A4903** - Une récréation de feu Ozanam

A4903** - Une récréation de feu Ozanam

Zig a trouvé dans l'un des quatre ouvrages "Récréations Mathématiques et Physiques publiées par feu Jacques Ozanam de l'Académie Royale des Sciences et Professeur en Mathématique, nouvelle édition revue et corrigée avec soin", l'énigme suivante qu'il a mise au goût du jour:

Un lion de bronze placé sur le bassin d'une fontaine peut jeter l'eau par la gueule, par le pied droit et par les yeux. S'il jette l'eau par la gueule il emplira le bassin en 50 minutes exactement : s'il la jette par le pied, il l'emplira en 1 heure 21 minutes 40 secondes : s'il la jette par l'œil droit il l'emplira en 1 heure 56 minutes 40 secondes : s'il la jette par l'œil gauche il l'emplira en 1 heure 5- minutes -- secondes*.

On demande en combien de temps T le bassin sera rempli, si le lion jette l'eau en même temps par la gueule, par le pied et par les yeux, sachant que T s'exprime exactement en minutes et secondes.

* Comme c'est un vieil ouvrage, Zig ne peut lire ni le chiffre des unités des minutes ni le nombre des secondes.

Proposition de

V : volume du bassin ; qi : débit de la source Si ; ti : durée de remplissage du bassin par la source Si S1 la gueule du lion : q1 = V/t1 avec t1 = 50 mn = 3 000 s

S2 le pied du lion : q2 = V/t2 avec t2 = 1h 21 mn 40s = 4 900 s S3 l’œil droit du lion : q3 = V/t3 avec t3 = 1h 56 mn 40 s = 7 000 s

S4 l’œil gauche du lion : q4 = V/t4 avec t4 = 1h 5. mn .. s = (6 600 + a) s ; avec l’entier a tel que : 0 ≤ a < 600

Lorsque les 4 sources d’alimentation en eau fonctionnent en même temps, le débit total Q est donné par : Q = q1+q2+q3+q4 = (1/t1 + 1/t2 + 1/t3 + 1/t4)V

Pour un débit Q, le temps de remplissage T du bassin est donné par : T = V/Q = 1/(1/t1 + 1/t2 + 1/t3 + 1/t4)

Application numérique : T = T(a) = [1 470 x (6 600 + a)]/(8 070 + a)

Par hypothèse, T s'exprime exactement en minutes et secondes  T en seconde est un entier

Il est intéressant d’exprimer la variable entière « a » en fonction de T : a(T) = [30 x (269T-323 400)]/(1 470 -T)

Comme 0 ≤ a < 600  0 ≤ [30 x (269T-323 400)]/(1 470 -T) < 600

Cette double inégalité implique alors que : 1 202 < T < 1 221  T∈ [1 203 ; 1 220] soient 18 valeurs possibles On parvient à déterminer l’unique solution : T = 1 218 s donnant a = 505 s

Résultat : le bassin est rempli au bout de 20 mn 18 s

NB :

par l’œil gauche du lion, le bassin est rempli au bout de 1h 58 mn 25 s