrer que
∀x, y1, y2 ∈E,∀α, β ∈K,hx, αy1 +βy2i=αhx, y1i+βhx, y2i.
b) Montrer que la condition (iii) (voir cours) a bien un sens et q’elle est
´equivalente `a
∀x∈E,hx, xi ≥0 et hx, xi= 0⇐⇒x= 0.
Exercice 2. SoitE =C([a, b],K),l’espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b] et soit F =Mm,n(K), l’espace vectoriel des matrices `am lignes et n colonnes `a ´el´ements dans K.
1) Montrer que les applications suivantes:
a) hf, gi= Z b
a
f(x)g(x)dx, K=R, b) hf, gi=
Z b
a
f(x)g(x)dx, K=C, d´eterminent un produit scalaire sur E.
2) Mˆeme question (sur F) pour a) hA, Bi=tr¡
BtA¢
, K=R, b) hA, Bi=tr(B∗A), K=C.
Exercice 3. Soit E = l2(R) l’espace vectoriel des suites de nombres r´eels (ak) telles que la s´erie P∞
k=1a2k, converge. On d´efinit sur E, une application par
ha, bi= X∞
k=1
akbk.
Exercice 4. Montrer que : ∀x, y ∈E, |hx, yi| ≤ ||x||.||y||.
Exercice 5. Soit x= (x1, . . . , xn)∈Rn. Montrer que les applicationskxki : Rn −→R+, d´efinies ci-dessous sont des normes sur Rn:
kxk1 = Xn
i=1
|xi|,
kxkp =
ÃXn
i=1
|xi|p
!1
p
, 1≤p≤ ∞, kxk∞ = max{|xi|: 1≤i≤n}. Exercice 6. Pour tout nombre r´eel p≥1, on d´efinit
k•kp :C([a, b],R)−→R, par
kfkp = µZ b
a
|f(x)|pdx
¶1p , et
kfk∞ = sup
x∈[a,b]
|f(x)|.
V´erifier que les applicationsk•kp (1≤p≤ ∞) ainsi d´efinies sont des normes.
Exercice 7. Soit E = C([0,1],R) l’espace vectoriel r´eel des fonctions con- tinues sur [0,1] et soitF le sous-ensemble de E constitu´e par les fonctions f
telles que : Z 1
0
f2(x) x dx, converge.
a) Montrer que si f ∈F,alors f(0) = 0.
b) Soit f une fonction telle que f(0) = 0 et d´erivable `a droite en 0.
Montrer quef ∈F.
c) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
d) Pour tousf, g ∈F,on pose hf, gi=
Z 1
0
f(x)g(x)
x dx.
Montrer que cette int´egrale a un sens et que c’est un produit scalaire sur F.
Exercice 8. Dans tout espace euclidien, d´emontrer que :
||x||=||y|| ⇐⇒(x−y)⊥(x+y). Faire une figure.
Exercice 9. Le produit scalaire usuel sur Cn est d´efinie par hu, vi=
Xn
i=1
uivi.
Soit F le sous-espace de C3, muni du produit scalaire usuel, engendr´e par (3,2, i) et (i,0,−3).Trouver une base de l’orthogonal de F.
Exercice 10. Soit R2[X], muni du produit scalaire hp, qi=p(0)q(0) +
Z 1
0
p(x)q(x)dx.
Soitp0(x) = 1.Trouver un polynˆome p1(x) de degr´e 1 et un polynˆomep2(x) de degr´e 2 tels que les conditions suivantes soient satisfaites :
i) p1(0) =p2(0) = 1.
ii) {p0, p1, p2} forme une base orthogonale de R2[X].
Exercice 11. Trouver une base et la dimension du sous-espace F de R4 engendr´e par
(1,2,0,3), (1,−1,1,0), (2,1,1,3), (3,0,2,3), (1,5,−1,6).
Mˆeme question pourF⊥, l’orthogonal de F.
Exercice 12. Soit B = (ei)1≤i≤n une base d’un espace pr´ehilbertien E de dimension finie et soit A la matrice du produit scalaire par rapport `a cette base. On d´esigne parX etY les matrices colonnes des coordonn´ees de deux vecteurs quelconques de E par rapport `a B. On suppose que la base B est orthonorm´ee. Montrer que
hX, Yi=
½ X∗Y si K =C XtY si K =R
Exercice 13. Dans l’espace vectoriel R3 muni du produit scalaire usuel, d´eterminer la projection du vecteur (−1,0,8) sur le sous-espace engendr´e par les vecteurs (1,0,1) et (0,1,1).
Exercice 14. Dans l’espace vectoriel r´eelC([0,2π],R) avec le produit scalaire Z 2π
0
f(x)g(x)dx,
trouver la projection def(x) =xsur le sous-espace engendr´e par les fonctions 1,cosx,sinx.
Exercice 15. Soit R2[X], muni du produit scalaire
hp, qi=p(−1)q(−1) +p(0)q(0) +p(1)q(1),
et soitF le sous-espace vectoriel des polynˆomes p(x)∈R2[X] tels que : p(1) = 0.
a) Trouver une base orthonorm´ee de F⊥, l’orthogonal de F.
b) Trouver les projections du polynˆome q(x) = x surF⊥ et sur F.
Exercice 16. Soit l’espace vectoriel complexe C4 muni du produit scalaire usuel et soitV le sous-espace d´efini par les ´equations :
1) Trouver une base orthonorm´ee deV⊥, l’orthogonal de V.
2) Trouver tous les vecteurs
x= (x1, x2, x3, x4)∈C4,
dont la projection orthogonale surV est (1,−i,1,−1) et satisfaisant de plus
les conditions : ½
x2 = 0, kxk= 2√
2.
Exercice 17. Les vecteurs (7i,0,0),(5−7i,3 + 4i,0),¡
8−9i,3√
2 + 4i,4 + 3i¢ forment une base de C3 en tant qu’espace vectoriel sur C. Orthonormaliser cette base par le proc´ed´e de Gram-Schmidt (on consid`ere que C3 est muni du produit scalaire usuel).
Exercice 18. Soientβ = (ei)1≤i≤n etγ = (fi)1≤i≤ndes bases orthonogonales de deux espaces pr´ehilbertiens E et F sur le mˆeme corps K(= RouC). Soit T : E −→ F une application lin´eaire et d´esignons par A = (aij)1≤i,j≤n la matrice deT par rapport aux bases β et γ. Montrer que
aij = hfi, T(ej)i hfi, fii . Que peut-on dire lorsque la base est orthonorm´ee?
Exercice 19. Soit E l’espace vectoriel des matrices r´eelles 2×2 sym´etriques, muni du produit scalaire
hA, Bi=tr¡ AtB¢
.
a) Prouver que {
µ 1 0 0 0
¶ ,
µ 0 1 1 1
¶ ,
µ 1 1 1 2
¶ }, forme une base de E.
b) Orthonormaliser cette base par le proc´ed´e de Gram-Schmidt.
Exercice 20. Soit F un sous-espace d’un espace pr´ehilbertien E de dimension finie. Montrer que
(F⊥)⊥ .
Exercice 21. On consid`ere la matrice complexe A d’ordre 4 etb ∈C:
A=
1 1 i 1
−i −1 −1 1
i i+ 1 i 0
−1 0 1 −1−i
, b=¡
i i i i ¢ .
a) Trouver la projection orthogonale deb surImA (pour le produit scalaire usuel sur C4).
b) Trouver tous les vecteurs de ImAqui sont orthogonaux `a b.
Exercice 22. Sur l’espaceR2[X], on d´efinit un produit scalaire par hp, qi=
Z 1
0
p(x)q(x)dx.
a) Donner la matrice de ce produit scalaire par rapport `a la base canonique deR2[X].
b) Appliquer le proc´ed´e de Gram-Schmidt pour obtenir une base orthonorm´ee
`a partir de la base canonique.
Exercice 23. Soit W le sous-espace vectoriel de C3 d´efini par W ={(x1, x2, x3)∈C3 :x1+ix2+x3 = 0}.
a) Donner une base orthogonale deW (pour le produit scalaire usuel surC3).
b) SoitA l’op´erateur lin´eaire surC3 qui envoie tout vecteur sur sa projection orthogonale surW.Trouver la matrice de Apar rapport `a la base canonique deC3.
Exercice 24. Soitβ = (e1, e2, e3) une base deR3.On suppose que la matrice du produit scalaire par rapport `a la base β est
2 u v u 2 1 v 1 2
.
On suppose de plus que l’angle dee1 et e3 est π3 et ke1+e2k= 2.
a) Trouveru et v.
b) Trouver la projection orthogonale dee3 sur le plan de e1 ete2.
Exercice 25. (Extrait de l’examen, PIII, 2003-2004): Soit E un espace eu- clidien de dimension n (n ∈ N∗). Soit F un sous espace vectoriel de E de dimension m≤n.
1◦) D´emontrer que pour tout x de E, il existe un ´el´ement unique p de F tel que: x−p soit dans F⊥. On pose prF(x) = p o`u prF est la projection orthogonale de E sur F.
2◦)a) D´emontrer que:
∀x∈E, ∀y∈F, kx−yk ≥ kx−prF(x)k.
kx−prF(x)k est la distance de x `aF.
b) Dans l’espace euclidien R3, d´eterminer la distance de a = (a1, a2, a3) au plan Q
d’´equation b1x1 +b2x2 +b3x3 = 0, o`u b = (b1, b2, b3) est donn´e dans R3\ {(0,0,0)}.
3◦)Soit(e1, e2, ..., ep) une base orthogonale de F. D´emontrer que:
∀x∈E, prF(x) = Xm
i=1
hx, eii hei, eiiei. Que devient cette expression si la base est orthonorm´ee ? Exercice 26. (Devoir facultatif).
I) Th´eorie :
I.1. Polynˆomes de Legendre : Soit h,i, l’ application de R[X]×R[X] dans Rd´efinie par
hp, qi= Z 1
−1
p(x)q(x)dx.
a) Montrer que (R[X],h,i) est un espace pr´ehilbertien r´eel.b) En appliquant
`a (xn)n∈Nle proc´ed´e de Gram-Schmidt, montrer qu’il existe une seule famille de polynˆomes (pn(x))n∈N formant une base orthogonale de R[X]. Calculer explicitement les polynˆomes multiples de pn(x), qui prennent la valeur 1 en x = 1. Les polynˆomes seront not´es Pn(x) (polynˆomes de Legendre). c) V´erifier la formule d’Olinde-Rodrigues
Pn(x) = 1 2nn!
dn dxn
¡x2−1¢n .
d) On pose
G(t, x) = 1
√1−2tx+t2. Montrer que
G(t, x) = X∞
n=0
Pn(x)tn.
La fonction G(t, x) est appel´ee fonction g´en´eratrice des polynˆomes Pn(x). e) Etablir la propri´et´e d’orthogonalit´e
Z 1
−1
Pm(x)Pn(x)dx= 0, m6=n,
et montrer que Z 1
−1
Pn2(x)dx= 2 1 + 2n.
f) Montrer que les polynˆomes de Legendre satisfont aux relations de r´ecurrence (n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xPn(x)−nPn−1(x),
Pn(x) =Pn+10 (x) +Pn−10 (x)−2xPn0 (x), xPn0 (x)−nPn(x) =Pn−10 (x), Pn+10 (x)−Pn−10 (x) = (2n+ 1)Pn(x). g) Montrer que
Pn(−x) = (−1)nPn(x), Pn(1) = 1, P2n+1(0) = 0, P2n(0) = (−1)n(2n)!
22n(n!)2 . I.2. Polynˆomes de Laguerre : Les polynˆomes de Laguerre sont d´efinies par la formule d’Olinde-Rodrigues
Ln(x) =ex dn dxn
¡xne−x¢
, n∈N.
a) Montrer que
e1−txt 1−t =
X∞
n=o
Ln(x) n! tn.
Cette fonction s’appelle fonction g´en´eratrice des polynˆomesLn(x). b) V´erifier que
L0(x) = 1, L1(x) = 1−x,
L2(x) = 2−4x+x2, L3(x) = 6−18x−x3. c) Etablir les relations de r´ecurrence suivantes :
Ln+1(x)−(2n+ 1−x)Ln(x) +n2Ln−1(x) = 0, L0n(x)−nL0n−1(x) +nLn−1(x) = 0, xL0n(x)−nLn(x) +n2Ln−1(x) = 0.
d) Montrer que les polynˆomes de Laguerre sont orthogonaux dans [0,+∞[
avec la fonction de poidse−x c’est-`a-dire que l’on a Z +∞
0
e−xLm(x)Ln(x)dx=
½ 0 si m6=n, (n!)2 si m=n.
e) Montrer queLn(x) satisfait `a l’´equation diff´erentielle de Laguerre : xL00n(x) + (1−x)L0n(x) +nLn(x) = 0.
I.3.Polynˆomes d’Hermite : On consid`ere le d´eveloppement en s´erie e−t2+2tx=
X∞
n=0
Hn(x)
n! tn(x),
o`uHn(x) est un polynˆome de degr´enappel´e polynˆome d’Hermite, la fonction e−t2+2tx s’appelle fonction g´en´eratrice des polynˆomes Hn(x). a) En d´eduire que
H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2 −2, H3(x) = 8x3−12x, H4(x) = 16x4−48x2+ 12.
b) V´erifier la formule d’Olinde-Rdrigues Hn(x) = (−1)nex2 dn
dxn
³ e−x2
´ .
Cette formule est souvent utilis´ee comme d´efinition des polynˆomes d’Hermite.
c) Etablir les formules de r´ecurrence suivantes :
Hn+1(x) = 2xHn(x)−2nHn−1(x),
Hn0 (x) = 2nHn−1(x).
d) Montrer que les polynˆomes d’Hermite sont orthogonaux dans R avec la fonction de poidse−x2 c’est-`a-dire que l’on a
Z ∞
−∞
e−x2Hm(x)Hn(x)dx=
½ 0 si m6=n, 2nn!√
π si m=n.
e) Montrer queHn(x) satisfait `a l’´equation diff´erentielle d’Hermite Hn00(x)−2xHn0 (x) + 2nHn(x) = 0.
II) Applications:
II.1. R´esolution de l’`equation de Laplace en coordonn´ees sph´eriques : Les fonctions sph´eriques constituent une classe importante de fonctions sp´eciales.
On les rencontre par exemple en r´esolvant l’´equation de Laplace
∆u= ∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 +∂2u
∂z2 = 0.
Puisque les solutions continues de l’´equation de Laplace portent le nom de fonctions harmoniques, les fonctions sph´eriques sont aussi appel´ees har- moniques sph´eriques. En coordonn´ees sph´eriquesr, θ, ϕ,cette ´equation s’´ecrit
1 r2
∂
∂r µ
r2∂u
∂r
¶
+ 1
r2sinθ
∂
∂θ µ
sinθ∂u
∂θ
¶
+ 1
r2sin2θ
∂2u
∂ϕ2 = 0.
Question : D´eterminer les solutions particuli`eres (born´ees et continues) de cette ´equation par la m´ethode de s´eparation des variables; `a cet effet on posera
u(r, θ, ϕ) =R(r).Θ (θ).Φ(ϕ),
o`u Φ(ϕ) est uniforme et 2π−p´eriodique, tandis queR(r).Θ (θ) un polynˆome trigonom´etrique. (indication : utiliser les polynˆomes de Legendre). Interpr´eter les r´esultats obtenus.
II.2.R´esolution de l’´equation de Schr¨odinger pour le champ central, Atome hydrog´enoide: Le probl`eme fondamental de la m´ecanique quantique de l’atome est celui du mouvement de l’´electron dans un champ d’attraction central.
L’importance de ce probl`eme tient `a ce que l’hypoth`ese du champ central utilis´ee `a la description du mouvement des ´el´ectrons de l’atome s’av`ere tr`es fructueuse pour le calcul des diff´erentes propri´et´es des structures atomiques.
Une telle description permet de se faire une id´ee plus nette des particularit´es du comportement des atomes et de d´eterminer leurs ´etats ´energiques sans avoir `a r´esoudre le probl`eme de m´ecanique quantique des N corps qui pr´esente des difficult´es quasi insurmontables. Consid´erons l’´equation de Schr¨odinger :
∆Ψ +2µ
( E−U)Ψ = 0,
o`u
∆ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2,
~ est la constante de Planck, µ la masse de la particule, U l’´energie poten- tielle et Ψ la fonction d’onde de la particule. Il n’existe qu’un seul atome pour lequel l’´equation de Schr¨odinger admette une solution exacte : c’est l’atome d’hydrog`ene. Or, cel`a ne diminue nullement l’intˆeret de cette solution ex- acte, car les solutionss analytiques obtenues sous forme explicite s’av`erent souvent utiles comme point de d´epart pour les calculs approch´es relatifs `a des syst`emes de m´ecanique quantique plus compliqu´es. Pour la description de l’atome d’hydrog`ene en termes de m´ecanique, il convient de consid´erer le mouvement relatif de l’´electron (masse m, charge −e) et du noyau (masse M, charge e). L’objet ici est de r´esoudre un probl`eme plus g´en´eral, en sup- posant que la charge du noyau soit Ze. Ce probl`eme pr´esente un int´erˆet physique imm´ediat, car les valeurs propres de l’´energie calcul´eses dans ce cas correspondent `a des valeurs relativement pr`es, aux niveaux d’´energie ob- sev´es de l’atome d’hydrog`ene (Z = 1), de l’atome d’h´elium simplement ionis´e (Z = 2), etc... Un mod`ele d’atome hydrog´enoide s’av`ere en outre utile par exemple pour l’´etude des spectres des ´el´ements alcalins ainsi que des spectres des rayonsX des atomes `a Z ´elev´e. Le probl`eme du mouvement de l’´electron se r´eduit facilement `a celui du mouvement d’un corps unique : une particule de masse r´eduite
µ= mM
m+M ∼m,
mobile dans un champ coulombienU(r) = −Zer2,c’est-`a-dire `a l’´equation de Schr¨odinger :
∆Ψ + 2µ
~ µ
E+Ze2 r
¶
Ψ = 0.
o`u r est la distance de l’´electron en mouvement au noyau, que l’on prend pour origine des coordonn´ees.
Question : D´eterminer des solutions Ψ (x, y, z) de l’´equation ci-dessus qui soient uniformes, born´ees dans tout l’espace et nulles `a l’infini (indication:
utiliser les polynˆomes de Legendre et les polynˆomes de Laguerre). Interpr´eter les r´esultats obtenus.
II.3.Oscillateur harmonique : Le probl`eme de l’oscillateur harmonique joue un rˆole fondamental dans le d´eveloppement de l’´el´ectrodynamique quan- tique; il est fr´equement employ´e lors de l’´etude d’oscillations diverses dans les cristaux et les mol´ecules. L’´equation de Schr¨odinger pour la fonction d’onde Ψ (x) de l’oscillateur harmonique s’´ecrit
− ~2 2m
d2ψ
dx2 +mω2
2 x2ψ =Eψ, − ∞ hx h ∞,
o`um est la masse de la particule, xson ´ecart de la position d’´equilibre, ω la pulsation, ~la constante de Plank et E l’´energie.
Question : D´eterminer les valeurs propres de l’energie E et les fonctions propres telles que la fonction Ψ (x) soit continue et v´erifie la condition de
normalisation Z ∞
−∞
Ψ2(x)dx= 1.
(indication: utiliser les polynˆomes d’Hermite).
Exercice 27. Soit l’espaceC([−π, π],R) muni du produit scalaire hf, gi=
Z π
−π
f(x)g(x)dx.
On pose
ϕ0(x) = √12π,
ϕ2k−1(x) = √1π sinkx, k ≥1, ϕ2k(x) = √1π coskx, k ≥1.
SoitSle sous-espace deC([−π, π],R) engendr´e par les fonctionsϕ0, ϕ1, . . . , ϕ2n. a) Montrer que les fonctions ϕk sont orthonorm´ees.
b) Soit f ∈ C([−π, π],R). D´eterminer la projection orthogonale p de f sur S.Montrer que
p= X2n
k=0
ckϕk, o`uck =hf, ϕki, 0≤k≤2n.
Exercice 28. SoitEun espace pr´ehilbertien. Pour toute suite finie (x1, . . . , xn) de points deE,on appelle d´eterminant de Gram desxile scalaireG(x1, . . . , xn)
´egal au d´eterminant des produits scalaires hxi, xji.
a) Montrer que G(x1, . . . , xn) ≥ 0 et que la relation G(x1, . . . , xn) i 0
´equivaut `a dire que les xi sont li´eairement ind´ependants (utiliser une base orthonormale dans l’espace vectoriel engendr´e par lesxi).
b) Montrer que si lesxi sont lin´eairement ind´ependants, la distance d’un point xquelconque deE `a l’espace vectorielLengendr´e par les xi a son carr´e ´egal
`a G(x, x1, . . . , xn)
G(x1, . . . , xn) .
Exercice 29. D´ecomposer les matrices suivantes en un produit Q.R. o`u Q est une matrice dont les colonnes sont orthogonales et R une matrice carr´e triangulaire sup´erieure:
µ √1 −2 3 2√
3
¶ ,
µ 3 0 4 5
¶ ,
0 0 1 0 1 1 1 1 1
,
2 −2 32
2 −5 −9
1 −4 3
.
Exercice 30. Soit T un op´erateur lin´eaire sur un espace pr´ehilb´ertienE de dimension finie.
a) Montrer que l’adjointT∗ deT existe et est unique.
b) Soit A la matrice de T par rapport `a une base orthonorm´ee B de E.
Montrer queA∗ (adjointe de A) est la matrice de T∗ par rapport `a la mˆeme base B.
Exercice 31. Soit T :C3[x]−→C3[x],l’application lin´eaire d´efinie par T (1) =x+ix3,
T (x) = 2−x2, T ¡
x2¢
=i−x+ (1 +i)x2, T¡
x3¢
=x3−i.
On suppose que C3[x] muni du produit scalaire suivant:
hp, qi=a0b0+a1b1+a2b2 +a3b3,
si p(x) = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 et p(x) =b0+b1x+b2x2 +b3x3. D´ecrire T∗, l’op´erateur adjoint de T et donner sa matrice dans la base canonique.
Exercice 32. On d´efinit une transformation lin´eaire de Lorentz comme une transformation lin´eairet : R4 −→R4, qui laisse invariante la forme quadra- tique :x21+x22+x23−x24.Montrer qu’une matrice r´eelleAd’ordre 4 d´efinit une transformation de LorentztAsi et seulement si : detA6= 0 et A−1 =DAtD−1 o`u D est la matrice diagonale qui a pour termes diagonaux 1,1,1 et −1.
Exercice 33. Soit E =C∞([a, b],R) avec le produit scalaire : hf, gi=
Z b
a
f(x)g(x)dx,
et soit h ∈ E une fonction telle que : h(a) = h(b) = 0. On d´efinit un op´erateur T surE par T(f) = (hf0)0. Montrer que T est auto-adjoint.
Exercice 34. Soit T un op´erateur lin´eaire sur un espace pr´ehilbertien com- plexe E. Etablir qu’il existe un unique couple (R, S) d’op´erateurs auto- adjoints de E tels que : T = R+iS. Montrer que T et T∗ commutent si et seulement siR etS commutent.
Exercice 35. Soient E un espace pr´ehilbertien, F un sous-espace de E de dimension finie et P : E −→ E, l’op´erateur lin´eaire qui envoie tout vecteur de E sur sa projection orthogonale dans F. Montrer que l’op´erateur P est auto-adjoint.