A149 Les différences en cascade [*** à la main]

A149 Les différences en cascade [*** à la main]

Solution

Exercice n°1

1) La suite x définie par la fonction Minimum est évidemment non croissante. Ou bien _n

k 1

k x

x

k, 

 _ et comme tous les termes sont des entiers, à partir d’un certain rang on a nécessairementx = 0 ou bien _n x_n-1 x_n-2 et le terme suivant est x_n x_n1x_n20. 2) On suppose que la séquence a atteint le rang n avec x =0. D’après 1) on a _n

nécessairement x₃x₄...x_n3x_n2x_n10,x_n 0. Pour que la séquence atteigne le rang n+1, il faut que lors du calcul de x_n-1 min(x_i x_j) pour 0 < i < j <

n-1 on n’obtienne pas x_n2 mais un terme strictement plus petit. Il en résulte que

2 n 3 -

n x

x  _ doit être le plus petit terme et l’on a x_n-1 x_n-3x_n2 ou x_n-3 x_n-1x_n2. On reconnaît les termes de la suite de Fibonacci lue à l’envers. Dans ces conditions la séquence x₁,x₂,x₃,...,x_n 0 la plus longue possible avec x₁x₂ et x le plus petit ₁ entier possible inférieur à un million est constituée des 31 termes suivants : 832040, 514229, 317811, 196418, 121393, 75025, 46368, 28657, 17711, 10946, 6765, 4181, 2584, 1597, 987, 610, 377, 233, 144, 89, 55, 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1, 0.

3) Si on part de x =2005 avec ₁ x >₁ x₂ a, on la séquence 2005 > a > 2005 – a > 2a – 2005 > 2*2005 – 3a > 5a – 3*2005 > 5*2005 – 8a > etc… Le processus s’arrête à x = _n 0 quand le calcul du (n-1)^ième terme donne un résultat plus grand que le (n-2)^ième. Or le terme général de rang pair 2k est y_2k F(2k1)*aF(2k2)*2005 avec F(2k-1) qui est le (2k-1)^ièmeterme de la suite de Fibonacci tandis que le terme général de rang impair 2k+1 est y_2k1F(2k1)*2005F(2k)*a. On a une succession d’inégalités qui définissent des intervalles de plus en plus réduits encadrant a jusqu’au moment où il y a une valeur unique de a qui donne l’un des termes y ou _2k y_2k1 encore positif mais rend le suivant y_2k1 ou y_2k2 négatif ( ce qui est équivalent à x_n-1 x_n2) . On en déduit la valeur de a = 1239 qui laisse y =68170 – 55a = 25 >0 mais rend ₁₁

110275 89a

y₁₂   = - 4 < 0.

Les 12 termes de la séquence recherchée sont alors : 2005, 1239, 766, 473, 293, 180, 113, 67, 46, 21, 21,0. On vérifie que le différence 46-21=25 étant supérieure à 21, x ₁₁ prend la valeur x =21. ₁₀

Avec x = 1 618 033 988 749 895, on adopte la même démarche que précédemment. ₁ Les calculs manuels pour la recherche de a étant fastidieux à établir, on peut observer que la valeur de x est la partie entière par excès de ₁ 10¹⁵. avec le nombre d’or

2 / ) 1 5

( 



 = 1,6180339887498948482045….

Il s’agit de trouver k et a tel que y_2k F(2k1)*aF(2k2)*x₁ > 0 et a

* F(2k) x

* 1) F(2k

y_2k1   ₁ < 0 ou bien y_2k1 F(2k3)*x₁F(2k-2)*a>0 et

1

2k F(2k 1)*a F(2k 2)*x

y     < 0. On observe que F(2k-1)/F(2k-2) converge vers

 et F(2k-1)/F(2k) vers 1/=( 51)/2 quand k devient grand. Il n’est pas nécessaire d’avoir un grand nombre de termes de la suite de Fibonacci car la

convergence du F(n-1)/F(n) est très rapide. C’est ainsi que le développement décimal

de F(38)/F(37) coïncide à une unité près avec x . Le terme a est donc proche de N/₁  c’est à dire de la partie entière de( 51)N/2 = 10¹⁵. On vérifie aisément qu’avec

15

2 10

x  , il y a une séquence de 42 termes qui est donnée ci-après : On vérifie que pour des valeurs légèrement différentes de x par exemple ₂

1 / 10

x₂  ¹⁵  ou +/- 2,… on obtient des séquences plus courtes. La valeur 10¹⁵ est donc bien optimale.

Exercice n°2

On part du vecteur V₀=(a,b,c,d) avec a,b,c et d entiers naturels. Après n opérations DIF, on obtient le vecteur V dont les composantes sont _n (a_n,b_n,c_n,d_n).

Comme on opère sur des entiers toujours positifs ou nuls, la plus grande des quatre composantes ne peut que décroître ou rester constante quand on passe du vecteur n au vecteur n+1.

Le vecteur où la valeur maximum ne diminue pas après une DIF, contient au moins une composante égale à la valeur maximum et adjacente à une composante nulle. Par exemple (12,0,27,5) ou (13,0,13,0). Dès lors, on constate que dans le pire des cas quatre DIF successives donnent un vecteur où la valeur maximum a diminué. On peut donc affirmer qu’après un nombre fini d’opérations DIF, comme tous les termes sont des entiers bornés par le plus grand terme introduit au départ, on aboutit à 4

composantes nulles. Par exemple (33,17,17,33) (16,0,16,0) (16,16,16,16)

(0,0,0,0) ou bien (0,7,7,7) (7,0,0,7) 7,0,7,0) (7,7,7,7) (0,0,0,0).

Une autre manière d’aborder le problème consiste à étudier la parité des composantes des vecteurs successifs. Comme a-b =a-b si a >b et a-b =b-a si b>a, il apparaît que

b -

a et a+b sont congruents modulo 2. On considère alors tous les vecteurs

W obtenus en additionnant les termes adjacents. Les composantes sont n (p_n,q_n,r_n,s_n) et sont respectivement congruentes à (a_n,b_n,c_n,d_n) modulo 2.

En partant de V₀=(a,b,c,d), on obtient aisément W =(2a + 4b + 6c + 4d, 4a + 2b + 4c ₄ + 6d, 6a + 4b + 2c + 4d, 4a + 6b + 4c + 2d). Toutes ces composantes sont paires. Il en est donc de même des composantes de V . ₄

Si l’on continue d’appliquer 4 fois DIF à W , on vérifie aisément que chaque ₄ composante de W₈ est un multiple de 4. Idem pour les composantes de V₈. La généralisation avec 4n opérations successives DIF permet donc de dire que V a des _4n composantes qui sont des multiples de 2 . Il existe n tel que l’une au moins de ces ⁿ composantes est supérieure à la plus grande des composantes initiales (a,b,c,d), ce qui est impossible. Donc à partir d’un certain rang toutes les composantes de V sont _n nulles.

Si le vecteur initial est constitué de nombres rationnels, il y a toujours un vecteur V qui est égal au vecteur nul. En effet, on peut exprimer les quatre fractions n

rationnelles avec le même dénominateur commun en prenant la PPCM des quatre dénominateurs. Les quatre numérateurs sont des nombres entiers et on est ramené au problème précédent.

A l’inverse si les composantes sont des nombres réels, il existe au moins un contre- exemple qui montre l’impossibilité d’arriver au vecteur nul. Partant de V₀=(1,x,

3 2,x

x ) avec x>1. DIF(V₀) = (x-1, x -x, ² x³-x², x -1). En mettant x-1 en facteur ³ commun qui n’est jamais nul, on a les composantes (1, x, x , 1+x+² x ). Si 1+x+² x = ²

x , alors on retrouve 3 V₀=(1, x, x²,x³). Or l’équation 1+ x + x = ² x a une racine ³ réelle x

qui est égale à 1,83926…

Généralisation : on vérifie qu’avec les composantes initiales placées au sommet d’un triangle, il n’y a pas de convergence vers un vecteur nul . A un multiple près, on obtient des vecteurs de la forme (1,1,0) ou (1,0,1) ou (0,1,1) et l’on passe de l’un à l’autre indéfiniment.

Même constat si les composantes du vecteur initial sont placées aux sommets d’un pentagone, d’un hexagone et d’un heptagone. On obtient à l’issue d’un certain nombre d’opérations DIF, à un multiple près, des vecteurs de la forme (1,1,1, 1,0) , (1,1,1,0,1)

….qui bouclent sur eux-mêmes ou (1,1,1,1,1,0), (1,1,1,1,0,1)…qui bouclent aussi sur eux-mêmes etc…

Avec l’octogone et de manière générale avec tout polygone ayant 2 côtés, on obtient ⁿ un vecteur nul après un nombre fini d’opérations DIF. La justification se fait en généralisant par récurrence le deuxième volet de la démonstration faite avec les composantes placées aux sommets d’un carré (examen de la parité des V_n et W_n).

Pour tout autre polygone, il n’y a pas de convergence.