A4903. Une récréation de feu Ozanam

A4903. Une récréation de feu Ozanam

Zig a trouvé dans l'un des quatre ouvrages "Récréations Mathématiques et Physiques publiées par feu Jacques Ozanam de l'Académie Royale des Sciences et Professeur en Mathématique, nouvelle édition revue et corrigée avec soin", l'énigme suivante qu'il a mise au goût du jour:

Un lion de bronze placé sur le bassin d'une fontaine peut jeter l'eau par la gueule, par le pied droit et par les yeux. S'il jette l'eau par la gueule il emplira le bassin en 50 minutes exactement:

s'il la jette par le pied, il l'emplira en 1 heure 21 minutes 40 secondes: s'il la jette par l'oeil droit il l'emplira en 1 heure 56 minutes 40 secondes: s'il la jette par l'oeil gauche il l'emplira en 1 heure 5- minutes -- secondes*. On demande en combien de temps T le bassin sera rempli, si le lion jette l'eau en même temps par la gueule, par le pied et par les yeux, sachant que T

s'exprime exactement en minutes et secondes.

* Comme c'est un vieil ouvrage, Zig ne peut lire ni le chiffre des unités des minutes ni le nombre des secondes.

Solution proposée par Bernard Grosjean

Prenons comme unités : les secondes et les litres. Les débits seront exprimés en litres par seconde.

Les durées de remplissage du bassin (de volume V) et les débits sont , selon les exutoires : Gueule seule : temps de remplissage : 50x60 = 3 000 s

débit : Dguele = V/3000 l/s

Pied : temps de remplissage 3600 + 21x60 + 40 = 4 900 s débit : Dpied = V/4900 l/s

Oeil droit : temps de remplissage 3600 + 56x60 + 40 = 7 000 s débit : Doeildroit = V/7000 l/s

Oeil gauche : soit x les unités de minutes manquantes et y celles des secondes manquantes ; temps de remplissage 3600 + (50+x)60 + y secondes, avec 0 ≤ x ≤ 9 et 0 ≤ y ≤ 60 débit : Doeilgauche = V/(3600 + 3000 + 60x +y) = V/(6600 + 60x + y) l/s

Le temps de remplissage T du bassin est égal à V divisé par la somme des débits.

Nous obtenons :

T = V/(V/3000 + V/4900 + V/7000 + V/(6600+60x+y)

V s’élimine. Le dénominateur est égal à (1/3000 + 1/4900 + 1/7000) + 1/(6600+60x+y) 1/300 + 1/4900 + 1/ 7000 = (1/100)*(1/30 + 1/49 + 1/70) = (1/1000)*(1/3 + 17/49)

= 1/1000*[(49+51)/3*49] = 100/(1000*3*49) = 1/(3*490) soit T = 1/[1/1470 + 1/(6600 + 60x + y)]

= [1470*(6600 + 60x + y)]/(1470+6600+60x+y) = [1470*(6600+60x+y)]/(8070+60x +y) Soit z = 60x + y

comme 0 ≤ x ≤ 9 et 0 ≤ y ≤ 60, nous avons 0 ≤ z ≤ 600

Nous obtenons finalement :

1470*(6600+z) = T * (8070 + z) , T étant entier et z ≤ 600

Une recherche rapide (avec un tableur), indique que la seule valeur de z qui convient est 505.

Nous avons donc z = 505 = 60x + y, avec 0 ≤ x ≤ 9 et 0 ≤ y ≤ 60

x 0 1 2 3 4 5 6 7

8

y 505 445 385 325 265 205 145 85

25

Les seules valeurs qui conviennent sont x = 8 et y = 25 (valeurs manquantes du manuscrit) Finalement le temps de remplissage, à l’aide de tous les exutoires est :

T = 1470*(6600+505)/(8070 + 505) = 10 444 350/ 8575 = 1 218 s soit

T = 20 mn 18 s