Vocabulaire :
• Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats, appelés issues, sont connus mais dont on ne sait pas à l'avance lequel va se produire.
• Un événement est une partie de l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
Notion de probabilité et calcul :
• Lorsqu'une expérience aléatoire est répétée
n
fois, on compte le nombre de fois où l'événement A est réalisé. Lorsque le nombren
d'expériences devient grand, la fréquence d'apparition de A tend à se stabiliser autour d'un nombre particulier, que l'on notep(A) et que l'on appelle probabilité de A. ( voir O3-F02 ).
• Pour calculer la probabilité d'un événement, il suffit alors de compter le
nombre de cas favorables (ceux dans lesquels l'événement est réalisé) et de diviser ce nombre par le nombre total de cas possibles.
La probabilité d'un événement A s'obtient par la formule : p(A) = nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Remarque :
La probabilité d'un événement est compris entre 0 (lorsque l'événement est impossible) et 1 (lorsque l'événement est certain).
Exemple 1 :
Avec un jeu classique de 32 cartes, l'événement A : « tirer un as ou un trèfle » est réalisé dans 11 cas :
◦ On a tiré un des 4 as, y compris l'as de trèfle
◦ On a tiré l'un des 7 autres trèfles que l'as de trèfle.
Il y a donc 11 cas favorables de « tirer un as ou un trèfle » sur 32 cas possibles (chacune des 32 cartes). La probabilité de cet événement est donc : p(A) = 11
32
O3-F03 Calculer la probabilité d'un événement.
Exemple 2 :
Dans un urne, il a trois boules rouges et deux boules bleues. On tire une boule deux fois avec remise (on remet la boule tirée avant d'en tirer une deuxième).
Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ? Premier Deuxième
Tirage Tirage cas favorable ? R1 ( R1; R1 ) oui
R2 ( R1; R2 ) oui R1 R3 ( R1; R3 ) oui B1 ( R1; B1 ) non B2 ( R1; B2 ) non R1 ( R2; R1 ) oui R2 ( R2; R2 ) oui R2 R3 ( R2; R3 ) oui B1 ( R2; B1 ) non B2 ( R2; B2 ) non R1 ( R3; R1 ) oui R2 ( R3; R2 ) oui R3 R3 ( R3; R3 ) oui B1 ( R3; B1 ) non B2 ( R3; B2 ) non R1 ( B1; R1 ) non R2 ( B1; R2 ) non B1 R3 ( B1; R3 ) non B1 ( B1; B1 ) non B2 ( B1; B2 ) non R1 ( B2; R1 ) non R2 ( B2; R2 ) non B2 R3 ( B2; R3 ) non B1 ( B2; B1 ) non B2 ( B2; B2 ) non Il y a 9 cas favorables. Il y a 25 cas possibles.
La probabilité de tirer deux boules rouges successivement est : 9 25 Exemple 3 :
Dans une urne, il y a cinq boules rouges (R), deux boules bleues (B ) et une boule verte (V) indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules.
Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur ?
On peut représenter tous les résultats sur un arbre en indiquant sur les branches correspondantes la probabilité de chaque résultat lors des deux tirages. ( L'expérience s'effectuant sans remise, il restera 7 boules au second tirage ).
On suppose que l'on reproduit l'expérience un grand nombre de fois :
• dans 5
8 des cas, on obtiendra R au premier tirage et dans 4
7 de ces cas, on obtiendra R une nouvelle fois lors du deuxième tirage.
Donc, il y aura 5 8 × 4
7 = 20
56 des expériences qui donneront comme résultat ( R , R ).
• De même, il y aura 2 8 × 1
7 = 2
56 des expériences qui donneront comme résultat ( B , B ) et 1
8 × 0
7 = 0 soit aucune expérience qui donnera comme résultat ( V , V ).
• La proportion d'expériences donnant deux boules de même couleur est donc de : 20
56 + 2
56 = 22
56 = 11 28 .
La probabilité d'obtenir deux boules de même couleur est donc de 11 28
