1 Algèbre des polynômes à n indeterminées

117: Algèbre des polynômes à n indéterminées (n>=2).

Polynômes symétriques. Applications

Pierre Lissy April 27, 2010

1 Algèbre des polynômes à n indeterminées

Dans toute la suiteA est un anneau supposé tout de même intègre.

1.1 Détinion

Dénition 1. Un polynôme à n indéterminées est une famille presque nulle d'élements de A, famille indexée parNⁿ.

Proposition 1. l'ensemble des polynôems à n indéterminées est déjà muni d'une structure d'anneau?

Proposition 2. On a la déniion équivalente par récurrence surn;A[X₁, . . . X_n] =A[X₁, . . . , X_n−1[X_n]. Proposition 3. On munit cet ensemble d'une structure d'algèbre avec une opération interne:

ij×b_ij=Pi

k=0a_kjb_i−k,j

Théorème 1 (Propriété universelle des anneaux de polynômes). On cosnidère deux anneaux in- tègresAetB,f un morphisme entre les deux eti l'inclusion deAdansA[X₁, . . . , X_n]. Pour tout b∈Bⁿ il existe un unqieu morphiseF vériant F(i) =f et F(Xj) =bj.

Dénition 2. Dérivée formelle d'un polynôme par rapport à la k-ème variable.

1.2 Degré partiel, total

Dénition 3. Le degré partiel deP enX_k est le degré deP en tant que polynôme deF[X_k]avec F=A[X₁, . . . ...].

Proposition 4. deg_k(P +Q) 6 max(deg_k(P), deg_k(Q)) avec égalité si P et Q sont de degré diérents. deg_k(P Q) =deg_k(P) +deg_k(Q). Le degré de P est la plus grande puissance deP qui intervient dans un monômea_αX₁^α1. . . X_n^αn.

Dénition 4. Le degré total de P est −∞ si P est nul, sup|α| avec les notations précédentes sinon.

Proposition 5. deg(P+Q)6max(deg_k(P), deg_k(Q))avec égalité si P et Q sont de degré dif- férents. deg(P Q) =deg(P) +deg(Q).

Dénition 5. Un polynôme est dit homogène de degrék ssia_α 6= 0⇒a_α =k, autrement dit le degré total de chaque monôme apparaisasnt dansA estk

Remarque 1. Autre dénition éqivalentes: dans l'algèbre A[X1, . . . , Xn, Y], on a la relation P(Y X1, . . . , Y Xn) =Y^kP(X4, . . . , Xn).

Proposition 6. le produit de deux polynômes homogènes de degrék,lest homogène de degrék+l. La somme de deux polynômes homogènes en est un. C'est donc un sous-module.

Proposition 7. Identité d'Euler: SiP est homogène de degrék, on aX1P_X⁰

1+. . .+XnP_X⁰

n=kP. La réciproque est vraie dans un corps de caractéristique nulle.

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Dénition 6. Combinaison avec répétition de m éléments p à p = on choisit p éléments pas forcément distincts (on peut choisir le même p fois). Notation: Γ^p_m.

Proposition 8. pΓ^p_m=mΓ^p−1_m + (p−1)Γ^p−1_m On en déduit

Théorème 2. Γ^p_m=C_m+p−1^m .

Application 1. Le nombre de termes du polynôme homogène de degré pàm indetermineées est Γ^p_m

Proposition 9. Dans le cas d'un corps, la dimension de lev des polynômes homogènes de degrék estC_n+1−d^d .

1.3 Théorèmes de transfert

Remarque 2. Dès quen>2,A n'est JAMAIS un anneau principal.

Dénition 7. Contenu d'un polynôme sur un anneau factoriel: pgcd des coecients. Un polynôme de contenu 1 est dit primitif.

Lemme 1. Les polynômes irréductilbles dansA[X]sont les constantes irréductibles et les polynômes primitifs irréductibles dansF rac(a)[X]

Théorème 3 (Gauss). A factoriel impliqueA[X]factoriel. du coup par récurrence A[X₁, . . . X_n] factoriel et c'est même encore vrai avec un innité d'inconnues

Théorème 4 (Hilbert). SiA est un anneau noetherien, il en est de même deA[X] et du coup il en est de même deA[X₁, . . . X_n].

1.4 Zeros d'un polynôme

Dénition 8. Fonction polynôme : la fonction associée à ce polynôme.

Dénition 9. Zero d'un polynôme: un élément qui annule le polynôme associé.

Théorème 5. On supposek inni. Alors P = 0ssi pour tot x∈K,P(x) = 0. REste vrai avec n'importe quel sous-corps inni dek.

Théorème 6. l'ensemble des zéros d'un polynôme non nul deR[X₁, . . . , X_n ouC[X₁, . . . X_n]est d'intérieur vide dansRⁿ.

Théorème 7 (Chevalley-Warning). Un polynôme surF^q de degrédà n variables tel quef(0, . . . ,0) = 0a au moins un autre zéro si n > d. Plus précisément, le nombre de zéros est congru à 0 modulo q. Enn, si l'on se donne f1, . . . fr des polynômes de degréd1, . . . dr à n indéterminées, s'ils n'ont pas de terme constant et sin >P

di alors ils ont un autre zéro en commun.

Corollaire 1. Une fonction arbitrairef :kⁿ7→k peut être représentée par un polynôme.

Théorème 8 (Nullstellensatz). Soitkun corps de clotûre algébriqueΩetIun idéal dek[X1, . . . , Xn]. Soitf un polynôme tel quef(c) = 0pour toutc∈Ωtel que∀g∈I, g(c) = 0. Alors il existe unm tel quef^m∈A.

1.5 Polynômes symétriques 1.6 Dénition

Dénition 10. Un polynôme est dit symétriqzue ssi pour toutσ∈Snon aP(Xσ(1), . . . , Xsigma(n))=0.

Exemple 1. Somme de NewtonSp=P

X_i^p. Polynôme symétrique élémentaire Σp=P Xi1Xip

Dénition 11. Un polynome symétrique homogène de degré totalpest dit de poidsp. Son degré partiel par rapport à l'une quelconque de ses indéterminées est appelé ordre, notéw(P).

Dénition 12. Symétrisé d'un polynôme:P

MσM_sigma o ùM_σ est le polynômeM sur lequel o na fait agir la permutationσ. Notation Pσ.

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1.7 Théorème de structure

Théorème 9. SoitGun polynôme deK[X1, . . . , Xn]homogène symétrique de poids supérieur ou égal à1. Il existe un unique polynôme Φ tel queG(X1, . . . Xn) = Φ(Σ1(X), . . . ,Σn(X)). le degré total deΦest égal à l'ordre deGet tout monôme deΦest tel que P

nαn =p.

Corollaire 2. Si l'on considère un polynôme quelconque, en appliquant ce qui précède au mônome il existe un unique polynômeF tq comme au dessus.

Corollaire 3. De la démonstration résulte que siG a tous ses coecients dans un sous-anneau deK, il en est de même pourF.

Exemple 2. X₁³+X₂³+X₃³=σ³₁−3σ1σ2+ 3σ3.

1.8 Méthodes de détermination de F

Exemple 3. Par abaissement de l'ordre. SiS =P

X₁³. On remarque queΣ1.(P

X₁²) =S+T avec T =PX_i²X_j. De plus, PX₁² =σ₁²−2σ₂. On recalcule T par abaissemen tde l'ordre et o ntrouveT =σ₁σ₂−3σ₃. Ainsi, S=σ³₁−3σ₁σ₂+ 3σ₃.

Exemple 4. Par identication. S = PX₁²X₂². S est homogène d'ordre 2 et de poids 4, donc d'après le théorème précédent il ne peut contenir que des termes enσ₁σ₃, σ²₂, σ₄ (ce sont les seuls de poids 4). S=Aσ1σ3+Bσ₂²+Cσ4. OrX⁴+X²= 0correspond par exemple àσ1=σ3=σ4= 0, σ2= 1, S= 1. D'pù B= 1.

Application 2. cf gourdon algèbre linéaire. On considère le polynôme caratéristque dont le coef- cient de vantXⁱ est notéfi(A). On montre que pour toutAetB on afi(AB) =fi(BA). Inver- sément, toute fonction polynôminale en les coecients deA, notéeQ, vériant Q(AB) =Q(BA) est telle qu'il existe un polynôme F vériantQ(A) =F(f1(A), . . . , Fn(A).

1.9 Formules de Newton

Théorème 10. les polynômes de newton vérient (avec S₀ = n) que S_k −Σ₁S_k−1 +. . . + (−1)ⁿσnS_k−n= 0 pourk>n etSk−Σ1S_k−1+. . .+ (−1)^kσkk= 0 pourk6n.

On les calcule ainsi de proche en proche.

Exemple 5. S1= Σ1. S2)σ₁²−2σ2. S3=σ³₁−3σ1σ2+ 3σ3. S4=σ₁⁴−4σ₁²σ2+ 4σ3σ1+ 2σ₂²−4σ4.

2 Relations coecients-racines et applications

2.1 Relations coecients-racines et premières applications

Théorème 11. On considère dans C un polynôme P = P

aiXⁱ, dont les racines sont les xi. AlorsΣp= (−1)^pap/a0.

Application 3. DansMn(C), les coecients du polynôme caractéristique sont des polynômes en T r(M^k). On en déduit que A nilpotente ssi pour tout k,tr(M^k) = 0. On en déduit le théorème de Burnside: totu sous-groupe deGL_n(C)d'exposant ni est ni. On en déduit aussi la réduction des endomorphismes de rang2.

Application 4. Kronecker: un polynôme à coecients entiers ne s'annulant pas en 0 et a à racines complexes de module plus petit que 1 est tel que les racines sont des racines de l'unité.

Application 5. On considèreE l'ensemble des polynômes réels scindés à coef dans1,0,−1. Alors tout polynôme deP est forcément de degré inférieur ou égal à 3 et on obtient neuf éléments.

Application 6. Théorème fondamental de l'algèbre gourdon page 84-85

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2.2 Résultant

Dénition 13. Résultant de deux polynômes. Deux polynômes on un pgcd diérent de 1 ssi Au=BV. On construit à partir de là un morphisme comme dans le Gourdon. Le lelong-ferrand- arnaudiès fournit alors l'expression développée du résultant. page 191-192

Application 7. On appelle discriminant le résultant de f et de f⁰. Le vandermonde permet de donner la valeur de ce discriminant: δ(f) = (−1)^m(m−1)/2D avecD un déterminant qui s'exprime en utilisant utilisant les somems de Newton des racines def.

2.3 Résolution par radicaux

Application 8. Résolution par radicaux des équations de degré 3. On veut résoudre une équation de degré 3 qu'on ramène à l'aide d'une translation z³+pz +q. Le polynôme suivant: (X² + jY +j²Z)³ ne prend que trois valeurs diérentes quand on permute les racines, notée A et B. De plus, grâce au relations coecients racines on voit que A et B sont racines du polynôme z²+ 27qz−27p³= 0. On déduit à partir de làAetB; Notonsuetv des racines cubiques deA et B. Alors les racines sont1/3(u+v),1/3(j²u+jv),1/3(ju+j²v). Enn on voit facilement si els racines sont réelles ou non, grâce au discriminant27(4p³+ 27q²): si i lest négatif, troiqs racines réelles, si il est positif une racine réelle est deux racines complexes conjuguées.

Application 9. Résolution par radicaux des équations de degré 4. Le polynôme XY +ZT ne prend que 3 valeurs losqu'on permute les racines deF =z⁴+az²+bz+c. On déroule le même raisonnement

Remarque 3. Cette technique échout aux degrés supérieurs (non résolubilité par radicaux des équation de degré supérieur ou égal à 5 dans le cas général)

References

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