حول بعض المعادلات التفاضلية الكسرية

€Qê ®Ë@

3 éÓY®Ó

éJËð

@ ÕæëA ®Ó : È ð

B@ ɒ ®Ë@

6 é“A g ©K.@ñK ð ­KPAªK ¹

6 ( Beta ) AJK. ©K.AJË@ ð ^{( Gamma )} AÓAg. ©K.AJË@ ^1.1

6 AÓAg. ©K.AJË@ ­KQªK ^1.1.1

6 AJK. ©K.AJË@ ­KQªK ^2.1.1

6 AÓAg. ©K.AJËAK. AJK. ©K.AJË@ é¯C« ^3.1.1

6 ( Laplace ) €CK.B ÉKñm' ^2.1

7 ©K.AJË €CK.B ÉKñm' ^1.2.1

7 €CK.B ÉKñm' éJ¢ k ^2.2.1

7 áªK.AJË ­ÊË@ Z@Ym.Ì €CK.B ÉKñm' ^3.2.1

7 n éJ.KQË@ áÓ ©K.AK ‡J ‚ÖÏ €CK.B ÉKñm' ^4.2.1

8 ú愺ªË@ €CK.B ÉKñm' ^5.2.1

8 ( Mittag - Leffler ) QÊ ®Ë - †AJJÓ ©K.AK ^3.1

8 QÊ ®Ë - †AJJÓ ©K.AK ­KQªK ^1.3.1

8 QÊ ®Ë - †AJJÓ ©K.AJË €CK.B ÉKñm' ^2.3.1

10 áKQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ ²

11 (Riemann−Liouville) ÉJ ¯ñJË - àAÖßP Ðñê ®Öß. áKQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ ^1.2

11 ÉJ ¯ñJË - àAÖßP Ðñê ®Öß. øQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ­KQªK ^1.1.2

11 ÉJ ¯ñJË - àAÖßP Ðñê ®Öß. øQ儺Ë@ ‡J ‚ÖÏ@ ­KQªK ^2.1.2

13 @ñ k ^3.1.2

1

21 (Caputo) ñKñK.A¿ Ðñê ®Öß. øQ儺Ë@ ‡J ‚ÖÏ@ ^2.2

21 ñKñK.A¿ Ðñê ®Öß. øQ儺Ë@ ‡J ‚ÖÏ@ ­KQªK ^1.2.2

22 @ñ k ^2.2.2

23 ñKñK.A¿ Ðñê ®Öß.ð ÉJ ¯ñJË - àAÖßP Ðñê ®Öß. øQ儺Ë@ ‡J ‚ÖÏ@ áK. é¯CªË@ ^3.2

éKQ儺Ë@ éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ‘ªK. : ú GAJË@ ɒ ®Ë@

25 (Banach) pA JJ.Ë èYÓA’Ë@ 颮 JË@ éKQ ¢ ‡JJ.¢K. éJ K@YgñË@ð Xñk.ñË@ ¹

32 €CK.B ÉKñm' é®KQ£ ‡JJ.¢K. éKQ儺Ë@ éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ Ég ²

33 ÉJ ¯ñJË - àAÖßP Ðñê ®Öß. øQ儺Ë@ ÉÓA¾JÊË €CK.B ÉKñm' ^1.2

33 ÉJ ¯ñJË - àAÖßP Ðñê ®Öß. øQ儺Ë@ ‡J ‚ÒÊË €CK.B ÉKñm' ^2.2

34 éÊJÓ@ ^3.2

38 ÈA®ÒÊË hQå… ³

88 Solutions to a class of nonlinear differential equations of fractional order ^′′

88 éKQ儻 éJ.KQK. éJ¢ mÌ'@ Q « éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ÈñÊg ^′′

( Nikolai Kosmatov ) ¬ñJÖޅñ» øBñºJ K Ë

38 Q» YK ^1.3

39 Xñk.ñË@ éƒ@PX ^2.3

HBXAªÖÏ@ ð áKQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ HA®JJ.¢ ‘ªK. : IËAJË@ ɒ ®Ë@

éKQ儺Ë@ éJÊ “A ®JË@

49 AJk.ñËñJJ.Ë@ ú ¯ ø Q儺Ë@ H.A‚mÌ'@ ¹

50 ZAK Q ®Ë@ ú ¯ ø Q儺Ë@ H.A‚mÌ'@ ²

53 éÖßA g

54 ©k.@QÖÏ@

2

éÓY®Ó

úæ •AKQË@ ÉJÊjJË@ HBAm.× Yg

@ ñë ⁽ øQ儺Ë@ ÉJÊjJË@ ⁾ áKQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ H.A‚k à@

Qê £ é K

@ Ñ «Pð , ^C ð

@ ^R ú ¯ éjJm• Q « I.KQK. ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ HA®JJ.¢ ð Im'. ¯A JK ø YË@

XCJÓ à@ úΫ HAJ “AKQË@ t'PAK ú ¯ áJkAJ.Ë@ Ñ ¢ªÓ †A ®KB Õç'Y¯ ñê ¯ .AJKYg Q.JªK é K

@ B@ AÖßY¯ ðX Q»PAÓ ^′′ IªK. , ¹⁶⁹⁵ QJ.ÒJ.ƒ ³⁰ ù ® ¯ ,AJ.KQ®K é Jƒ ³⁰⁰ ùË@ñk úÍ@ XñªK øQ儺Ë@ ÉJÊjJË@

Q J.KB ÕËñêÊKð YKQ ®Kñ « ^′′ úÍ@ éËAƒQK. ⁸⁸ (M arquis de l^′Hopital)ˆ ÈAJK.ñË áÓ ‡J ‚ÖÏ@ H.A‚m'. ‡ÊªJÖÏ@ éJj.K. é“A g é ¢kCÓ á« èAK@ CKAƒ ⁸⁸ (Gottf rid W ilhelm Leibniz)

àA¿ X@ †A®J ƒB@ éj.J K ùëAÓ ^′′ : úGBA¿ ÈAJK.ñË È@ñƒ àA¿ ð . ^{f(v) =v} éË@YÊË ^d_dv^nvn : ⁿ éJ.KQË@

. ⁸⁸ ... éj’Ë@ ÉÒJm' ñê ¯ ½Ë X ©Ó A ’¯A JJÓ ðYJ.K È@ñ‚Ë@ ^′′ : úÎKAÒ» Q J.KB H.@ñk. àA¾ ¯ , ⁸⁸ ? ^{n = 1}₂ . øQ儺Ë@ ÉJÊjJË@ Pñê £ Õç' HAÒʾË@ è YîE.

QËð

@ : Ñî DJK. áÓ Q» Y K ZAK Q ®Ë@ ð HAJ “AKQË@ ZAÒÊ« ¬Q£ áÓ @QJ.» AÓAÒJë@ ¨ñ “ñÖÏ@ @ Yë ÈA K Õç' úGPñ ¯ , ¹⁸¹² ú ¯ ⁽¹⁷⁴⁹⁻1827) (Laplace) €CK.B , ¹⁷³⁰ ú ¯ ⁽¹⁷⁰⁷⁻1783) (L.Euler)

, ¹⁸³² ú ¯ ^{(1809−1882) (}J.Liouville) ÉJ ¯ñJË , ¹⁸²² ú ¯ ^{(1768−1830) (}J.B.J.F ourier)

... ¹⁸⁴⁷ ú ¯ ^{(1826−1866) (}G.F.B.Riemann) àAÖßP , èQ g

B@ éKCJË@ Xñ®ªË@ ú ¯ èQJ.» éJÒë

@ ð Ag.@ðP I.‚»@ é KB IKYg ¨ñ “ñÓ é KA ¯ øQ k

@ éJkA K áÓð QÖ ßñÖÏ@ É ’ ¯ XñªK ð . éJªÓAm.Ì'@ HñjJ.Ë@ ð éJ’’ jJË@ H@QÖßñÖÏ@ áÓ YKYªË A ¯Yë ð A«ñ “ñÓ iJ.“@ Y® ¯ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ H.A‚k ú ¯ QÖßñÖÏ@ @ Yë Ñ ¢ ø YË@ ^(Ross) PðP úÍ@ ÈAj.ÖÏ@ Yë ú ¯ ÈðB@

á« H.AJ» X@Y«AK. ÐA¯ Y¯ ð , ¹⁹⁷⁴ ù ® KAg. ú ¯ ^{88 New Haven ′′} éªÓAg. ú ¯ éKA®JJ.¢ ð áKQ儺Ë@

(Spanier) Q KAJ.ƒ ð ^(Oldham) ÐAëYËð

@ úÍ@ éƒ@PX Èð@ éK.AJ» ú ¯ É ’ ®Ë@ XñªK ð .QÖßñÖÏ@ ©KA¯ð ð áKQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ H.A‚k ú ¯ ¹⁹⁶⁸ ÐA« ¼Q ‚Ó Yêk. YªK. H.AJ» ­JË

AJK.

@YK. áK YË@

. ¹⁹⁶⁷ ú ¯ ^(caputo) ñKñK.A¿ HAm'.

@ úÍ@ èAJ. KB@ I ®Ê K ½Ë X á« C ’ ¯ ð . ¹⁹⁷⁴ ÐA« è@PY“

@ úæË@ éJÒʪË@ HAJ®JÊÖÏ@ ð H@Pñ ‚ ÖÏ@ XYª ¯ ,¨ñ “ñÖÏ@ @ YîE.  ñjÊÓ ÐAÒJë@ ¼A Jë Qå •AmÌ'@ A JJ¯ð ú ¯ ð . éJ®JJ.¢JË@ ð éKQ ¢ JË@ áJJkA JË@ áÓ ¨ñ “ñÖÏ@ @ Yë AëQJK úæË@ ÉKA‚ÖÏ@ éJÒë

@ úΫ YîD„ éÊg.

@ áÓ IƒQ»

ÉJÊjJË@ ÈAm.× ú ¯ ‡J.¢ CJÔ ¯ , éƒY JêË@ ð ÐñʪË@ HBAm.× ­ÊJ m× ú ¯ ø Q儺Ë@ H.A‚mÌ'@ HA®JJ.¢ Qê ¢ ZAK Q ®Ë@ ,ZAJÒJºË@ ,ZA’kB@ ð HBAÒJkB@ éKQ ¢ , éJKAK.QêºË@ H@P@YË@ , éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ,øXYªË@

... AJk.ñËñJJ.Ë@ð éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ‘ªJ.Ë ÉmÌ'@ éJ K@Ygð ð Xñk.ð éƒ@PX ñë èQ» YÖÏ@ è YêË úæ…Aƒ

B@ ¬YêË@

3

: AîD ¯ð ,Èñ’ ¯ ³ áÓ èQ» YÖÏ@ è Yë ­Ë

AJKð . éKQ儺Ë@

‘ªK. ÐY® K AÒ» ,øQ儺Ë@ ÉJÊjJËAK. é“A mÌ'@ ©K.@ñJË@ ‘ªK. éJ ¯ Q» Y K øYJêÖß É’ ¯ ñëð :Èð

B@ ɒ ®Ë@ ^• . AÒîD•@ñ k ‘ªK. ð áKQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JÊË BAÒªJƒ@ ð @PA ‚ K@ Q»

B@ ­KPAªJË@

éKQ儺Ë@ éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ‘ªJ.Ë éJ K@YgñË@ ð Xñk.ñË@ HAKQ ¢ ‘ªK. éJ ¯ ÈðA J K :ú GAJË@ ɒ ®Ë@ ^• . éKQ儺Ë@ éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ Ég ú ¯ €CK.B ÉKñm' é®KQ£ úÍ@ é ¯A “BAK.

éJÊ “A ®JË@ HBXAªÖÏ@ ð áKQ儺Ë@ ÉÓA¾JË@ ð É “A ®JË@ HA®JJ.¢ ‘ªK. éJ ¯ Q» Y K : IËAJË@ ɒ ®Ë@ ^• . éKQ儺Ë@

4