Chapitre III : Cinématique - Changement de repère
Composition du mouvement
III.1 Introduction
III.2 Mouvement relatif de deux repères
R
etR’
III.2.1 Position du problème
III.2.2 Vecteur-vitesse instantané de rotation III.3 Loi de composition des vecteurs-vitesses III.4 Loi de composition des vecteurs-accélérations III.5 A retenir
Pr. Fatima BOUYAHIA
1ère Année Cycle Préparatoire
Fatima BOUYAHIA 2
III.1 Introduction
Nous nous proposons d’établir le lien entre les mouvements d’un même point matériel dans deux repères distincts R et R’, eux même en mouvement relatif l’un par rapport à l’autre.
C’est Galilée qui avait entretenu dans un premier temps la relation entre les vitesses d’une même particule dans R et R’,. Les relations précises et générales sur les vecteurs- vitesses et les vecteurs-accélérations ont été déduites par Coriolis en 1836.
III.2 Mouvement relatif de deux repères R et R’
III .2.1 Position du problème
Soient deux repères R et R’ auxquels on associe respectivement les référentiels R (O, x, y, z)et
R’(O’, x’, y’, z’). Pour déterminer le mouvement de R’
par rapport à R, il va falloir déterminer à tout instant la position dans R de tout lié à R’.
Dans R’ :
z y
x y e z e
e x M
o' ' ' ' ' ' ' '
On suppose dans cette démarche que les composantes x', y'et z' sont constantes.
III.2.2 Vecteur-vitesse instantané de rotation Trouvons la vitesse :
dt R e z d dt R
e y d dt R
e x d dt R
OO d dt R
OM
d x y 'z
' ' ' '
' '
z y
x e et e
e' , ' ' sont unitaires et orthogonaux entre eux.
Nous allons exploiter ces deux caractéristiques.
Galilée Galileo Galilei
Physicien et Astronome italien
1564-1642
Gustave-Gaspard de Coriolis Mathématicien
Français 1792-1843
R R’
?? =
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z y
x e et e
e' , ' ' sont unitaires
dt R e e d
et dt R
e e d
dt R e
ex d x y y z 'z
' ' '
,
' '
En supposant que : x x ex dt
e
d ' ' '
Avec 'x un nouveau vecteur de composantes
xz xy xx x
' ' ' '
.
On déduit que :
xy z xz y
x e e
dt e
d ' ' ' ' '
Et par analogie :
yz y yx z
y e e
dt e
d ' ' ' ' '
zy y zz x
z e e
dt e
d ' ' ' ' '
Remarque :
les composantes 'xx,'yy et 'zz
………
………..……….
z y
x e et e
e' , ' ' sont orthogonaux entre eux
...
...
...
...
...
...
...
...
...
) ' . '
(ex e y
dt d
...
...
...
...
...
...
...
...
...
) ' . '
(ex e y
dt d
...
...
...
...
...
...
...
...
...
) ' . '
(ex e y
dt d
On pose :
xz yz z
zy xy y
yx zx x
' ' '
' ' '
' ' '
Etant donnée l’indétermination des composantes 'xx,'yy et 'zzelles peuvent prendre des valeurs quelconques. On écrit :
Par analogie
Fatima BOUYAHIA 4
z z y y
x x z
z z y y
x x y
z z y y
x x x
e e
e
e e
e
e e
e
' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' '
Il est donc possible de trouver un seul vecteur R'R
tel que :
z z
y y
x x
R e R dt
e d
R e R dt
e d
R e R dt
e d
' ' '
' ' '
' ' '
Ce vecteur caractérise la vitesse de rotation des axes de R’ dans R. Il est appelé vecteur-vitesse instantané de rotation de R’ par rapport à R.
Application :
On considère le repère relatif R’ de coordonnées cylindriques. Déterminons R'R
; R étant le repère cartésien.
Fatima BOUYAHIA 5
III.3 Loi de composition des vecteurs-vitesse
La vitesse dans R est donnée par :dt R M O d dt R
OO d dt R
M O
d '
' ' '
'
……….
……….
………
………..
………..
………
' ' ) '
' (
R M V
R O R R
O V R
Va r
Soit la loi de composition des vecteurs-vitesses donnée par :
' R V R V R
Va e r
La vitesse d’entraînement Ve représenta la vitesse de M dans R en considérant que M est fixe dans R’. Il se compose d’une translation et d’une rotation.
III.4 Loi de composition des vecteurs-accélération
L’accélération dans R est donnée par :=
=
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dt R V d dt R
V d dt R
V
d a r e
Donc :
……….
………
………..
………..
………
………
………
………
………
………
………
Soit la loi de composition des vecteurs - accélérations donnée par :
'
' R
R R
R
c e
r
a
III.5 A retenir
………
………
………
………
………
