Cinématique
PC Lycée Dupuy de Lôme
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Particule de fluide À l’échelle microscopique
Échelle microscopique
Telle que le l’on puisse discerner les molécules. Cela correspond à des grandeurs de l’ordre du nm
Libre parcours moyen
Distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs
Mouvement Brownien
Mouvement désordonné des particules
À l’échelle microscopique, il n’est pas possible d’étudier le mouvement des molécules, beaucoup trop désordonné.
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Particule de fluide À l’échelle mésoscopique
Échelle mésoscopique
Telle que le libre parcours moyen soit une grandeur très petite et les dimensions du système étudié très grandes. Cela correspond à des grandeurs de l’ordre du µm
A cette échelle, ⟨Ð→vagitation⟩=Ð→0
µ= dm
dτ , exprimée en kg.m−3
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Particule de fluide À l’échelle macroscopique
Particule de fluide
Volume de fluide de dimensions mésoscopiques, centré en un pointP caractérisé par sa masse volumique µ(P)
C’est l’étude cinématique de ces particules de fluide qui va maintenant nous intéresser.
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Champ des vitesses Approches Lagrangienne/Eulérienne
Description Lagrengienne
On suit une particule de fluide tout au long de son mouvement. On décrit l’évolution de la vitesse de la particule de fluide au cours du temps. C’est l’approche classique en mécanique
Description Eulérienne
On observe un pointM fixé de l’espace. On décrit alors l’évolution de la vitesse d’écoulement du fluide en ce point au cours du temps
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Champ des vitesses Approches Lagrangienne/Eulérienne
: Approche Eulérienne : Approche Lagrangienne
Champs scalaire et vectoriel
En mécanique des fluides, on utilisera l’approche Eulérienne pour exprimer les différentes grandeurs en un point M fixe dans le référentielRà l’instant t
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Champ des vitesses Accélération particulaire
Champ de vitesses
On considèreÐ→v(M, t) le champ Eulérien des vitesses pour le fluide.
La description utilisée du champ des vitesses est la description Eulérienne.
Un bilan dynamique devra se faire sur un système fermé : une particule de fluide.
Ð→a(particule)≠ ∂Ð→v
∂t
On va rechercher l’expression d’un opérateur nommé dérivée particulaire D
Dt tel que
Ð→a(particule)= DÐ→v Dt
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Champ des vitesses Accélération particulaire
ÐÐÐÐ→ v(M,t)
ÐÐÐÐÐ→
v(M′, t)
Démonstration : demoMF2-1
Accélération particulaire
Pour une particule de fluide en un pointM à l’instantt et siÐ→v(M, t)est le champ Eulérien des vitesses,
- b Ð→aparticule(M, t)= ∂Ð→v(M, t)
∂t + (Ð→v(M, t)⋅ÐÐ→grad)Ð→v(M, t)
Sens physique
On peut séparer cette expression en deux termes : Ð→
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Champ des vitesses Accélération particulaire
ÐÐÐÐÐÐÐ→
v(M,t+dt)
ÐÐÐÐÐÐÐÐ→
v(M′, t+dt)
Démonstration : demoMF2-1
Accélération particulaire
Pour une particule de fluide en un pointM à l’instantt et siÐ→v(M, t)est le champ Eulérien des vitesses,
- b Ð→aparticule(M, t)= ∂Ð→v(M, t)
∂t +(Ð→v(M, t)⋅ÐÐ→grad)Ð→v(M, t)
Sens physique
On peut séparer cette expression en deux termes : Ð→
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Bilan de masse Débit massique
Débit volumique et massique
Le débit volumique correspond à un flux de volume à travers une section S. On le note DvLe débit massique correspond à un flux de masse à travers une section S. On le note Dm
On définit des densités de courant volumiqueÐ→jv et massiqueÐ→jm tels que
Dv =∬sÐ→jv ⋅Ð→dS et Dm=∬sÐ→jm⋅Ð→dS
Densité de courant volumique et massique
- b Ð→jv =Ð→v et Ð→jm=µ.Ð→v
La recherche de ces expressions est analogue à la mise en place des expressions de densités de flux de particule par exemple.
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Bilan de masse Dérivée particulaire de la masse volumique
ÐÐÐÐ→ v(M,t)
ÐÐÐÐÐ→
v(M′, t)
Démonstration : demoMF2-2
Dérivée particulaire de la masse volumique
Pour une particule de fluide en un pointM à l’instantt et siµ(M, t) est le champ Eulérien de la masse volumique,
- b Dµ
dt = ∂µ(M, t)
∂t +(Ð→v(M, t)⋅ÐÐ→grad)µ(M, t)
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Bilan de masse Dérivée particulaire de la masse volumique
ÐÐÐÐÐÐÐ→
v(M,t+dt)
ÐÐÐÐÐÐÐÐ→
v(M′, t+dt)
Démonstration : demoMF2-2
Dérivée particulaire de la masse volumique
Pour une particule de fluide en un pointM à l’instantt et siµ(M, t) est le champ Eulérien de la masse volumique,
- b Dµ
dt = ∂µ(M, t)
∂t +(Ð→v(M, t)⋅ÐÐ→grad)µ(M, t)
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Bilan de masse Conservation de la masse
Bilan sur une tranchedx de fluide et un écoulement unidimensionnel où Ð→v(M, t)=v(x, t).Ð→ex etµ(M, t)=µ(x, t)
En effectuant un bilan local de masse sur une tranchedx de fluide, trouver une relation entreµ etÐ→v
x−dx 2 x+dx
2
Conservation de la masse
Pour un écoulement quelconque, le principe de conservation de la masse se traduit par
- b Dµ
Dt +µ.divÐ→v =0
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Bilan de masse Conservation de la masse
Bilan sur une tranchedx de fluide et un écoulement unidimensionnel où Ð→v(M, t)=v(x, t).Ð→ex etµ(M, t)=µ(x, t)
En effectuant un bilan local de masse sur une tranchedx de fluide, trouver une relation entreµ etÐ→v
Ð→jm(x) Ð→jm(x+dx)
x−dx 2 x+dx
2
Conservation de la masse
Pour un écoulement quelconque, le principe de conservation de la masse se traduit par
- b Dµ
Dt +µ.divÐ→v =0
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Description d’un écoulement Écoulement incompressible
Cas de l’écoulement incompressible
Un écoulement est dit incompressible si une particule de fluide voit sa masse volumique constante au cours de l’écoulement, alors
- b (dµparticule dt )
ec. incomp.
=0 Ô⇒ divÐ→v =0
Forme intégrale :
Conservation du débit volumique Le débit volumique est conservé à travers toute section d’un tube de courant
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Description d’un écoulement Écoulement stationnaire
Écoulement stationnaire
Il s’agit d’un écoulement pour lequel tous les champs Eulériens sont indépendants du temps
L’accélération particulaire peut être non nulle dans un écoulement sta- tionnaire
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Description d’un écoulement Écoulement irrotationnel
Écoulement irrotationnel
Un écoulement est dit irrotationnel si une particule de fluide ne subit pas de rotation au cours de son écoulement. D’un point de vue du champ Eulérien des vitesses, on doit vérifier
Ð→rotÐ→v =Ð→0
Potentiel des vitesses
Pour un écoulement irrotationnel, on peut définir un potentiel des vitesse ϕtel que
Ð→v =ÐÐ→gradϕ
Application : Montrer que l’écoulement caractérisé parÐ→v =r.ω.Ð→eθ est rotationnel.
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