A4903. Une récréation de feu Ozanam
Zig a trouvé dans l'un des quatre ouvrages "Récréations Mathématiques et Physiques publiées par feu Jacques Ozanam de l'Académie Royale des Sciences et Professeur en Mathématique, nouvelle édition revue et corrigée avec soin", l'énigme suivante qu'il a mise au goût du jour:
Un lion de bronze placé sur le bassin d'une fontaine peut jeter l'eau par la gueule, par le pied droit et par les yeux. S'il jette l'eau par la gueule il emplira le bassin en 50 minutes exactement: s'il la jette par le pied, il l'emplira en 1 heure 21 minutes 40 secondes: s'il la jette par l'oeil droit il l'emplira en 1 heure 56 minutes 40 secondes: s'il la jette par l'oeil gauche il l'emplira en 1 heure 5- minutes -- secondes*. On
demande en combien de temps T le bassin sera rempli, si le lion jette l'eau en même temps par la gueule, par le pied et par les yeux, sachant que T s'exprime exactement en minutes et secondes.
* Comme c'est un vieil ouvrage, Zig ne peut lire ni le chiffre des unités des minutes ni le nombre des secondes.
Remarque préliminaire
La durée ti (en sec) du remplissage du bassin de volume V (en m³) avec un débit qi (en m³/sec) est égale à :
t
i= V/q
iLa durée T de remplissage du même bassin de volume V avec plusieurs débits (q1, q2,…, qi) est égale à :
T = V/(q
1+q
2+…+q
i)
Ce qui peut s’écrire plus simplement :
T = 1/(1/t
1+1/t
2+…+1/t
i)
Ou encore :
1/T = 1/t
1+ 1/t
2+…+ 1/t
i L’inverse du temps total est égal à la somme des inverses des temps partiels.Solution
Les temps d’alimentation sont respectivement :
Par la gueule : t1 = 50*60 = 3000.sec = 2³*3*5³ sec Par le pied : t2 = 1*60*60 + 21*60 + 40 = 4900.sec = 2²*5²*7² sec
Par l’œil droit : t3 = 1*60*60 + 56*60 + 40 = 7000.sec = 2³*5³*7 sec Par l’œil gauche : t4 >= 1*60*60 + 50*60 = 6600.sec
t4 <= 1*60*60 + 59*60 + 59 = 7199.sec
Il suffit donc de déterminer 1/T (= 1/ti) et de tester que T est un nombre entier. Et comme il y a : 7199 – 6600 +1 = 600 valeurs à vérifier pour T !! Une « worksheet » est bien nécessaire. Voici un extrait de celle-ci autour de la solution trouvée :
T entier si : t4 = 7105 sec ou 1.H 58.min 25.sec.
t
4t
1t
2t
31/T =1/t
iT
(s) (s) (s) (s) (s
-1) (s)
… … … … … …
… … … … … …
7100 3000 4900 7000 0,000821117 1217,85 7101 3000 4900 7000 0,000821097 1217,88 7102 3000 4900 7000 0,000821078 1217,91 7103 3000 4900 7000 0,000821058 1217,94 7104 3000 4900 7000 0,000821038 1217,97
7105 3000 4900 7000 0,000821018 1218
Entier 7106 3000 4900 7000 0,000820998 1218,03
7107 3000 4900 7000 0,000820978 1218,06 7108 3000 4900 7000 0,000820959 1218,09
… … … … … …
… … … … … …
Vérification
Nous savons déjà que : t1 = 2³*3*5³ sec t2 = 2²*5²*7² sec t3 = 2³*5³*7 sec Et nous venons de trouver que : t4 = 5*7²*29 sec.
Nous avons donc : 1/T = 1/(2³*3*5³) + 1/(2²*5²*7²) + 1/(2³*5³*7) + 1/(5*7*29) Ou encore : 1/T = (7²*29 + 2*3*5*29 + 3*7*29 + 2³*3*5²)/(2³*3*5³*7*29)
Ou : 1/T = (1421 + 870 + 609 + 600)/(2³*3*5³*7²*29)
Soit : 1/T = 3500/(2³*3*5³*7²*29) mais : 3500=2²*5³*7
D’où :
