D285 – Le carrousel des fourmis [*** à la main]
La reine des fourmis se trouve en un point F d’où elle voit une brindille rectiligne XY sous un angle α de 20°15’. Elle place dans le sens anti-horaire p fourmis ouvrières aux sommets x₁,x₂,...x d’un polygone p régulier de p + 2 côtés dont XF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY. De la même manière, elle place dans le sens horaire q fourmis ouvrières aux sommets y₁,y₂,...yq d’un polygone régulier de q + 2 côtés dont YF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY. (voir un exemple ci-après avec p = 5 fourmis sur les sommets x₁,x₂,x₃,x₄, et x₅ d’un heptagone et q= 3 fourmis sur les sommets y₁,y₂ et y₃ d’ un pentagone ) :
La reine des fourmis se déplace sur la courbe (Γ) située au dessus de la brindille XY d’où elle voit cette dernière toujours sous le même angle α.Toutes les fourmis respectent à tout moment le carrousel des deux polygones réguliers qui se dilatent ou se rétractent proportionnellement à FX et FY quand la reine se déplace. Quand celle-ci a achevé son périple de X en Y, quatre fourmis ont parcouru exactement la même distance. Sachant qu’il y a au total 77 fourmis ouvrières, déterminer p et q.
Solution
Quand la reine se déplace de X à Y, la courbe qu’elle décrit en regardant XY toujours sous le même angle α est un arc de cercle (Γ). Avec par convention XY = 1, le cercle correspondant de centre O a pour rayon 1/2sin(α).
On considère le premier groupe de fourmis qui occupent les sommets du polygone régulier P₁ adossé à FX extérieurement au triangle FXY. Ces fourmis sont au nombre de p₁ – 2.Voir l’exemple ci-dessus avec un hexagone régulier, p₁ = 6 et quatre fourmis x₁,x₂,x₃ et x₄.
Le lieu décrit par une quelconque x de ces fourmis ( k= 1,2,... ,p₁ - 2) est un arc de cercle homothétique k à l’arc de cercle (Γ) et sous-tendu par la kième côté du polygone régulier P’₁ : XYA₁...Ap12 de p₁ côtés ayant la brindille XY pour l’une de ses arêtes. Dans les deux cas, l’indice k est mesuré dans le sens trigonométrique à partir de la position de la reine et de l’extrémité Y de la brindille.
Démonstration. Les deux triangles XYA et XFk x sont semblables (voir illustration ci-dessus pour k = k 2) car les trois sommets X,F et x d’une part et X,Y,k A d’autre part occupent les mêmes positions dans k les deux polygones réguliers P₁ et P’₁ qui ont le même nombre p₁ de côtés.Comme FXY = x XAk k, il en résulte que le triangle x XAk k est semblable au triangle FXY.Lors de son parcours la fourmi voit donc le segment fixe XA sous le même angle α.Le lieu de k x est donc l’arc de cercle k (γk)sous-tendu par
XA . k
On cherche les entiers p,q,i₁,i₂,j₁,j₂ tels que :
sin(i₁*π/p)/sin(π/p) = sin(i₂*π/p)/sin(π/p) = sin(j₁*π/q)/sin(π/q) = sin(j₂*π/q)/sin(π/q) qui représentent les longueurs identiques des cordes qui sous-tendent les arcs de cercle parcourus par les quatre fourmis.
Un programme très simple écrit en Visual Basic (voir annexe) donne le tableau suivant :
n p i₁ i₂ q i₁ j₂
23 9 4 5 18 3 15
41 15 7 8 30 5 25
77 27 13 14 54 9 45
n = p + q – 4 est le nombre total de fourmis ouvrières.
Il y a 4 parcours identiques avec un 27-gone et un 54-gone.
p = 27, i₁ = 13 et i₂ = 14 avec i₁ + i₂ = 27 q = 54, j₁ = 9 et j₂ = 45 avec j₁ + j₂ = 54 Annexe
Pi = 4 * Atn(1) For p = 3 To 80 For q = p + 1 To 80 For i = 2 To p - 2 For j = 2 To q - 2 If i <> j Then
If Sin(Pi * i / p) * Sin(Pi / q) = Sin(Pi * j / q) * Sin(Pi / p) Then kk = kk + 1
Range("A" & kk).Value = p + q - 4 Range("B" & kk).Value = p Range("C" & kk).Value = i Range("D" & kk).Value = p - i Range("E" & kk).Value = q Range("F" & kk).Value = j Range("G" & kk).Value = q - j End If
End If Next j Next i Next q Next p End Sub
