STATISTIQUES A UNE VARIABLE : DEUXIEME PARTIE

STATISTIQUES A UNE VARIABLE : DEUXIEME PARTIE

Page 1 sur 4 ACTIVITE 1 : Objectifs : Apprendre l’étendue et l’écart type.

Les notes d'une classe de 32 élèves ont été réparties ci-dessous.

Notes Nombre d'élèves au 1^er bac blanc

Nombre d'élèves au 2^eme bac blanc

Centre de classe

[0 ; 5[ 15 1

[5 ; 10[ 1 15

[10 ; 15[ 1 15

[15 ; 20] 15 1

Total 32 32

1. L'étendue d'une série est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. Déterminer l'étendue pour les deux bacs blancs.

2. Calculer la moyenne de chaque bac blanc. Que constatez-vous ?

3. Comment semblent être répartis les élèves autour de la moyenne : au premier bac blanc ?

au deuxième bac blanc ?

4. Afin de mettre en évidence cette répartition, calculer l'écart-type du premier bac blanc puis du deuxième (retrouver les formules correspondantes page 2).

5. Que pouvez-vous en conclure sur l'écart-type ?

ACTIVITE 2 : Objectifs : Apprendre Effectifs Cumulés Croissants (ECC), Effectifs Cumulés Décroissants (ECD), Polygone des ECC, des ECD, Médiane (méthode graphique).

Dans une autre classe, les notes ont été réparties de la façon suivante : Notes Nombre d'élèves

au 1^er bac blanc

Nombre d'élèves au 2^eme bac blanc

Centre de classe

ECC 1^er bac blanc

ECC 2^eme bac blanc

ECD 1^er bac blanc

ECD 2^eme bac blanc

[0 ; 5[ 1 2

[5 ; 10[ 15 8

[10 ; 15[ 6 14

[15 ; 20] 8 6

Total 30 30

1. Compléter les colonnes "ECC 1^er bac blanc" puis "ECC 2^eme bac blanc".

2. Construire, sur le même repère, le polygone des ECC du premier bac blanc (en rouge) puis celui du deuxième bac blanc (en noir) en utilisant l'échelle : Abscisse : 1 cm pour 5 unités ; Ordonnée : 1 cm pour 2 élèves.

3. Déterminer graphiquement la médiane pour les deux bacs blancs.

(REMARQUE : la médiane est l'abscisse du point du polygone des ECC ayant pour ordonnée N

2 ; si, c'est la définition !!!) 4. Que signifie cette médiane ?

5. Compléter les colonnes "ECD 1^er bac blanc" puis "ECD 2^eme bac blanc".

6. Sur le même repère qu'au 2., construire le polygone des ECD du premier bac blanc (en rouge) puis celui du deuxième bac blanc (en noir).Que constatez-vous ?

20 15 10 0 5

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

STATISTIQUES A UNE VARIABLE : DEUXIEME PARTIE COURS

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1) Etendue (voir activité).

2) Variance et écart type.

L’écart type permet d’apprécier la répartition des valeurs du caractère autour de la moyenne. Une faible valeur de l’écart type traduit une forte concentration des données autour de la moyenne.

Variance : V =

∑

i=1 p

n_ix_i²

N -

ü

^{2 =}

∑

i=1 p

n_i(x_i -

ü

⁾²

N Ecart type :

σ

^{= V} 3) Effectifs (et fréquences) Cumulés Croissants.

On calcule l'ECC en effectuant la somme des effectifs de la valeur et des valeurs précédentes. De même pour la fréquence.

4) Effectifs (et fréquences) Cumulés Décroissants.

L'ECD de départ est N. On calcule l'ECD en effectuant la différence entre l'ECD précédent et la valeur de l'effectif précédent. De même pour la fréquence.

5) Polygone des effectifs cumulés croissants.

Chaque point du polygone des ECC a pour abscisse la borne de droite de la classe [a ; b[ (c'est à dire b) et pour ordonnée l'effectif cumulé croissant de la ligne correspondante du tableau. Le premier point du polygone a pour abscisse la borne de gauche de la première classe et pour ordonnée 0. On joint tous les points à la règle 2 par 2.

6) Polygone des effectifs cumulés décroissants.

Chaque point du polygone des ECD a pour abscisse la borne de gauche de la classe [a ; b[ (c'est à dire a) et pour ordonnée l'effectif cumulé décroissant de la ligne correspondante du tableau. Le dernier point du polygone a pour abscisse la borne de droite de la dernière classe et pour ordonnée 0. On joint tous les points à la règle 2 par 2.

7) Médiane : la médiane est la valeur de la variable qui partage l’effectif en deux parties de même effectif.

a) Pour une variable discrète :

- Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.

- Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi somme des deux valeurs centrales du caractère.

b) Pour une variable continue, la médiane peut être cherchée :

- graphiquement sur la courbe des ECC : c’est la valeur de l’abscisse correspondant à l’ordonnée N 2 ; - par le calcul (coefficient directeur d’un segment de droite).

8) Séries dites « normales ».

Dans la pratique, de nombreuses séries statistiques ont une distribution qui suit une courbe en cloche (courbe de Gauss). On dit qu’une telle série suit une loi normale.

68% des valeurs appartiennent à [

ü

^-

σ

^;

ü

⁺

σ

^] 95% des valeurs appartiennent à [

ü

^{- 2}

σ

^;

ü

^{+ 2}

σ

^] 99% des valeurs appartiennent à [

ü

^{- 3}

σ

^;

ü

^{+ 3}

σ

^].

STATISTIQUES A UNE VARIABLE : DEUXIEME PARTIE EXERCICES

Page 3 sur 4 1. Vous avez vendu lors de votre stage 900 articles, classés

selon leur montant dans le tableau ci-dessous : Prix en € Nombres

d'articles ECC ECD [200 ; 300[

[300 ; 400[

[400 ; 450[

[450 ; 500[

[500 ; 700[

[700 ; 1 000[

100 150 250 200 100 100

a) Calculer le prix moyen d'un article.

b) Calculer l'écart type de cette série.

c) Compléter les colonnes ECC et ECD.

d) Tracer les polygones des ECC et des ECD dans le repère ci-dessous.

Abscisse : 1 cm pour 100 € ; Commencer à 200 € Ordonnée : 1 cm pour 50 articles

En déduire la médiane. Que signifie-t-elle ?

2. La répartition des employés d'une entreprise selon leur salaire mensuel est donnée par le tableau ci-dessous.

Salaire mensuel (€) Effectifs Fréquence % FCC FCD [1 200 ; 1 400[ 45

[1 400 ; 1 500[ 58 [1 500 ; 1 800[ 33 [1 800 ; 2 000[ 14

Total

a) Compléter le tableau.

b) Calculer le salaire moyen des employés.

c) Calculer l'écart type de cette série.

d) Calculer l'étendue de cette série.

e) Tracer le polygone des FCC dans le repère ci-dessous.

Abscisse : 1 cm pour 100 € ; Commencer à 1 200 € Ordonnée : 1 cm pour 10%

En déduire la médiane. Que signifie-t-elle ?

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900

600 500 400 300

200 700 800 900 1000

1600 1500 1400 1300

1200 1700 1800 1900 2000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

STATISTIQUES A UNE VARIABLE : DEUXIEME PARTIE EXERCICES

Page 4 sur 4 3. Bac Pro Alimentation 2002 (10 points)

Un traiteur réalise une étude statistique portant sur les prix de revente de sa terrine.

Prix de vente en euros Nombre de vente

[5 ; 5,1[ 40

[5,1 ; 5,2[ 35

[5,2 ; 5,3[ 5

[5,3 ; 5,4[ 10

[5,4 ; 5,5[ 5

[5,5 ; 5,6[ 10

[5,6 ; 5,7[ 40

[5,7 ; 5,8[ 35

[5,8 ; 5,9[ 15

[5,9 ; 6[ 5

a) Calculer le prix de vente moyen

ü

d'une terrine. Le résultat sera donné au dixième.

b) Construire, dans le repère ci-dessous à droite, le polygone des effectifs cumules croissants.

c) Calculer la médiane de cette série et vérifier le résultat sur le graphique. On laissera apparents les traits qui ont permis la lecture.

POLYGONE DES ECC DE L'EXERCICE 4

4. Bac Pro Cultures Marines 2002 (8 points)

Dans une entreprise aquacole, on a relevé pour un type donné de machines le temps d'intervention du service de maintenance.

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : Durée d'intervention

(minutes) Nombre d'interventions

[0 ; 10[ 5

[10 ; 30[ 10

[30 ; 40[ 20

[40 ; 60[ 45

[60 ; 80[ 100

[80 ; 100[ 20

[100 ; 120[ 10

TOTAL 210

I. On affecte l'effectif de chaque classe au centre de cette classe.

a) Calculer le temps moyen d'intervention

ü

. Le résultat sera arrondi au dixième.

b) Calculer l'écart type

σ

. Le résultat sera arrondi au dixième.

II. On estime que le temps moyen d'intervention

ü

^pour

cette série est 62 min et que l'écart type

σ

de la série est égal à 22 min.

A l'aide du polygone des effectifs cumules croissants situé à gauche, déterminer le nombre d'interventions dont la durée appartient à l'intervalle [

ü

^{- 2}

σ

^;

ü

^{+ 2}

σ

^].

III. Le travail du service de maintenance est jugé satisfaisant si 95% des interventions courantes ont une durée appartenant à l'intervalle [

ü

^{- 2}

σ

^;

ü

^{+ 2}

σ

^{]. Le} travail de ce service est-il de bonne qualité ?

POLYGONE DES ECC DE L'EXERCICE 3