Une récréation de feu Ozanam
Problème A4903 de Diophante
Zig a trouvé dans l'un des quatre ouvrages "Récréations Mathématiques et Physiques publiées par feu Jacques Ozanam de l'Académie Royale des Sciences et Professeur en Mathématique, nouvelle édition revue et corrigée avec soin", l'énigme suivante qu'il a mise au goût du jour:
Un lion de bronze placé sur le bassin d'une fontaine peut jeter l'eau par la gueule, par le pied droit et par les yeux. S'il jette l'eau par la gueule il emplira le bassin en 50 minutes exactement : s'il la jette par le pied, il l'emplira en 1 heure 21 minutes 40 secondes: s'il la jette par l'oeil droit il l'emplira en 1 heure 56 minutes 40 secondes: s'il la jette par l'oeil gauche il l'emplira en 1 heure 5 - minutes - -
secondes*. On demande en combien de temps T le bassin sera rempli, si le lion jette l'eau en même temps par la gueule, par le pied et par les yeux, sachant que T
s'exprime exactement en minutes et secondes.
* Comme c'est un vieil ouvrage, Zig ne peut lire ni le chiffre des unités des minutes ni le nombre des secondes.
Solution
Prenons la seconde pour unité et notons G, P, D et X les temps de remplissage du bassin selon les moyens choisis (gueule, pied, œil droit, œil gauche).
Le temps T cherché satisfait 1/T = 1/G + 1/P + 1/D + 1/X , en exprimant de deux manières différentes ce qui est rempli en une seconde.
Cherchons X pour que T soit entier, avec G = 3000, P = 4900, D = 7000.
On a 1/G + 1/P + 1/D = ( 49 + 30 + 21) / 147000 = 1/1470 T = 1/(1/X + 1/1470) = (X*1470) / (X+1470)
On trouve X = 7105 et T = 1218
Le bassin sera rempli en 20 minutes 18 secondes
