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TROISIEME PARTIE :
LOI DE PROBABILITE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE
Nous allons présenter ici les principales lois d’une variable aléatoire discrète.
CHAPITRE I : LOI DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE Considérons l’expérience aléatoire (épreuve) qui donne 2 résultats possibles. Une telle expérience est appelée expérience de Bernoulli. Ces 2 résultats possibles sont traditionnellement appelés succès A et échec A
auxquels sont associées respectivement les probabilités p et q : p = P(A)
q = P( A ).
En associant aux 2 événements (résultats) : A et A les valeurs 1 et 0, on définit alors une variable aléatoire de Bernoulli.
La somme de variables de Bernoulli est une variable binomiale.
I-1 LOI DE BERNOULLI
Une variable aléatoire X est dite variable de Bernoulli si elle ne prend que les valeurs 1 ou 0 avec les probabilités respectives (p) ou (1-p=q). Sa loi de probabilité se présente comme suit :
X 1 0
P(X=x) p 1-p = q
Ainsi, la loi de Bernoulli dépend d’un seul paramètre. C’est pourquoi la variable aléatoire de Bernoulli est noté parfois X(p) ou X(q).
Les principales caractéristiques d’une variable de Bernoulli sont les suivantes :
1- Espérance mathématique E(X) = 1.p + 0.q = p.
2- Variance
V(X) = E{[X-E(X)]²} = E(X²) – [E(X)]²
E(X) étant déjà calculé, reste à déterminer E(X²) : E(X²) = 1².p + 0².q = p.
D’où :
V(X) = p – p² = p(1-p) = pq.
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I-2 LOI BINOMIALE
Considérons n épreuves indépendantes identiques à E notées : E1, E2, …, Ei, …, En et un événement A qui a une probabilité constante p de se produire à l’issue d’une épreuve : P(A) = p, Ei.
Si A ne se réalise pas à la suite d’une épreuve, on considère que c’est
A qui s’est réalisé; P(A) = 1-P(A) = 1-p = q.
On s’intéresse au nombre total X de réalisations de A.
X est une variable aléatoire qui peut prendre les valeurs entières positives ou nulle : 0,1,2,…,x,…,n (soit n+1 valeurs).
Cette variable aléatoire est appelée variable binomiale et sa loi de probabilité est la loi binomiale de paramètres n et p , notée : B(n ; p), avec.
nx x n xx x n
x
np p C p q
C x X
P( ) 1 Remarque :
1.Les épreuves étant indépendantes et identiques, les probabilités p et q restent toujours les mêmes à chaque épreuve. Ainsi, à l’issue de l’épreuve Ei on obtient soit A avec P(A)=p, soit A avec P(A)=q, i (i=1,2,…,n).
2. Si l’on note au fur et à mesure le résultat de chaque épreuve, le résultat global d’une suite de n épreuves sera une suite ordonnée de n événements A ou A.
Exemple : E1 E2 E3 … En (suite de n épreuves)
A A A … A (suite de n résultats possibles) 1-2-1 Loi de probabilité d’une variable binomiale
Nous avons vu précédemment qu’une variable binomiale peut prendre n+1 valeurs entières : 0,1,2,…,x,…,n.; il nous reste, maintenant , à calculer P(X=x) c’est à dire la probabilité que l’événement A se produit x fois à la suite de n épreuves identiques.
1- P(X=x) :
Procédons par étapes.
Si l’on connaît les épreuves qui aboutissent aux x événements A, la probabilité cherchée ne sera autre que : pxqnx.
Exemple : la probabilité que dans une suite de n=5 épreuves, A se réalise 3 fois, une fois à l’issue de E2, une autre à la suite de E4, et une dernière à l’issue de E5 est la suivante :
P(AAAAA)=P(A).P(A).P(A).P(A).P(A)=qpqpp=p3q2 p3q53
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On remarque que cette probabilité reste la même si l’événement A s’était réalisé à l’issue d’un autre triplet d’épreuves. En effet, l’événement X=3 peut être obtenu de différentes façons
Cnx façons
. Ici, on ne s’intéresse qu’au nombre x de réalisations de A sans s’occuper de leur ordre d’apparition. Alors l’événement (X=x) peut être produit par tout sous-ensemble de x épreuves choisies parmi les n. Par conséquent : P(X x)Cnxpxqnx.
Exemple : calculons la probabilité que A se réalise 3 fois à l’issue de 5 épreuves (ici x=3 et n=5).
P(X=3 )= P(AAAA Aou AAAAAou … A AAAA) = C53 p3q53
Enfin, vérifions que la somme des P(X=x) est bien égale à 1 :
1 10
n n
n
x
x n x x
np q p q
C
avec q = 1-p
Ainsi, les probabilités se présentent comme les termes du développement du binôme
p q
nd’où l’appellation de loi binomiale.2- Définition : une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p prend n+1 valeurs entières à savoir : 0,1,2,…,x, …, n avec les probabilités P(X x)Cnxpx
1p
nx Cnxpxqnx.3- Tables statistiques
Pour un couple (n,p) donné, on trouve dans les tables :
Les probabilités pour chaque valeur de X
Les probabilités cumulées jusqu’à une valeur donnée k
Etablissons par exemple, la table de la loi binomiale B(3 ; 1/4) : X P(X x) Cnxpxqnx
k
x
x X P
0
) (
0 C30p0q327/64
27 / 64
1 27/64 54/64
2 9/64 63/64
3 1/64 64/64
I-2-2 Principales caractéristiques d’une variable binomiale 1- Mode
Le mode est la valeur de la variable aléatoire à laquelle est associée la probabilité la plus élevée. C’est donc la valeur la plus probable. Pour une variable aléatoire discrète, il s’agit de trouver la valeur k telle que :
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P(X=k) > P(X=k-1) et P(X=k) > P(X=k+1) soit encore :
11 1
1
k X P
k X et P k
X P
k X P
qp k
k n k X P
k X et P
q p k
k n k
X P
k X or P
1. 1
1. , 1
Donc, nous devons chercher la valeur k telle que :
) 2 ( 1
1.
) 1 ( 1
1.
k q q np
p k
k et n
k p q np
p k
k n
En regroupant les inégalités (1) et (2), le système d’inéquations défini
par
11 1
1
k X P
k X et P k
X P
k X P
est vérifié pour :
np-q < k < np+p
Exemple : trouver le mode de la variable binomiale X : X B(4 ; 1/3)
n=4, p=1/3 , q=2/3 Or, np-q < Mo < np+p
4/3 - 2/3 < Mo < 4/3 + 1/3 2/3 < Mo < 5/3 Mo =1 2- Espérance mathématique
x
n x
p q np C p q npnp n
q x p n x
q n p C x X
E
n
x
x n x x n n
x
x n x n
x
x n x n
x
x n x x n
1
1 1 1 1
1 1 0
!
! 1
)!
1 (
!
! 1 . !
) (
étant donné que
x
x n x x
n p q
C est égale à 1. En effet, procédons au changement de variable suivant :
n-1 = m et x-1 = y d’où n-x = m-y puisque 1 x n alors 0 x-1 n-1
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finalement on peut écrire :
1 10
m m
m
y
y m y y
m p q p q
C 3- Variance
V(X) = E(X²) – [E(X)]² = E[X(X-1)] + E(X) – [E(X)]²
L’espérance étant déjà calculée, déterminons le moment factoriel d’ordre 2 :
Donc, E[X(X-1)] = n(n-1)p². Par conséquent, E(X²) = n(n-1)p² + np = n²p² + npq
et V(X) = E(X²) – [E(X)]² = n²p² + npq - n²p² = npq.
I-3 VARIABLE BINOMIALE : COMME SOMME DE VARIABLES DE BERNOULLI
On peut associer à chaque épreuve Ei une variable aléatoire Xi qui prend la valeur 1 si A se réalise à la suite de la ième épreuve et la valeur 0 sinon. Ainsi, les Xi sont des variables de Bernoulli, variables indicatrices de l’événement A :
Xi 1 0
Prob p q
La variable binomiale X peut s’écrire alors : X = X1 + X2 + …+ Xi +…+ Xn
En effet, X prend une valeur quelconque x si x des Xi ne sont pas nuls et inversement. Cette écriture permet de calculer rapidement E(X) et V(X) :
E(X) = E(X1 + X2 + …+ Xi +…+ Xn) = E(X1) + E(X2) + … = n E(Xi).
or E(Xi) = 1.p + 0.q = p, i, d’où E(X) = np.
La variable binomiale étant la somme de n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, il en résulte que :
1 2
2 2
2 0
!
! 2
)!
2 ) (
1 (
!
! 2
! ) 1 ( 1
x n n
x
x x n n
x
x x n n
x
x x n
q x p
n x
p n n n
q x p n x
n
q p C x x X
X E
n
i
i n
i
i V X
X V
X V
1 1
) (
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Or, la variance d’une variable de Bernoulli est égale à pq : V(Xi) = pq, i, donc,
I-4 PROPRIETES DES VARIABLES BINOMIALES
1-4-1 Variable de Bernoulli comme cas particulier de variable binomiale.
La variable de Bernoulli représente le nombre de réalisations de l’événement A au cours d’une seule épreuve, l’événement A ayant une probabilité p de se réaliser.
Ainsi, la variable de Bernoulli est une variable binomiale avec n=1 et X peut prendre les valeurs 0 ou 1 (une réalisation ou 0 réalisation de l’événement A) :
X(p) B(1;p) Ou encore : X(p) = X(1;p) Pour n=1 et x=0, nous obtenons :
X p
C p
p
p P 1; 0 10 0 1 10 1 Pour n=1 et x=1, nous obtenons :
X p
C p
p
pP 1; 1 11 1 1 11 .
La variable binomiale peut alors être définie comme suit :
n
i
i p
X p
n X
1
; 1
;
1-4-2 La somme de Variables binomiales indépendantes et de même paramètre p est une Variable binomiale de paramètre p.
Considérons 2 variables binomiales définies comme suit :
1
1
1; 1;
n
i
i p
X p
n X
2 1
1 1
2; 1;
n n
n i
i p
X p
n X
Calculons X
n1; p
X
n2; p
X
pq npq VX V
n
i n
i
i
1 1
) (
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n n p
p X X
p X
p X
p n X p
n X
n n
i
i
n n
n i
i n
i i
; ; 1
; 1
; 1
;
;
2 1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
1 1
En effet,
2 1
1
; 1
n n
i
i p
X est la somme de
n
1 n
2 variables de BernoulliX
i 1 ; p
indépendantes, c'est-à-dire une variable binomiale de paramètres (n
1 n
2 ) et p.EXERCICE D’APPLICATION
La probabilité qu’une machine à embouteiller tombe en panne à chaque emploi est de 0,01. La machine a été utilisée 100 fois. Soit X, le nombre de pannes subies après 100 utilisations.
1°) Quelle est la loi de probabilité de X ? justifier 2°) Calculer P(X = 0) ; P(X = 1) ; P(X ≥ 4).
3°) On estime le coût d’une réparation à 500 DH et on désigne par Y : la dépense pour les réparations après 100 utilisations.
Exprimer Y en fonction de X et calculer E(Y ) et (Y ).
Solution : 1°) La loi de probabilité de X :
Chaque utilisation est une épreuve n=100.
(Ces épreuves sont indépendantes et identiques)
L’événement considéré n’est autre que l’événement : A « panne de la machine », P(A) = 0,01 l’utilisation.
soit X le nombre de pannes après 100 utilisations :
X peut prendre les valeurs : 0, 1 , 2 … , 100
Ainsi il s’agit du schéma binomial X B(n=100 ; p= 0, 01) 2°) Avec X variable binomiale : X B(100 ; 0, 01) ;
0,01
0,99
0,366 )0
(X C1000 0 100 P
0,01
0,99
0,37 )1
(X C1001 1 99 P
P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4)
= 1- [P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2)+ P(X = 3)] = 0, 018.
0,01
0,99
0,185 )2
(X C1002 2 98
P
0,01
0,99
0,061 )3
(X C1003 3 97
P
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2°) Le coût des réparations après 100 utilisations s’écrit : Y = 500X
E(Y ) = 500. E(X) = 500 . np = 500 × 100 × 0, 01 = 500 DH V (Y ) = 5002 V (X)
or V (X) = npq = 100.(0,01).(0,99) = 0,99
V (Y ) = 5002 (0, 99) = 247500
(Y ) ≈ 497,49 DH
Le coût des réparations après 100 utilisations doit varier entre : 500 – 497 et 500 + 497
c-à-d entre 3 et 997 DH
