D.PINEL, site mathemitec : http://mathemitec.free.fr/
1h, sans calculatrice – Octobre 2009
Test 01 – TS01-TS02
1. Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de
2 2
1 1 x x
x
−
֏ + . 2. Déterminer la limite en +∞ de
3 2
cos( ) x 1 x֏ x − .
3. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, avec
( )
3 4
3 1
( )
1
x x
f x x
− +
= − .
Déterminer les asymptotes éventuelles de Cf.
4. Soit f définie par
sin( )
( ) ]0; ]
( ) ] ; [
f x x si x x f x x si x
π
π π
= ∈
= − ∈ +∞
. f est-elle continue en π ?
5. Déterminer
0
2 1 1
lim
x
x
→ x
+ − .
6. Montrer que la droite d’équation D y: =2x est asymptote en +∞ à la courbe représentative de f, définie par f x( )= 4x2+1.
Préciser les positions relatives de C et D.
7. Déterminer la limite de la suite u de terme général n 1 0,1 0, 01 ... 0, 0...01
n zéros
u = + + + + .
D.PINEL, site mathemitec : http://mathemitec.free.fr/
Eléments de Correction du Test 01 – TS01-TS02
1.
> En l’infini, la fonction rationnelle
2 2
1 1 x x
x
−
֏ + se comporte comme le quotient de ses monomes de plus haut degré
2
2 1
x x = .
> Comme
lim1 1
X X
→ = , on obtient
2 2
lim 1 1
1
x
x
→∞ x − = + . 2.
> Pour tout x, − ≤1 cos(x3)≤1, donc pour x non nul,
3
2 2 2
1 cos(x ) 1
x x x
− ≤ ≤ d’où on déduit que
3
2 2 2
1 cos( ) 1
1 x 1 1
x x x
− − ≤ − ≤ − .
> Comme lim 12 1 lim 12 1 1
x→+∞ x x→+∞ x
− − = − = −
, le théorème des gendarmes permet de conclure.
3.
> Le domaine de définition de f est ℝ−{1}.
> En l’infini, la fonction rationnelle
( )
3 4
3 1
1
x x
x x
− +
֏ − se comporte comme le quotient de ses monomes de plus haut degré
3 4
x 1 x x = .
Par conséquent, lim ( ) 0
x f x
→∞ = : la droite d’équation y = 0 est donc asymptote à Cf en l’infini.
> En 1 : le numérateur vaut –1 et limx→1(x−1)4 =0+ : ainsi lim ( )x→1 f x = −∞ : la droite d’équation x = 1 est donc asymptote à Cf.
4.
> La fonction f est continue en π si lim ( )x→π f x = f( )π .
> On a : f( )π =sin( )ππ =0 puisque sin(π) = 0 ( )
lim ( ) sin 0
x π f x
π π
→ − = =
lim ( ) 0
x
π+ f x π π
→ = − =
La fonction est donc continue en π. 5.
La fonction f x( )= 2x+1 est dérivable en 0 donc on a
0 0
2 1 1 ( ) (0)
lim lim '(0)
0
x x
x f x f
x x f
→ →
+ − = − =
− .
Comme '( ) 2 1
2 2 1 2 1
f x
x x
= =
+ + , on obtient f'(0)=0 donc
0
2 1 1
lim 1
x
x
→ x+ − = .
D.PINEL, site mathemitec : http://mathemitec.free.fr/
6.
> Pour prouver que la droite d’équation D y: =2x est asymptote en +∞ à la courbe représentative de f, on montre que xlim→+∞
(
4x2+ −1 2x)
=0.On a 2
(
2) (
2)
2 2
4 1 2 4 1 2 1
4 1 2
4 1 2 4 1 2
x x x x
x x
x x x x
+ − × + +
+ − = =
+ + + + d’où le résultat cherché.
> Pour étudier les positions relatives de C et D, on étudie le signe de f x( ) 2− x.
- Pour x positif, on a 4x2+ ≥1 4x2 ⇒ 4x2+ ≥1 2x cad f x( )≥2x : ainsi, Cf est au dessus de D.
- Pour x négatif, on a 4x2+ ≥ ≥1 0 2x donc f x( )≥2x : ainsi, Cf est encore au dessus de D.
7.
Déterminer la limite de la suite u de terme général n 1 0,1 0, 01 ... 0, 0...01
n zéros
u = + + + + .
Remarquons que
0 1 2 1
1 1 1 1
10 10 10 ... 10
n
un
+
= + + + +
est la somme des termes d’une suite géométrique de raison 1
10 et de premier terme 1.
Ainsi
1
1
1 1
10 1
1 10 1
1 9 10
1 10
n
n
un
+
+
−
= × − = × − : comme 1 1 1
− <10< , on a lim 1 0 10
n n→+∞
=
et par conséquent un converge vers 10
9 .
